Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование в электроэнергетике. Модели электрических систем и их элементов. Учебное пособие
.pdf
при возрастании тока намагничивания, что происходит при превышении напряжения, поданного на трансформатор.
2.2.3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
СИЛОВОГО ТРАНСФОРМАТОРА
Рассмотрим математические модели силовых трансформаторов, которые применяются в задачах, связанных с расчетом установившихся
режимов схем электрических сетей. В таких моделях не учитываются
емкостные связи между витками каждой из обмоток, между самими обмотками и обмотками и землей, а также распределенность электрических и магнитных параметров. Кроме того, ограничимся рассмотрением
симметричных
режимов нагрузки трансформаторов.
Получим математическую модель однофазного двухобмоточного
трансформатора. Вначале предположим, что трансформатор не имеет
магнитопровода (воздушный трансформатор), тогда он может быть
представлен схемой рис. 2.9, в которой активные сопротивления обмоток изображены отдельно. Полярности обмоток на схеме отмечены звездочками.
i
1
u
1
R
1
M
**
L
1
L
R
2
2
i
2
u
2
Первичная
обмотка
Вторичная
обмотка
Рис. 2.9. Схема трансформатора без магнитопровода
При обходе контуров на схеме рис. 2.9 в соответствии с заданными
направлениями по второму закону Кирхгофа получим уравнения трансформатора в дифференциальной форме:
di di
uRiL M
1111
uRiL M
2222
12
dt dt
di di
21
dt dt
61
,
(2.41)
.
Так как направления токов на схеме ориентированы не одинаково по от-
s
s
di
1
ношению к звездочкам, то полярность
di
2
рот, полярность
M
не совпадает с
dt
M
не совпадает с
dt
i .
1
i и, наобо-
2
При синусоидальных токах и напряжениях уравнения (2.41) в комплексной форме записываются в следующим образом:
URI jLIjMI
11
1
URI jLIjMI
11 2
22
2
221
,
(2.42)
.
Эти уравнения равносильны следующим:
URIjLMIjMII
11
1
URI jLMIjMII
2
1112
22
2212
,
(2.43)
.
Последним уравнениям соответствует схема замещения рис. 2.10.
В отличие от рис. 2.9 в схеме замещения первичная и вторичная цепи
трансформатора связаны не индуктивно, а гальванически.
L1-
I
U
1
R
1
1
M L2-
M
I1-
R
2
I
2
M
I
2
U
2
Рис. 2.10. Схема замещения трансформатора без магнитопровода
Входящие в схему рис. 2.10 разности 1–LM и 2–LM имеют фи-
зический смысл только при одинаковом числе витков первичной
и вторичной
собой индуктивности рассеяния
w обмоток
2
(.)ww В этом случае они представляют
12
L и
L первичной и вторичной об-
1
2
w
1
моток трансформатора.
В реальных трансформаторах для моделирования потерь в стали
в схему замещения трансформатора вводят активную проводимость
G
.
62
Для моделирования эффекта намагничивания сердечника вводят реак-
B
R
R
X
X
B
тивную проводимость
.
Если взять за основу математической модели трансформатора так
называемый идеальный трансформатор с коэффициентом трансформа-
ции
nw
, для которого относительная магнитная проницаемость
2
w
1
равна бесконечности и ток намагничивания равен нулю, то путем добавления к нему элементов, учитывающих основные паразитные эффекты,
можно получить полную схему замещения трансформатора (рис. 2.11).
Потери энергии в обмотках трансформатора при протекании по ним то-
и
ков учитываются активными сопротивлениями
1
, включенными
2
последовательно с индуктивностями рассеяния, учитывающими эффект
запасания энергии и наведения напряжения в обмотках от потоков рассеяния. Этим индуктивностям соответствуют индуктивные сопротивле-
и
ния обмоток
1
. Ток намагничивания обусловливает намагничи-
2
вающую силу, которая создает поток взаимной индукции. Величина
тока намагничивания
мотки. Параллельно индуктивной проводимости намагничивания
включают активную проводимость
I
пропорциональна напряжению первичной об-
G
, учитывающую потери в сердеч-
нике.
R
I
U
1
1
1
X
1
I
G
n
B
R
2
X
I
2
2
U
2
Совершенный
трансформатор
Идеальный
трансформатор
Рис. 2.11. Полная Т-образная схема замещения трансформатора
Таким образом, идеальным трансформатором является трансфор-
UI
12
матор, для которого при любых условиях
UI
21
63
.
n
1
,UnU
Трансформатор, для которого при любой нагрузке
называ-
2
ется совершенным трансформатором (см. рис. 2.11).
Во многих случаях пользуются приведенной Т-образной схемой замещения трансформатора (рис. 2.12). Получается она приведениям сопротивлений вторичной обмотки к напряжению первичной обмотки по
соотношениям:
R
I
1
1
X
1
I
R'
2
X'
I'
2
2
I
2
n
U
1
G
B
U'
2
U
2
Рис. 2.12. Приведенная Т-образная схема замещения трансформатора
На схеме рис. 2.12 отмечены ток и напряжение:
2.2.4. Г-ОБРАЗНАЯ И П-ОБРАЗНАЯ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ
СИЛОВОГО ТРАНСФОРМАТОРА
22
,.UnUI I
1
22
(2.44)
n
Обычно для силовых трансформаторов более целесообразна так
называемая Г-образная схема замещения, элементы которой имеют простой физический смысл и могут быть вычислены или измерены. Получается она следующим образом.
Ветвь намагничивания переносится на зажимы первичной обмотки
и оказывается включенной на напряжение
U . Это вносит погрешность
1
в математическую модель, так как в действительности ток намагничивания (ток холостого хода) протекает по первичной обмотке. Обычно
ток холостого хода силовых трансформаторов меньше одного процента
от номинального тока трансформатора и такое упрощение считается допустимым. Сопротивления первичной обмотки оказываются последовательно включенными с приведенными сопротивлениями вторичной
64
обмотки, и при их сложении получаются так называемые сопротивления
R
X
R
трансформатора
и
т
(рис. 2.13):
т
RR X X X
т 12 т 12
,.
I
1
I
U
1
G
R
т
B
X
т
I'
U'
2
2
I
2
n
U
2
Рис. 2.13. Г-образная схема замещения трансформатора
Полученная схема носит название Г-образной схемы замещения
трансформатора и применяется для выполнения расчетов схем электрических сетей, где она еще больше упрощается путем представления
ветви холостого хода в виде постоянных величин потерь активной и реактивной мощности на холостой ход (рис. 2.14).
U
I
1
1
Px + j
R
т
Q
X
I'
т
x
U'
2
Рис. 2.14. Упрощенная Г-образная схема замещения трансформатора
n
2
U
I
2
2
Все полученное выше для однофазных трансформаторов можно распространить на каждую фазу трехфазного трансформатора.
Сопротивления и проводимости Г-образной схемы замещения
трансформатора, приведенные к напряжению обмотки первичного
напряжения, определяются по формулам:
22
PU U U
к 1ном к 1ном
RX
тт
GB
μμ
S
PQ
хх
222
UUU
1ном 1ном 1ном
;;
2
ном
;.
100
IS
хном
S
ном
(2.45)
100
65
Моделирование элементов схем электрических сетей при использовании специальных программ для расчета их режимов работы удобно
выполнять по П-образным схемам замещения. Такую схему замещения
можно получить и для трансформатора.
Получим параметры П-образной схемы замещения (см. рис. 2.6),
на основе Г-образной схемы замещения двухобмоточного понижающего трансформатора, с коэффициентом
трансформации n > 1
(рис. 2.13).
Найдем напряжение и ток первичной обмотки:
I
UnU U nU R jX
12 т 2
II
II G jBU
1
22
nn
тт
1
2
, (2.46)
n
. (2.47)
После подстановки (2.46) в (2.47) получим
12
1
2
тт
n
1InG jBU RjXG jB I
. (2.48)
Сопоставляя полученные выражения (2.47) и (2.48) с уравнениями
четырехполюсника:
12
ICU DI
12
2
,UAUBI
2
(2.49)
и учитывая соотношения между коэффициентами четырехполюсника
и параметрами П-образной схемы замещения [см. (2.21)]:
1,
AZY
BZ
CY YZY Y
112 2
DZY
2
,
,
1,
1
66
(2.50)
будем иметь:
1,
AZYn
BZ
CY YZY Y nY
112 2
11.
DZY ZY
2
Z
Т
,
n
(2.51)
,
1
1 т
n
Из полученных соотношений можно найти параметры П-образной
схемы замещения трансформатора:
1
Z
,
Z
т
1
YnY
1
(1 ) ,
Z
т
n
Yn
2
(1).
Z
т
(2.52)
П-образная схема замещения трансформатора в отличии от П-образной схемы замещения ЛЭП является несимметричной, т. е.
YY
12
.
2.2.5. ПОСТРОЕНИЕ ВНЕШНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ТРАНСФОРМАТОРА
Внешней характеристикой трансформатора называют зависимость
изменения вторичного напряжения
U от тока нагрузки 2I при посто-
2
янном коэффициенте мощности приемника cos φ = const и номинальном
первичном напряжении
UU
1 ном
. Сопоставляя внешние характери-
стики, полученные для различных математических моделей трансформатора с экспериментально полученной характеристикой трансформатора, можно оценить величину погрешности различных моделей и определить, таким образом, область их использования.
Выполним построение внешней характеристики силового трансфор-
матора по его математической модели при изменении тока вторичной
67
обмотки от нуля до
–
j
ности: 0,8; 0,9 и 1,0.
Внешнюю характеристику
I для трех различных коэффициентов мощ-
ном
()UfI построим по уравнению
22
Примем
UU
1
const (совместим с вещественной осью), тогда
1
12
(2.53)
3UAU BI
2
векторная диаграмма токов и напряжений трансформатора будет иметь
вид как на рис. 2.15.
Рис. 2.15. Векторная диаграмма токов
и напряжений 1
Выразим из (2.53) напряжение
U
Здесь ток
I
имеет угол сдвига относительно вещественной оси –(δ + φ),
2
2
а напряжение вторичной обмотки представлено в комплексном виде:
|U2| и δ, где δ входит в левую часть уравнения:
(
)–
j
IIe
2
2
.
Чтобы получить зависимость величины (модуля)
(модуля)
I необходимо перейти к уравнениям с вещественными пере-
2
менными. Для удобства примем совмещенным с действительной осью
вектор
U
, тогда векторная диаграмма токов и напряжений примет вид,
2
рис. 2.16.
:U
2
UBI
1
2
A
(2.54)
UUe
2
и в правую:
2
U от величины
2
68
j
Рис. 2.16. Векторная диаграмма токов
и напряжений 2
и напряжение 2:U
UBI
2
UUe I Ie
где
1
; .
12
2
U
–
j
1
(2.55)
2
Разделим уравнение (2.55) на два уравнения с вещественными переменными. С учетом A = A = n и B = B + jB, будем иметь систему уравнений:
1
⎡⎤
3,
122
sinII
и
Так, как
UU BIBI
21 22
03 .
cosII
22
,
⎣⎦
A
1
⎡⎤
UBIBI
⎣⎦
A
22
уравнений:
1
⎡⎤
UU BI BI
21 2 2
⎣⎦
A
3cos sin,
,
A
(2.56)
22
UU U
11 1
, получаем систему
1
⎡⎤
03cossin,
с неизвестными
U
UBI BI
⎣⎦
A
U
,
2
1
12 2
222
UU U
1
U
и
.
1
69
.
(2.57)
Изменяя ток
системы уравнений (2.57) для каждого значения
мость
22
I в пределах от нуля до
2
().UfI
I будем искать решение
2ном
I и строить зависи-
2
В Mathcad имеется возможность определения функции как решения
системы уравнений. Для этого выражение с Find имеет вид определения
функции: f(x) := Find(x) и далее в документе Mathcad f(x) становится
определенной и является функцией аргумента x.
В нашем случае аргументами функции с Find будет
U (по условию
2
с углом равным нулю) и cos φ, который также будет различным для разных выходных характеристик.
Пример 1. Определение функции как решения системы уравнений.
Для удобства записи введем еще две переменных
Начальные приближения:
U
1
U
U'1U1 U''10 I'20 I''20
2
n
Решающий блок Mathcad:
Given
U'
1
U
2
A
Re B()I'2 Im B( ) I''2
3
A
I'
= I2cosφ и I''2 = I2 sin φ.
2
0 U''13 Im B()I'2 Re B( ) I''2
2
U
1
I'2I cosf
I''2I 1 cosf
2
U'
2
U''
1
1
2
Функция как решение системы уравнений:
F I cosf( ) Find U2U'1 U''1 I'2 I''2
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]