Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1327 вузов, 5495 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Квантовые вычисления. Теория и практика. Учебник

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
07.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
2.8. Квантовая телепортация
на большом расстоянии, остаются единой системой, так что мы так и продолжим изображать кубиты находящимися в пределах одной схемы. Разумеется, после разнесения куби­тов на большое расстояние мы не сможем применять к ним многокубитные вентили так, чтобы они воздействовали на кубиты, разделенные большим расстоянием, хотя в алго­ритме квантовой телепортации нам это и не требуется. Далее схема выглядит таким образом:
q
0
q
1
q
2
H
В конце схемы Алиса измеряет кубиты, находящиеся у нее (q
и q1). В этом месте схемы Алиса должна передать ре-
0
зультаты измерения Бобу по классическому каналу. К при­меру, она может воспользоваться телефоном. Всего ей нужно передать Бобу два бита информации: результат измерения кубита q
и результат измерения кубита q1. Так как задей-
0
ствуется классический канал, то очевидно, что при кванто­вой телепортации передача информации не происходит бы­стрее скорости света, то есть не нарушаются ограничения специальной теории относительности.
Если Боб получил от Алисы информацию, что состояние кубита q на кубите q оператор Z, а если Алиса сообщила, что кубит q в состоянии |1, то Боб должен применить к кубиту q тор X. Причем если оба кубита q |1, тогда Боб должен сначала применить к кубиту q тор X, а затем – оператор Z. Если кубиты q
после измерения равно |1, тогда, чтобы получить
0
состояние |, он должен применить к кубиту q2
2
находится
1
опера-
2
и q1 находятся в состоянии
0
опера-
2
и q1 находятся
0
в состоянии |0, тогда ничего делать не нужно, потому что ку-
уже находится в состоянии |.
бит q
2
71
Глава 2. Многокубитные операции
После получения сообщения от Алисы о результате изме­рения кубитов q торов кубит q кубит q
в начале схемы, следовательно, алгоритм квантовой
0
и q1 и применения Бобом квантовых опера-
0
приходит в такое же состояние, в котором был
2
телепортации работает и с помощью него действительно воз­можно перемещать состояние кубита.
В алгоритме квантовой телепортации есть некоторое сходство с работой оператора SWAP, так как здесь также присутствует перенос состояния с одного кубита на другой. Но, во-первых, при работе оператора SWAP передача состоя­ния с одного кубита на другой происходит локально, кубиты во время применения этого вентиля не могут быть разнесе­ны на большое расстояние. Во-вторых, если при применении SWAP происходит обмен состояний между кубитами, так что оба состояния, хотя и на других кубитах, но сохраняют­ся, то в алгоритме квантовой телепортации состояние кубита
изменяется в процессе действия операторов и разрушается
q
0
в ходе измерения его Алисой. И в-третьих, при обмене состо­яниями кубитов при применении SWAP потребность в пере­даче информации по классическому каналу отсутствует.
Разберем математические операции, описывающие про­цесс квантовой телепортации. Для этого приведем всю схему полностью, а также двойными линиями в конце схемы ука­жем применение классического канала связи:
12 3
q
|\²
0
H
q
|0²
|0²
H
|\²
1
q
2
На этой схеме мы обозначили пунктиром моменты време­ни, в которые система будет находиться в определенном со­стоянии. Стоит заметить, что обычно пунктир используют
72
2.8. Квантовая телепортация
для обозначения того, что в данном месте квантовой схемы должен находиться барьер – специальная отметка, которая указывает квантовому компилятору, что оптимизировать квантовые операторы можно только внутри участков, обра­зованных при разделении схемы барьерами. Тем не менее мы применяем здесь пунктир не совсем для этого. Для простоты описания алгоритма мы считаем, что никаких оптимизаций компилятор не производит (строго говоря, квантовый компи­лятор на данном этапе обучения нас пока не интересует) и все операторы применяются именно так, как они указаны в схе­ме – без разделения их на какие-то более мелкие операторы или слияние их в более крупные с целью оптимизации в це­лях ускорения или упрощения программы. Так что ничего кроме временных меток пунктир пока что не обозначает.
Состояние | нам будет удобно расписать через базисные состояния с некоторыми амплитудами и :
01  .
Тогда будем считать, что исходная система находится в таком состоянии:
0100qqq   .
012
Запишем, в каком состоянии будет находиться квантовая система в момент времени 1:
qqq CNOT H
012 1,2 1
CNOT

В момент времени 2 система находится в таком состоянии после воздействия оператора CNOT
CNOT 

1,2
 

0,1

0100

0 1 00 10

0 1 00 11
0 1 00 11

1
2
1
2
0,1
1
2
.
:
73
Глава 2. Многокубитные операции
1
CNOT   
0,1
1
   .

