Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование в электроэнергетике. Модели электрических систем и их элементов. Учебное пособие
.pdf
Вектор коэффициентов модели вычислим с помощью специальной функ-
⎜
⎟
ции Mathcad linfit(x,y,F)
3.0866
⎛
c linfit x y F() c
Функция обобщенного многочлена и ее график:
Q2 z() Fz() c j05 k 0 0.025 1
2
1.5
y
i
Q2 k()
Среднеквадратическая ошибка:
1
0.5
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
i
1.475
⎜
0.5154
⎝
k
⎞
⎟
⎠
Q2 x
∑
05j
0.3201
j
5
2
yj
Существуют модели, которые не являются многочленами вида (4.2)
и нелинейно зависят от параметров, как, например, функция
1
ax
171
bx
. (4.9)
ye
y нелинейно зависит от параметров a и b. К некоторым функциям
M
N
y
N
x
y
x
xYy
X
Здесь
такого вида применимо приведение нелинейной задачи к линейной по
следующему способу.
Пусть задана система точек , .()
X и Y так, чтобы преобразованные точки
прямой. Например, степенная зависимость
xy Вводятся новые переменные
ii i
),(
XY
iii
ycx путем логарифмиро-
лежали на одной
a
вания приводится к линейной:
lg lg lg
ax c
(4.10)
и линейная модель в новых координатах:
Здесь .()(, lg g ), l
XY N x y Некоторые функции, которые приво-
iii i i i
.YaXb (4.11)
дятся к линейной модели относительно коэффициентов задаче аппроксимации, приведены в табл. 4.1.
Таблица 4.1
Некоторые функции, допускающие преобразование к линейной
относительно коэффициентов задаче аппроксимации
№ п/п
1
2
3
4
5
6
Исходная
функция
b
y = ax
x
y = ab
b
ya
1
y
ax b
y
ax b
lgyaxb
Линейная
функция
Y = α + bX Y = lg y; X = lg x; α = lg a
Y = α + βx Y = ln y; α = ln a; β = ln b
Yaxb
Yaxb
Yaxb
YaXb
Соотношения
для преобразования
Yyx
1
Y
lg
x
172
В тех случаях, когда невозможно перейти к линейной модели относительно коэффициентов в задаче аппроксимации, выводятся подобные (4.13) нелинейные уравнения аналогичным способом и их решение
дает искомые коэффициенты.
Вопросы для самопроверки
1. Какие основные этапы можно выделить в модельном исследова-
нии (построении модели)?
Какие существуют два основных способа формирования модели?
2.
В чем заключается аналитический способ построения модели?
3.
4.
В чем заключается задача идентификации технических объектов?
Какой эксперимент называют активным (пассивным)?
5.
Какие выделяют три класса задачи идентификации технических
6.
объектов?
Как формулируется задача интерполяции функций?
7.
Как формулируется задача аппроксимации функций?
8.
Как вычислить коэффициенты полинома степени m при квадра-
9.
тичной аппроксимации?
Какие функции допускают приведение задачи приближения
10.
функций к линейной?
173
X
5. МОДЕЛИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
5.1. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
5.1.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Все наблюдаемые процессы, характеризующие физические явления
и изменения состояний объектов, можно классифицировать в самом общем виде как детерминированные и недетерминированные. К детерминированным относятся процессы, которые могут быть описаны точными математическими соотношениями. Рассмотрим, например, твердое тело, подвешенное на упругой пружине (рис. 5.1,
Пусть
m – масса тела, а k – коэффициент жесткости пружины.
Предположим, что тело получает начальное смещение
ния равновесия (рис. 5.1,
б), и освобождается в момент времени t = 0.
На основе фундаментальных законов механики или путем повторных
наблюдений можно установить справедливость следующего соотношения:
а).
из положе-
m
⎛⎞
xt X t t
() cos , 0.
m
k
⎜⎟
⎜⎟
m
⎝⎠
(5.1)
Формула (5.1) достаточно точно описывает положение тела в любой
момент времени в недалеком будущем. Для более точного предсказания
положения тела в течение длительного времени требуется учесть затухание колебаний. Следовательно, физический процесс, характеризующий движение данного тела, относится к детерминированным.
