Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование в электроэнергетике. Модели электрических систем и их элементов. Учебное пособие
.pdf
прежде всего в части первичных преобразователей (датчиков) и их привязки к объекту, часто перерастает в серьезную техническую проблему.
Необходимые разработки специализированных средств измерения и их
компонентов, следовательно, и проведение соответствующих опытноконструкторских работ являются в подобных случаях скорее правилом,
чем исключением, а это, естественно, усложняет работы и увеличивает
стоимость.
их
Физические
законы
Ошибки
моделирования
Ошибки
линеаризации
Ошибки
агрегирования
Структура
модели
Модель
объекта
Оценка
параметров
модели
Параметры
Объект
Измерения
Нелинейные
ДУ в частных
производных
Обработка данных
Данные
измерений
Ошибки
измерения
Линейные
ДУ в частных
производных
Линеаризация Редукция
Априорная информация о структуре модели
Апостериорная информация об измерениях
Квантование
(АЦП)
Ошибки
квантования
Обыкновен-
ные ДУ
Структура
Рис. 4.4. Структурная схема идентификации объекта
Во-вторых, используемый в процессе эксперимента измерительный
комплекс со всеми его компонентами требует материального обеспечения, т. е. градуировки, аттестации и периодической проверки в соответствии с нормативно узаконенным требованием. Реальная ситуация с метрическим обеспечением экспериментальной аппаратуры зависит от характера величин, подлежащих измерению в каждом конкретном случае.
Таким образом
, даже при условии вполне современного технического и технологического оборудования путь от принципиальной возможности построения модели на основе идентификации до практической реализации этой возможности в большинстве случаев оказывается
161
длинным, сложным и трудоемким. Кроме того, проведение одного
x
x
эксперимента само по себе не может требовать значительных затрат,
и в этом случае возникает необходимость сокращения числа возможных
опытов в эксперименте без ущерба для точности математической модели. Во многих случаях этому помогает оптимальное планирование
эксперимента.
4.4. ВЫБОР СТРУКТУРЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
И ВЫЧИСЛЕНИЕ ЕЕ ПАРАМЕТРОВ
Непосредственными результатами наблюдений (опытов) в процессе
проведения эксперимента являются зависимости между входами
ходами
y, представленные, как правило, в табличной форме. Построе-
x и вы-
ние математической модели в параметрической форме требует обработки табличных данных. При этом следует учесть, что экспериментальные данные могут содержать систематические, случайные и грубые
погрешности. Обычно погрешности измерений принято представлять
в виде среднеквадратической погрешности σ и двумя границами интервала, в пределах
находится с заданной вероятностью
которого истинное значение измеряемого параметра
, .()
ih
На первом этапе построения математической модели требуется выбрать вид (структуру) математической модели. Второй этап требует специальных вычислительных средств для определения параметров выбранной математической модели. Рассмотрим общий подход к подбору вида
математической модели без использования каких-либо теоретических
представлений о внутренней структуре моделируемого объекта. В математике такая
Для простоты примем объект с одним входом
Пусть на некотором множестве задана система функций
, , ,() ()
1
задача носит название задачи о приближении функций.
x и одним выходом y.
0
x которые в дальнейшем будем считать достаточно
m
,()
гладкими (например, непрерывно дифференцируемыми) функциями.
Назовем эту систему основной.
Функции вида
() () () ... (),
, , ,
cc c
где
01
ными многочленами порядка
Qx c x c x c x (4.2)
mmm
– постоянные коэффициенты, называются обобщен-
m
00 11
m. В частности, если основная система
162
состоит из целых неотрицательных степеней переменной
x
xmxx
x
x
1, , , ,() () ()
01
xx xx то
m
( ) ...
Qx c cx cx (4.3)
mm
m
01
m
x, т. е.
есть обычный полином степени
m.
Если
() 1,
x
0
() cos ,
xx
1
() sin ,
xx
2
(4.4)
...
() cos ,
21
m
() sin ,
2
m
mx
то
() cos sin ... cos sin
Qx a a xb x a mxb mx (4.5)
mmm
01 1
называется тригонометрическим полиномом (или тригонометрическим
многочленом) порядка
m.
Задача о приближении функций ставится следующим образом:
данную функцию
ном ),(
Qx заданного порядка m так, чтобы отклонение (в смысле σ
m
или
), ()
ih
занном множестве {
f(x) требуется заменить обобщенным многочле-
функции f(x) от обобщенного многочлена
Qx
x} было наименьшим. При этом многочлен ()
m
()
на ука-
Qx
m
в общем случае называется аппроксимирующим.
Если множество {
то приближение называется дискретным. Если же {
x} состоит из отдельных точек
, , , ,
xx
01
n
x} есть отрезок
a ≤ x ≤ b, то приближение называется интегральным.
На практике часто пользуются приближениями функций обычным
и тригонометрическим полиномами.
В теории дискретного приближения функций имеет место задача интерполяции функций. В случае обычного полинома задача интерполяции формулируется следующим образом. Для данной функции
найти полином ()
данных точках
Qx возможно низшей степени m, принимающей в за-
m
0, 1, 2, , ; (
inxx
iij
при
)ij
те же значения,
f(x)
163
что и
x
x
–
x
x
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
⎟
f(x), т. е. такой, что )() (
ном называют интерполяционным, а точки
Qx fx (i = 0, 1, 2, …, n). Такой поли-
mi i
(i = 0, 1, 2, …, n) называют
i
узлами интерполяции.
Как известно, существует единственный полином степени не
n, принимающий в точках
выше
Поэтому можно положить
нома
()
Qx можно определить из системы уравнений:
n
n = m. Коэффициенты
⎛⎞
1 ...
⎜⎟
⎜⎟
где
1 ...
XAY
⎜⎟
... ... ... ... ...
⎜⎟
⎜⎟
1 ...
⎝⎠
()
yfx (i = 0, 1, 2, …, n).
ii
2
xx x
00 0
2
xx x
11 1
2
xx x
nn n
n
n
n
(i = 0, 1, 2, …, n) заданные значения.
i
, , ,
aa a поли-
01
(4.6)
,XA Y
ay
⎛⎞ ⎛⎞
00
⎜⎟ ⎜⎟
ay
11
;;;
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
... ...
⎜⎟ ⎜⎟
ay
nn
⎝⎠ ⎝⎠
n
Определитель этой системы линейных алгебраических уравнений
есть так называемый определитель Вандермонда Δ ≠ 0, и, следовательно, система (4.6) имеет единственное решение.
Интерполяция дает возможность вычислить значения функции
=
f(x) между заданными точками
Пример 3. Выполнить интерполяцию функции, заданную в табличной
форме в пяти точках (см. ниже). Расчеты выполним в системе Mathcad.
Векторы данных:
и
1i
(i = 1, 2, …, n).
i
y =
0.1
⎛
⎞
0.3
⎜
⎟
x
0.4
y
⎜
⎟
⎜
⎟
0.6
⎜
0.7
⎠
⎝
Заполнение матрицы X
i04 X
1 X
i0
xi X
i1
X
i2
164
3.2
⎛
⎜
⎜
⎜
1.8
⎜
1.9
⎝
2
x
i
⎞
3
⎟
1
⎟
⎟
⎠
x
X
i3
3
i
i4
4
x
i
1
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
⎟
0.1
0.01
0.001
0.027
0.064
0.216
0.343
0.0001
0.0081
0.0256
0.1296
0.2401
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
1
0.3
⎜
X
⎜
⎜
⎜
⎝
0.09
1
0.4
0.16
1
0.6
0.36
1
0.7
0.49
Получение коэффициентов интерполяционного полинома
8.18
A X1y
A
⎛
⎜
⎜
⎜
1480.5556
⎜
⎝
186.25
864.0278
852.7778
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Определение функции полинома
Qz() A0A1z A2z2 A3z3 A4z4
График функции для интерполирующего полинома
z 0.1 0.11 0.7
6
5
4
3
Qz()
2
1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8
z
Определим значение функции в промежуточных точках со значениями 0,2
и 0,5.
165
Для сравнения выполним интерполяцию по тем же данным другими способами, заложенными в Mathcad; кусочно-линейной и сплайн интерполяцией.
Графики интерполяционных функций
3
linterp x y z()
s cspline x y()
interp s x y z()
2
1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8
5
4
3
2
1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8
Значения в заданных точках:
для полиномиальной
Q 0.2( ) 4.9889 Q 0.5( ) 0.7089
для линейной
z
z
linterp x y 0.2( ) 3.1 linterp x y 0.5( ) 1.4
для сплайн-интерполяции
interp s x y 0.2( ) 4.7265 interp s x y 0.5( ) 0.9188
166
Результаты вычислений в промежуточных точках достаточно сильно раз-
x
x
f
личаются между собой, и принятие той или иной модели может основываться
на данных, внешних относительно использованных измерений.
Интерполяция является частным случаем аппроксимации, когда степень интерполяционного полинома равна числу измерений без единицы
n = m (число измерений равно n + 1, а число неизвестных коэффици-
и
ентов модели равно
m + 1). Когда n > m, в общем случае имеем задачу
аппроксимации.
Для данной функции
в заданных точках
f(x) найти полином ()
(i = 0, 1, 2, …, n;
i
минимум некоторой функции коэффициентов
, , , .()
Saa a Такой полином называют аппроксимирующим.
01
mm
В общем случае ()
Функцию
Qx есть обобщенный многочлен вида (4.7).
m
(), , ,
Saa a можно выбрать в соответствии с ме-
01
mm
Qx степени m, который
m
x
при
ij
a (i = 0, 1, 2, …, m):
i
)ij
доставляет
тодом наименьших квадратов как сумму квадратов отклонений поли-
()
нома
Qx
m
от функции
()
x
на заданном множестве точек
i
n
SQxfx
∑
mmii
i
() ().
0
2
(4.7)
Такой способ носит название квадратичной аппроксимации.
Вычисление коэффициентов аппроксимирующего полинома
выполняется путем решения системы линейных уравнений:
TT
⎛⎞
1 ...
⎜⎟
⎜⎟
где
1 ...
XAY
⎜⎟
... ... ... ... ...
⎜⎟
⎜⎟
1 ...
⎝⎠
()
yfx (i = 0, 1, 2, …, n) и верхний индекс T означает операцию
ii
2
xx x
00 0
2
xx x
11 1
2
xx x
nn n
m
m
m
XXA XY (4.8)
;;;
,
ay
⎛⎞ ⎛⎞
00
⎜⎟ ⎜⎟
ay
11
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
... ...
⎜⎟ ⎜⎟
ay
mn
⎝⎠ ⎝⎠
транспонирования матрицы.
167
()
Qx
m
Система уравнений (4.8) получена путем дифференцирования кри-
x
x
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
терия квадратичной аппроксимации (4.7) по искомым коэффициентам
и приравниванию нулю полученных выражений. В случае обобщенного
полинома (4.2) с произвольными функциями
() () (), , ,
01
в системе уравнений (4.8) вместо значений степеней
новка значений соответствующих функций
вычисленных в заданных точках
Пример 4. Выполним аппроксимацию функции из примера 3 полиномами
степени 3 и 2.
Заполнение матрицы
X
x.
Для Q
3
(x)
01
xx
m
x требуется подста-
xx
m
,() () (, , , )
X1
Получение коэффициентов аппроксимирующего полинома Q
Определение функции полинома
1 X1
i0
A X1TX1
i1
X1
xi X1
0.1
1
⎛
0.3
1
⎜
0.4
1
⎜
⎜
0.6
1
⎜
0.7
1
⎝
1
X1T y A
0.01
0.09
0.16
0.36
0.49
i2
2
x
X1
i
0.001
⎞
0.027
⎟
0.064
⎟
⎟
0.216
0.343
⎠
2.9459
⎛
7.1667
⎜
⎜
42.9887
44.2982
⎝
i3
Q3 z() A0A1z A2z2 A3z3
3
x
i
(x):
3
⎞
⎟
⎟
⎠
168
График функции для аппроксимирующего полинома Q3(x):
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
4
3
Q3 z()
2
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8
z
Среднеквадратическая погрешность аппроксимации:
j
3
Для Q
i1
1
⎛
1
⎜
1
⎜
⎜
1
⎜
1
⎝
2
yj
(x)
2
xi X2
0.01
0.1
0.09
0.3
0.16
0.4
0.36
0.6
0.49
0.7
s3 0.6175
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
i2
i
2
x
s3
Заполнение матрицы
X2
i0
X
Q3 x
∑
03j
1 X2
X2
Получение коэффициентов аппроксимирующего полинома Q
4.2506
A X2TX2
1
X2T y A
⎛
⎜
⎝
9.6667
8.961
⎞
⎟
⎠
(x):
2
169
Определение функции полинома
x
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
Q2 z() A0A1z A2z2
График функции для аппроксимирующего полинома Q
3.5
3
2.5
Q2 z()
2
1.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8
z
(x):
2
Среднеквадратическая погрешность аппроксимации:
Q2 x
∑
03j
s2
3
2
yj
j
s2 0.6891
Пример 5. Выполним аппроксимацию данных приведенных в табличной
форме (см. ниже) в виде обобщенного многочлена Q
(x), где функции φi(x) (i = 0, 1, 2) выбраны в виде:
+ c
2φ2
(x) = c0φ0(x) + c1φ1(x) +
2
2
1
xx
,,
.
1
Данные эксперимента и вектор функция составляющих Q
0.0
⎞
⎛
0.2
⎜
⎟
⎜
⎟
0.4
x
y
⎜
⎟
0.6
⎜
⎟
⎜
⎟
0.8
1.0
⎝
⎠
0.43
⎞
⎛
0.22
⎜
⎟
⎜
⎟
0.80
F z()
⎜
⎟
0.10
⎜
⎟
⎜
⎟
1.0
2.0
⎝
⎠
170
(x):
2
2
⎞
⎛
z
z
⎜
⎟
⎜
⎟
1
1z
⎝
⎠
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]