2
В момент времени 3 система переходит в новое состояние под воздействием оператора Адамара:
1
H  
0
2
11
HH  
00
22
11
010011 011001
     

22
11
     
000 011 100 111 010 001 110 101

22
11
00 0 1 01 0 1

22 11
10 0 1 11 0 1 .

22
После этих преобразований видно, что для кубитов q0 и q1 есть четыре возможных исхода измерения: |00, |01, |10 или |11, причем вероятность каждого из них равна мости от того, какой результат измерения будет получен для кубитов q ний. При q
При таком состоянии к кубиту q менять никаких операторов, так как уже получено состо­яние |.
и q1, кубит q2 перейдет в одно из четырех состоя-
0
= 0 и q1 = 0 это будет состояние
0
000 011 100 111

2
000 011 110 101
000 011 110 101

0 00 11 1 10 01
 
 
1
/4. В зависи-
01q   .
2
не нужно будет при-
2
74
2.9. Сверхплотное кодирование
При q0 = 0 и q1 = 1 кубит q2 будет находиться в состоянии
01q   .
2
К такому состоянию достаточно применить оператор X, чтобы получить состояние |:
(0 1) 0 1X  .
При q
= 1 и q1 = 0 кубит q2 будет находиться в состоянии
0
01q   .
2
Для получения состояния | нужно применить опера­тор Z:
01 01Z  .

И, наконец, самый интересный вариант – когда q
= 1. Кубит q2 при этом будет находиться в состоянии
q
1
2
01q   .
= 1 и
0
В таком случае нужно применить к состоянию кубита q сначала оператор X, а затем оператор Z:
01 01 01ZX Z           .

Из приведенных расчетов становится понятно, что ре­зультаты измерения кубитов q
и q1 служат подсказкой для
0
того, чтобы понять, какие операторы применить к кубиту q для получения состояния |.
2.9. Сверхплотное кодирование
Для того чтобы понять, что такое сверхплотное кодирова­ние, нужно сначала представить ситуацию, когда двум поль­зователям – Алисе и Бобу – дали по одному классическому биту, каждый из которых находится в начальном состоянии
0. После этого Алиса может либо поменять состояние свое­го бита, либо оставить все как есть, а затем послать этот бит
2
2
75
Глава 2. Многокубитные операции
Бобу. Сколько вариантов сообщений есть в распоряжении Алисы? Очевидно, что их всего два: Алиса может отправить Бобу либо 0, либо 1.
Если же Алисе и Бобу в самом начале выдать не биты, а кубиты, то тогда у Алисы не два варианта возможных сооб­щений, а целых четыре: 00, 01, 10 и 11. Да, она по-прежнему может переслать Бобу всего один кубит, зато этот кубит мо­жет служить не только носителем информации, но он также может и влиять на кубит Боба, так что количество вариан­тов передаваемой информации увеличивается по сравнению со случаем, когда используются не кубиты, а классические биты. Такого эффекта поможет добиться квантовая запутан­ность.
Посмотрим на квантовую схему, реализующую сверх­плотное кодирование:
12
|0²
H H
|0²
U
Alice
В начале схемы происходит запутывание двух кубитов с помощью оператора Адамара и оператора CNOT. На этом этапе кубиты находятся в одном месте. Далее, во времен­ной точке 1, кубиты можно разделить в пространстве: верх­ний кубит q
– у Боба. Между точками 1 и 2 Алиса может применить
q
2
будет находиться у Алисы, нижний кубит
1
некоторые операторы либо вовсе ничего не применять. Обо­значим примененный Алисой оператор (или операторы) как
. После этого Алиса отправляет свой кубит Бобу. Далее
U
Alice
происходит применение тех же операторов, с помощью ко­торых кубиты были запутаны в начале схемы, но в обратном порядке: сначала оператор CNOT, а затем оператор Адамара. То есть, условно говоря, происходит процесс «распутыва-
76
2.9. Сверхплотное кодирование
ния» кубитов. В конце схемы можно измерить кубиты либо использовать их состояния в других операциях.
Как говорилось ранее, Алиса может закодировать четы­ре состояния, используя операции только со своим кубитом. Рассмотрим каждый из этих четырех случаев отдельно. Нач­нем со случая, когда Алиса планирует передать Бобу состоя­ние 00. Это самый простой случай, так как Алисе не нужно ничего делать, то есть U таны, получаем состояние
 .
После этого кубиты можно разнести на расстояние. Так как Алиса решает не применять никакие операторы, она от­правляет кубит Бобу без изменений. Далее Боб применяет оператор CNOT и оператор Адамара, получая в итоге состо­яние |00:
CNOT  ;
111
HHH
111
222

