Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование и прогнозирование состояния окружающей природной среды. Учебное пособие для СПО
.pdf
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ БИОТИЧЕСКИХ СООБЩЕСТВ 51
Самая левая точка этой кривой, х2=15 – это точка, в которой число
жертв достигает наименьшего значения. Самая правая точка – точка
пика популяции жертв. Между этими точками количество хищников
сначала убывает до нижней точки фазовой кривой, х1=75, где достигает
наименьшего значения, а затем растет до верхней точки фазовой
кривой. Фазовая кривая охватывает точку, с координатами x1=75, х2=15,
которая называется стационарной.
На языке дифференциальных уравнений это означает, что система
имеет стационарное состояние
, которое достигается в точке x
=5,
1
x2=15.
Если в начальный момент система находилась в стационарной
точке, то решения x1(t), x2(t) не будут изменяться во времени и останутся
постоянными. Всякое же другое начальное состояние приводит к
периодическому колебанию численности популяций (решений).
Неэллиптичность формы траектории, охватывающей центр,
отражает негармонический характер колебаний.
3.3. Модель «Хищник - жертва» с логистической поправкой
Модель «Хищник - Жертва» с логистической поправкой
представляет собой скорректированную классическую модель
позволяющую учитывать внешние воздействия на экосистемы. Модель
может быть представлена в виде системы дифференциальных
уравнений:
, (3.16)
где γ x1(t),γ x2(t) – члены уравнения, учитывающие влияние внешних
факторов на экосистему через логистическую поправку.
С помощью, логистической поправки можно моделировать ситуации
положительного (+γ) или отрицательного (-γ) внешнего влияния на
экосистему. В этом случае, поведение решений в окрестности
––––––––––––––––––––––––––––––––––––--------–-––––––––––––––––––––––––––-–––––––––––––--------––––
51
52 МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ ОКРУЖАЮЩЕЙ ПРИРОДНОЙ СРЕДЫ
––––––––––––––––––––––––––––––––––––--------–-––––––––––––––––––––––––––-–––––––––––––--------––––
стационарной точки меняется в зависимости от величины знака
параметра γ.
В случае положительного влияния, например, в результате
дополнительного пополнения экосистемы биологическими объектами,
стационарная точка является неустойчивым фокусом и амплитуда
колебаний численности видов растет. Как бы близко ни было начальное
состояние к стационарному, с течением времени состояние системы
будет сильно отличаться от стационарного (рис 3.5).
Рисунок 3.5 – Графическое представление модели «Хищник - жертва» с
положительной логистической поправкой
В случае отрицательного влияния (рис. 3.6), например,
внутривидовой конкуренции за пищу при ограниченных ресурсах или в
результате изымания биологических объектов из экосистемы,
стационарная точка превращается в устойчивый фокус, а решения – в
затухающие колебания. При любом начальном состоянии экосистемы
через некоторое время ее состояние становится близким к
стационарному и стремится к нему при значениях моментов времени
стремящихся к бесконечности.
Рисунок 3.6 – Графическое представление модели «Хищник – жертва» с
отрицательной логистической поправкой
52
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ БИОТИЧЕСКИХ СООБЩЕСТВ 53
3.4. Модель Холлинга - Тэннера «Конкурирующие виды»
На примере простой модели Вольтерра - Лотка и с логистической
поправкой было продемонстрировано одно из важнейших свойств
модельных экосистем, находящихся в равновесии – они могут легко
разрушаться даже при наличии незначительных возмущающих
факторов.
Большинство моделей является идеализацией действительности: в
них внимание сосредоточено на некоторых основных переменных и
соотношениях между ними. Поэтому устойчивость моделей
относительно малых возмущений чрезвычайно важна при их
практическом использовании. Модели, не чувствительные к малым
возмущениям, получили название грубых.
Модель Вольтерра - Лотка неустойчива относительно возмущений,
поскольку её стационарное состояние – центр. Существует другой вид
моделей, в которых возникают незатухающие колебания, это модели,
имеющие на фазовых портретах предельные циклы. Такая модель
существует для системы конкурирующих видов – это модель Холлинга Тэннера.
Скорость роста популяции жертв в этой модели равна сумме трех
величин:
− скорости размножения особей в отсутствие хищников: - r.x;
− влияния внутривидовой конкуренции за пищу при ограниченных
ресурсах: - r. х
.
(x1/K);
1
− влияния хищников – в предположении, что хищник перестает
убивать, когда насыщается: - w.x
.
(x1/(D + x1)).
2
Скорость роста популяции хищников строится так же, как в модели
Вольтерра - Лотка (рис. 3.7), в предположении, что жертвы встречаются
редко. Если для поддержания жизни одного хищника нужно J жертв, то
популяция из x1 жертв сможет обеспечить пищей x1/J хищников. Модель
роста популяции хищников, в которой их число не может превысить эту
критическую величину, имеет вид:
––––––––––––––––––––––––––––––––––––--------–-––––––––––––––––––––––––––-–––––––––––––--------––––
53
54 МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ ОКРУЖАЮЩЕЙ ПРИРОДНОЙ СРЕДЫ
, (3.17)
где r, w, J, D, K – параметры, учитывающие видовые особенности
популяций хищников и жертв.
Рисунок 3.7 – Графическое представление модели Холлинга - Тэннера
«Конкурирующие виды»
На рисунке 3.8 примера видно, что фазовая кривая системы с
начальным состоянием вне области, ограниченной предельным циклом,
«наматываются» извне на одну и ту же замкнутую кривую.
Рисунок 3.8 – Фазовая плоскость модели Холлинга - Тэннера
«Конкурирующие виды»
3.5. Простейшая модель эпидемии
Одним из важнейших факторов, определяющих популяционную
динамику биотических сообществ, являются эпидемиологические
––––––––––––––––––––––––––––––––––––--------–-––––––––––––––––––––––––––-–––––––––––––--------––––
54
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ БИОТИЧЕСКИХ СООБЩЕСТВ 55
процессы. Для того чтобы иметь возможность прогнозировать ход
течения эпидемий, и своевременно применять те или иные медицинские
мероприятия, необходимо уметь сравнивать эффективность этих
мероприятий. Сравнить же их можно только в том случае, если есть
возможность предсказать, как при том или ином мероприятии будет
меняться ход эпидемии, т.е. как будет меняться число заражённых
особей.
В общем случае моделирование эпидемий затрагивает области,
изучаемые по меньшей мере тремя отраслями науки:
− микробиология;
− медицина;
− математика.
Таким образом, моделирование пандемий должно учитывать
законы, управляющие деятельностью бактерий, степень
восприимчивости к инфекции отдельных особей, вероятность встречи
носителей инфекции с еще здоровыми особями.
Для простоты будем рассматривать последствия самого простого
мероприятия – отсутствия мероприятий, т.е. будем прогнозировать
естественный ход эпидемии.
Итак, пусть имеется N здоровых особей, и в момент времени t=0 в
эту группу попадает одна заболевшая особь (источник инфекции). Будем
предполагать, что никакого удаления заболевших из группы не
происходит (нет ни выздоровления, ни гибели, ни изоляции). Считаем,
что особь становится источником инфекции сразу же после того, как она
сама заразится.
Обозначим число заболевших (источников инфекции) в момент
времени t через х(t), а число потенциально тех, которые могут
заболеть – через у(t). Очевидно, что в любой момент времени будет
справедливым соотношение:
(3.18)
При t=0 выполняется условие x(0)=1.
Рассмотрим интервал времени [t, t+ Δt], где Δt – малый промежуток
времени. Сколько заражённых Δх появится за этот промежуток
––––––––––––––––––––––––––––––––––––--------–-––––––––––––––––––––––––––-–––––––––––––--------––––
55
56 МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ ОКРУЖАЮЩЕЙ ПРИРОДНОЙ СРЕДЫ
––––––––––––––––––––––––––––––––––––--------–-––––––––––––––––––––––––––-–––––––––––––--------––––
времени? В первом приближении можно предположить, что их
численность будет пропорциональна величине Δt, а также числу встреч
здоровых и заболевших особей, которое учитывается произведением
величин:
(3.19)
где α – фактор (вероятность) встречи носителей инфекции с еще
здоровыми особями.
Последнее соотношение можно переписать так:
(3.20)
При Δt, стремящемся к нулю, получим в пределе:
(3.21)
Полученное дифференциальное уравнение вместе с условием
х(0)=1 определяет функцию х(t), т.е. численность заболевших в момент
времени t. Решим это уравнение. Введем новую неизвестную функцию
u(t) связанную с функцией х(t), соотношением:
, (3.22)
Дифференцируя полученное тождество, получим:
, (3.23)
Используя последние соотношения, можно преобразовать
дифференциальное уравнение к виду:
, (3.24)
56
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ БИОТИЧЕСКИХ СООБЩЕСТВ 57
Общее решение этого уравнения может быть представлено в виде
суммы общего решения однородного уравнения и частного решения
неоднородного, т.е.:
, (3.25)
где C – произвольная постоянная.
Откуда:
(3.26)
При t=0 значение х(0)=1 для определения величины С имеем
уравнение:
откуда:
(3.27)
(3.28)
Окончательно:
(3.29)
Основные особенности полученной модели могут быть
продемонстрированы с помощью графика зависимости найденной
функции и её производных.
Рисунок 3.9 – Исследование уравнения простейшей модели эпидемии
––––––––––––––––––––––––––––––––––––--------–-––––––––––––––––––––––––––-–––––––––––––--------––––
57
58 МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ ОКРУЖАЮЩЕЙ ПРИРОДНОЙ СРЕДЫ
––––––––––––––––––––––––––––––––––––--------–-––––––––––––––––––––––––––-–––––––––––––--------––––
Исходя из графика функциональной зависимости можно сделать
вывод о том, что при t=0, х(0)=1.
При возрастании t знаменатель дроби убывает, т.е. х(t)
увеличивается.
Это соответствует экспериментальным данным, так как число
заболевших людей может только увеличиваться. Максимальное их
количество будет тогда, когда числитель этой дроби обратится в ноль:
(3.30)
при t стремящемся к бесконечности. Скорость роста заражённых,
отображаемая на графике в виде величины v(t), будет расти до момента
времени:
, (3.31)
затем убывать.
Так как нашей целью являлось создание лишь иллюстративной
модели, то здесь мы абстрагировались от многих факторов. Тем не
менее, даже в такой грубой модели удаётся воспроизвести обычно
наблюдаемое в эпидемиях явление – в начале эпидемии число
заболевших резко возрастает, а в последствии скорость
распространения инфекции резко снижается.
Вопросы для самопроверки и контроля усвоения знаний
1. Для каких целей проводят моделирование динамики экосистем?
2. Опишите модель динамики популяций.
3. Какими исходными условиями характеризуется модель динамики
популяций?
4. Опишите классическую модель Вольтера-Лотке «Хищник - жертва».
5. Как выглядит графические представление модели «Хищник жертва»?
6. Изобразите фазовую плоскость модели «Хищник - жертва»? и
охарактеризуйте её.
58
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ БИОТИЧЕСКИХ СООБЩЕСТВ 59
7. Что позволяет учитывать модель «Хищник - жертва» с
логистической поправкой?
8. Изобразите графическое представление модели «Хищник - жертва»
с отрицательной логистической поправкой.
9. Охарактеризуйте модель Холлинга - Тэннера «Конкурирующие
виды».
10. Опишите простейшую модель эпидемии.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––--------–-––––––––––––––––––––––––––-–––––––––––––--------––––
59
60 МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ ОКРУЖАЮЩЕЙ ПРИРОДНОЙ СРЕДЫ
4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ЗАГРЯЗНЕНИЯ АТМОСФЕРЫ
Исследование проблем атмосферной диффузии имеет длительную
историю, однако, его результаты применяются к вопросам загрязнения
атмосферы сравнительно недавно.
В 20-30-х годах XX столетия выработалось представление о том,
что во многих случаях перенос тепла и влаги в приземном слое
атмосферы можно приближенно рассматривать как распространение
пассивной примеси и исследовать эти процессы на основе одних и тех
же дифференциальных уравнений [11].
Важное значение имело установление вида уравнений,
описывающих атмосферную диффузию. Для описания атмосферной
диффузии использовались уравнения параболического вида,
являющиеся обобщением известного уравнения Фикка.
Уже в первых работах, посвященных проблемам атмосферной
диффузии, наметились два подхода к моделированию распространения
примеси в приземном слое атмосферы.
Первый основан (опирался на работу А. Робертса) на решении
уравнений турбулентной диффузии с постоянными коэффициентами.
Другой подход был развит О. Сеттеном и заключался в
использовании формул для определения концентрации примесей,
поступающих от источника выбросов, полученных статистическим
методами. Т.е. для определения профиля распределения концентраций
примеси используются полуэмпирические формулы (полученные
опытным путём).
В большинстве работ, как правило, рассматриваются уравнения
турбулентной диффузии с переменными коэффициентами. Такой путь
является универсальным, так как позволяет решать задачи с
различными источниками, характеристиками среды, фактическими
граничными условиями.
Рассмотрим первый подход, основанный на уравнениях переноса и
турбулентной диффузии.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––--------–-––––––––––––––––––––––––––-–––––––––––––--------––––
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]