На практике встречается много физических процессов, которые
с высокой точностью могут
быть описаны математическими соотноше-
ниями. Например, движение спутника по околоземной орбите, изме-
174
нение напряжения на конденсаторе, который разряжается через сопротивление, вибрация несбалансированного ротора генератора или изменение температуры воды при охлаждении. Детерминированные процессы можно классифицировать, как показано на рис. 5.2.
Положение
равновесия
m
X
m
m
а б
Рис. 5.1
.Тело, подвешенное на пружине
Рис. 5.2. Классификация детерминированных процессов
Существует много процессов, имеющих недетерминированный, т. е.
случайный характер. Например, изменение уровня сигнала в канале
связи, температура воздуха, мощность, потребляемая из сети в заводском
цехе. Точное значение такого процесса в некоторый момент времени в
будущем предсказать невозможно. Эти процессы случайны по своей природе и должны описываться не точными уравнениями, а
при помощи
осредненных статистических характеристик. Будем обозначать случайный процесс
x(t) – случайной функцией от независимой переменной t.
Случайные процессы можно классифицировать, как показано на
рис. 5.3.
175
X
f
Рис. 5.3. Классификация случайных процессов
Во многих случаях трудно решить, относится рассматриваемый физический процесс к детерминированным или случайным. Можно,
например, считать, что в действительности ни один физический процесс
не является строго детерминированным, поскольку всегда существует
возможность того, что в будущем какое-либо непредвиденное событие
изменит течение процесса таким образом, что полученные данные будут
носить характер
иной, чем предполагалось ранее. С другой стороны,
можно утверждать, что в действительности ни один физический процесс не имеет строго случайной природы, так как при условии достаточно полного знания механизма изучаемого процесса его можно описать точными математическими соотношениями.
Практически решение о детерминированном или случайном харак-
тере процесса принимается
обычно исходя из возможности либо невозможности воспроизведения его при заданных условиях. Если многократное повторение опыта дает одинаковые результаты (с точностью до
ошибки измерения), то можно, вообще говоря, считать процесс детерминированным. Если же повторение опыта в идентичных условиях приводит к разным исходам, то природа процесса полагается случайной.
5.1.2. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Детерминированные периодические процессы делятся на гармонические и полигармонические. Гармоническими называют процессы, которые могут быть описаны функцией
где
– амплитуда;
m
xt X f t
– циклическая частота, измеряемая в циклах
0
m
0
(5.2)
() sin 2 ,
в единицу времени; – начальная фаза, рад.
176
Соотношение (5.2) может быть представлено графически в функции
f
x
f
времени и в амплитудно-частотном изображении (спектре), как показано на рис. 5.4.
x(t
)
X
m
0
t
Амплитуда
X
m
-X
m
T
Рис. 5.4
а б
. Гармонический процесс и его спектр
Циклическая частота
1
f
0
T
T – период гармонических коле-
, где
f
0
баний.
Полигармонические процессы описываются функцией времени,
точно повторяющей свои значения через одинаковые интервалы
( ) ( ), 1,2,3,...xt xt iT i
(5.3)
Число циклов в единицу времени называется основной частотой
Полигармонический процесс может быть представлен рядом Фурье
a
0
() cos2 sin2 ,
tai
1
, , 2, 3...
ffifi
где
11
T
T
2
axt iftdti
i
bxtiftdti
i
( ) cos 2 , 0, 1, 2,...;
∫
T
0
T
2
()sin2 , 1, 2, 3,....
∫
T
0
i
∑
2
1
i
1
1
ii
;
tb ift
11
(5.4)
f
.
1
177
Возможен и другой способ записи ряда Фурье для полигармониче-
X
X
f
X
ского процесса:
() cos 2 ,
xt X X ift
∑
01
1
i
ii
(5.5)
ab
где
XXabi i
0
0
; ; 1, 2, 3...; arctg ; 1, 2, 3... .
2
22
iii
⎛⎞
i
⎜⎟
a
i
⎝⎠
Как видно из (5.5), полигармонические процессы состоят из постоянной составляющей
ляющих, называемых гармониками, с амплитудами
фазами
. Частоты всех гармоник кратны основной частоте
i
и бесконечного числа синусоидальных состав-
0
и начальными
i
.
1
Полигармонический процесс может имеет вид, представленный на
рис 5.5,
занный на рис 5.5,
а, и соответствующий формуле (5.5) дискретный спектр, пока-
б.
x(t
)
0
T
t
а б
Рис. 5.5
. Полигармонический процесс и его спектр
Амплитуда
X
0
0
X
1
X
f
1
2
X
3
f2f3f
X
4
f
4
В других случаях составляющая с основной частотой может отсутствовать. Предположим, например, что периодический процесс формируется в результате сложения трех синусоидальный функций с частотами 60, 75 и 100 Гц. Наибольший общий делитель этих чисел равен
5 Гц, поэтому период результирующего периодического процесса составляет 0,2 с. Следовательно, при разложении в ряд Фурье значения
будут равны нулю при всех
i, кроме i = 12, i = 15, i = 20.
i
Физические процессы полигармонического типа встречаются гораздо чаще простых гармонических процессов. В действительности,
178
когда тот или иной процесс относят к типу гармонических, то зачастую
ff
при этом имеют в виду только приближенное представление процесса,
который на самом деле является полигармоническим. Например, напряжение на выходе генератора переменного тока содержит небольшие колебания с частотами высших гармоник.
Однако процессы, образованные при суммировании двух или более
гармонических функций с произвольными частотами, не будут, вообще
говоря, периодическими. Сумма двух или более синусоидальных функций образует периодический процесс только в том случае, если отношение всех возможных пар частот представляет собой рациональные
числа. Это означает, что существует некоторый основной период, удовлетворяющий формуле (5.3). Так процесс
( ) sin(2 2 ) sin(2 3 ) sin(2 7 )xt X t X t X t (5.6)
112 23 3
является периодическим, поскольку 2/3, 3/7 и 2/7 – рациональные числа
(с основным периодом, равным единице). С другой стороны, процесс
( ) sin(2 2 ) sin(2 3 ) sin(2 50 )xt X t X t X t
не является периодическим, поскольку числа
112 23 3
2/ 50 и 3/ 50
(5.7)
иррацио-
нальные и основной период равен бесконечности. В этом случае процесс является почти периодическим, но соотношение (5.3) не удовле-
T.
Таким образом, к почти периодическим относятся такие процессы,
которые могут быть описаны функцией времени:
() sin 2
xt X ft
∑
iii
i
1
имеющей хотя бы одно отношение
/
ij
, (5.8)
, которое не является рацио-
нальным числом.
Дискретный спектр почти периодического процесса аналогичен
спектру полигармонического процесса.
К переходным относятся все непериодические процессы, не являющиеся почти периодическими процессами, описанными выше. Другими
словами, переходные процессы включают в себя все не рассмотренные
ранее процессы, которые могут быть описаны подходящими функциями
179
времени. Три примера распространенных переходных процессов приве-
A
A
дены на рис. 5.6.
x(t
)
a
A
t
xt
()
⎧
Ae
⎪
⎨
⎪
⎩
0
00tt
0
t
а
x(t
)
б
A
t
()
xt
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
cos
ebt
0
00tt
0
t
б
x(t
)
в
A
0
tc
()
xt
⎧
⎨
0
⎩
0 и
ttc
0
с
t
в
Рис. 5.6. Примеры переходных процессов
Физические переходные процессы весьма многочисленны и разнообразны. Например, процесс, изображенный на рис. 5.6,
а, может опи-
сывать изменение во времени температуры проводника после отключения протекавшего по нему тока. Кривая на рис. 5.6,
б может характери-
зовать свободные колебания инерционной механической системы после
прекращения действия вынуждающей силы. График на рис. 5.6,
в может
180
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]