В том случае, если Алиса решает передать состояние 01, в качестве оператора U биту q
раторы CNOT и H, получая в конце схемы состояние |01:
оператор X:
1
X  .
Далее она передает кубит Бобу, который применяет опе-
11
1,2
22
00 10 00 10

11
00 10 00 10 00

22
11
00 11 10 01

1
22
= I. После того, как кубиты запу-
Alice
1
00 11

2
00 11 00 10

.
ей нужно применить к своему ку-
Alice
11
CNOT 
1,2
10 01 11 01

22
;
77
Глава 2. Многокубитные операции
111
HHH
Если же Алиса планирует передать состояние 10, то она должна применить к верхнему кубиту оператор Z:
После этого кубит q операторы, получая состояние |10:
HHH
В том случае, если Алисе нужно передать состояние 11, она должна применить два оператора – сначала X, а затем Z:
11 01 11 01

111
222
11
01 11 01 11 01
.

22
11
Z  .
CNOT  ;
111
111
222
.
00 11 00 11

1
22
попадает к Бобу, и тот применяет
1
11
00 11 00 10

1,2
22
00 10 00 10

11
00 10 00 10 10

22
111
ZX Z 
11 1
Боб, получив кубит Алисы, применяет те же операторы, что и во всех остальных случаях:
78
00 11 10 01 10 01

222
11
CNOT   
1,2
111
HHH 
111
11 01 11 01

222
11


22
10 01 11 01

22
01 11 01 11 11
;
.
.
Контрольные вопросы
Таким образом, мы видим, что Алиса действительно мо­жет передавать Бобу четыре разных состояния, используя всего лишь один кубит. Происходит это благодаря эффек­ту квантовой запутанности и большему разнообразию опе­раций, которые можно применять к кубиту по сравнению с классическим битом.
Контрольные вопросы
1. В каких случаях целесообразно совмещать квантовые
вычисления с классическими?
2. Почему нельзя получить оператор CNOT с помощью
тензорного произведения двух матриц 2 на 2?
3. Что такое квантовая запутанность?
4. Можно ли говорить о том, что два запутанных кубита, разнесенных на большое расстояние, продолжают состав­лять единую физическую систему?
5. Приведите простейшие примеры квантовой запутан­ности.
6. Каким образом можно получить различные вариан­ты матрицы для оператора CNOT, применяемого к системе, в которой больше двух кубитов?
7. С помощью какого квантового оператора можно реали­зовать логические операции И и И-НЕ?
8. Какой квантовый оператор позволяет реализовать подсчет суммы двух чисел, без использования других опе­раторов?
9. Чем оператор SWAP отличается от оператора клониро- вания, запрещенного соответствующей теоремой?
10. Приведите примеры реализации логических опера­ций с помощью квантовых операторов.
11. Какие действия позволяет производить квантовая те­лепортация?
12. Благодаря каким квантовым эффектам возможна квантовая телепортация?
79
Глава 2. Многокубитные операции
13. Почему квантовая телепортация не позволяет переда­вать информацию на большое расстояние быстрее скорости света?
14. Сколько состояний может передать Алиса Бобу с по­мощью сверхплотного кодирования, используя один кубит?
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности