Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовые вычисления. Теория и практика. Учебник
.pdf
1.9. Квантовый вентиль
операция квантовых вычислений, которую можно с некоторым упрощением считать аналогом логической операции НЕ
в классическом компьютере, – это операция X. Операции,
применяемые к кубитам, можно называть по-разному: оператор, квантовый вентиль, гейт (от англ. gate – вентиль).
Оператор X:
01
X
10
Применим оператор X к разным базовым состояниям.
Видим, что состояние меняется на противоположное:
01 1 0
01
X
10 0 1
01 0 1
10
X
10 1 0
Здесь оператор X, если смотреть на результат вычисления, работает в точности как логический оператор НЕ. В тех
же случаях, когда кубит не находится в базисном состоянии,
оператор X работает более интересным образом. Рассмотрим,
как действует оператор X на кубит, находящийся в суперпозиции:
01
Xa b b a
Здесь видно, что оператор X меняет местами амплитуды.
Рассмотрим конкретный пример:
01 01
10
ab
ba
X
.
;
.
.
0,6 0 0, 8 1 0,8 0 0,6 1X .
Если же амплитуды равны, то оператор X фактически
ничего не делает:
11 11
X
01 01
22 22
.
31
Глава 1. Основные понятия квантовых вычислений
Пример, когда амплитуды различаются только знаком:
11 11 11
X
01 01 01
22 22 22
.
После вынесения минуса за скобку видим, что полученное состояние отличается от исходного только общим множителем, то есть в физическом смысле это то же состояние,
что и начальное.
1.10. Эрмитовы и унитарные матрицы
Пришло время посмотреть на то, какими могут быть операторы, применяемые в квантовых вычислениях. Прежде
чем разобрать, что такое эрмитовы и унитарные матрицы,
нужно обратить внимание на эрмитово сопряженную матрицу – матрицу, получаемую из исходной путем замены всех
элементов матрицы на комплексно сопряженные числа и
последующего транспонирования. Эрмитово сопряженную
матрицу обозначают значком, который мы будем называть
крест (в английском это dagger, что переводится как «кинжал» либо «крестик»):
†*
AA .
T
()
Рассмотрим действия, необходимые для вычисления эрмитово сопряженной матрицы. В качестве примера возьмем
матрицу размером 2 на 2:
12
i
A
21
ii
12
ii
†
A
21
;
.
i
После того как мы поняли, что такое эрмитово сопряженная матрица, можно перейти к понятию эрмитовой матрицы.
Эрмитова матрица – это матрица, которая равна своей эрмитово сопряженной матрице. Пример эрмитовой матрицы:
32
1.10. Эрмитовы и унитарные матрицы
113
A
13 2
i
113
†
A
i
13 2
i
;
i
.
Как нетрудно заметить, необходимым условием того,
чтобы матрицу можно было называть эрмитовой, является
то, что по главной диагонали должны располагаться действительные числа.
Еще один вид матриц, без которых не обойтись в квантовых вычислениях, – унитарные матрицы. Унитарная матрица – это матрица, для которой справедливо следующее: ее эрмитово сопряженная матрица равна обратной матрице.
Пример унитарной матрицы:
11
22
U
ii
22
1
22
†1
UU
1
22
;
i
i
.
Унитарные операторы обладают важным свойством для
квантовых вычислений: после применения такого оператора
к вектору состояния длина вектора состояния не меняется.
Есть также матрицы, которые являются и эрмитовыми, и
унитарными. Для таких матриц исходная, эрмитово сопряженная и обратная матрицы равны:
†1
AA A
.
Если такой оператор применить к кубиту или набору кубитов дважды, то это равносильно тому, что операция снача-
33
Глава 1. Основные понятия квантовых вычислений
ла произведена, а потом отменена. Это легко можно понять
на примере оператора X: если его применить два раза, то
состояние кубита вернется к первоначальному. Таким образом, действие таких операторов можно отменить, даже если
применено несколько разных операторов: достаточно просто
применить их в обратном порядке, и система кубитов вернется к первоначальному состоянию.
Операторы, которые мы будем применять, являются и
эрмитовыми, и унитарными, но иногда мы также будем применять операторы, которые являются унитарными, но не являются эрмитовыми. Такие операторы при повторном применении не будут возвращать систему к первоначальному
состоянию. Если же все-таки нужно обратить операцию, то
применяют обратную матрицу от исходной унитарной матрицы.
Вообще, в квантовых вычислениях, в отличие от классических, при применении операторов не происходит потери
информации, всегда можно вернуться к первоначальному состоянию кубитов. В классических вычислениях есть также
примеры обратимых операций: при повторном применении
оператора NOT можно вернуться к исходному биту. Однако
при использовании операторов AND, OR, XOR и многих других восстановить первоначальные данные невозможно.
Пример матриц, являющихся одновременно эрмитовыми
и унитарными, – матрицы Паули. Мы будем их называть X,
Y, Z (также их обозначают как
X
, y, z или 1, 2, 3):
x
01
;
10
34
00i
Y
i
10
Z
01
;
.
1.11. Оператор Адамара
Причем оператор Y является в некотором роде избыточным, так как его можно выразить через X и Z:
YiXZ .
С оператором X мы уже знакомы, остальные операторы
увидим в действии позже. Также в вычислениях потребуется
единичная матрица I (иногда ее обозначают как
10
I
.
01
):
0
1.11. Оператор Адамара
Для того чтобы из базисного состояния кубита получить
суперпозицию, можно применить оператор Адамара, который обозначают буквой H:
11
1
H
11
2
Суперпозиции, получаемые после применения оператора
Адамара к одному из базисных состояний, будут иметь одинаковые по модулю амплитуды. То есть вероятности получить состояния 0 или 1 после измерения будут равны. Правда, эти суперпозиции будут различаться знаками:
.
H
101
H .
Два полученных состояния суперпозиции можно рассматривать как векторы другого базиса, который мы будем называть базисом Адамара. Обозначать такие векторы мы будем знаками «плюс» и «минус» внутри скобок кет-вектора:
;
2
1
2
1
01
2
1
001
;
35
Глава 1. Основные понятия квантовых вычислений
1
01
2
.
Если определенным образом переориентировать или
перенастроить прибор, производящий измерение кубитов,
таким образом, чтобы он производил измерения не в измерительном базисе, а в базисе Адамара, то вероятности, с которыми после измерения кубит окажется в одном или другом базисном состоянии, нужно будет считать относительно
нового базиса. Для расчета вероятностей исхода измерения
в новом базисе (не только в базисе Адамара, но и в любом
другом) можно применить правило Борна:
2
pa
ii
,
где ai – один из базисных векторов нового базиса, а вектор
– это исходный вектор состояния кубита (с амплитудами
из старого базиса), при этом получаемая величина p
– это
i
вероятность получить после измерения в новом базисе базисное состояние a
.
i
Многократное измерение кубитов, приготовленных
в одном и том же состоянии, в разных базисах применяется
в квантовой томографии (не путать с компьютерной томографией в медицине) – методе, с помощью которого определяют, в каком состоянии находится кубит. Так находят матрицу плотности для состояния кубита. К примеру, можно
посмотреть, каков будет исход измерения состояния 0 (приготовленного в вычислительном базисе) в базисе Адамара,
посчитав вероятность для каждого базисного вектора базиса
Адамара:
2
00,5p
2
00,5p
;
.
Если сделать временное допущение, что амплитуды векторов состояний – действительные числа, то можно изо-
36
1.12. Процесс квантовых вычислений
бразить векторы вычислительного базиса и базиса Адамара
в виде векторов на двумерной плоскости (рис. 1.2).
|1²
|+²
|0²
|–²
Рис. 1.2. Двумерное пространство состояний кубита
Немного позже мы рассмотрим другой способ изображения состояний кубита – сферу Блоха, которая подходит
не только для действительных амплитуд, но также и для
комплексных амплитуд.
Несложно убедиться, что оператор Адамара является
не только эрмитовым, но и унитарным, поэтому повторное
его применение приводит кубит к изначальному состоянию:
HH.
1.12. Процесс квантовых вычислений
После того как мы изучили операторы X и H и рассмотрели, как они воздействуют на кубит, находящийся в различных состояниях, рассмотрим, как в целом устроена схема
квантовых вычислений. Представить общий процесс вычислений можно следующим образом (рис. 1.3).
37
Глава 1. Основные понятия квантовых вычислений
q
1
q
1
с
1
Применение
q
2
q
3
}
q
n
n-кубитная
система
квантовых
операторов
q
q
}
q
2
с
2
Измерение
3
с
3
}
n
с
n
Результат
измерения
Рис. 1.3. Процесс квантовых вычислений
На этой схеме можно увидеть, что задается изначальное
состояние одно- или многокубитной схемы. Как правило,
по умолчанию в начале схемы даются кубиты в состоянии
0. Далее эти кубиты подвергаются действию операторов, и
в конце схемы происходит измерение кубитов. Ответ на поставленную вычислительную задачу получается как результат измерения (причем может быть как одна, так и несколько попыток). Другой вариант: результат измерения является
только одним из множества случайных наблюдений в том случае, если одну и ту же схему много раз запускают с самого начала для поиска некоторых статистических показателей.
1.13. Сфера Блоха
Каждая из амплитуд состояния кубита может быть комплексным числом, поэтому для описания состояния кубита
требуется четыре действительных числа (по два на каждое
комплексное число). Перевод первой амплитуды (при состоянии 0) в действительное число, как мы выяснили ранее, может уменьшить число необходимых действительных чисел
до трех:
38
1.13. Сфера Блоха
i
01
aae
.
12
Вектор состояния в такой форме можно изобразить с помощью трехмерной модели. Еще немного преобразуем это
состояние, чтобы мы могли выразить состояние кубита с помощью двух углов – и . Угол в данной формуле уже есть,
осталось добавить угол . Для этого представим числа a
и a2
1
как синус и косинус угла /2:
cos 0 sin 1
ie
.
22
Видно, что в таком представлении амплитуда при состоянии |0 является действительным числом, а амплитуда при
состоянии |1 может быть как действительным (в том случае,
если угол кратен 180 градусам), так и комплексным числом. В общем случае эти углы могут принимать любые значения, но для большинства расчетов можно считать, что они
находятся в следующих пределах:
0 ;
02 .
Посмотрим на примере конкретного вектора состояния
|, как его можно выразить в форме, удобной для трехмерного представления в сфере Блоха:
3
.
i
01
22
Сначала найдем угол через амплитуду при состоянии 0:
arccos
.
3
226
Учитывая вышеприведенные ограничения для угла ,
можно найти его величину:
.
3
39
Глава 1. Основные понятия квантовых вычислений
Теперь найдем угол , используя амплитуду при состоянии 1:
e
;
i
i
sin
22
e
;
i
i
sin
62
i
ei
;
22
i
ei
.
Мы получили показательную форму комплексного числа, в которой пока неизвестен угол . Но его легко найти, так
как на комплексной плоскости число i изображается в виде
вектора, образующего прямой угол с плоскостью действительных чисел:
.
2
Векторы состояния, с которыми мы будем чаще всего
работать, имеют единичную длину. Считая длину вектора
известной, можно, как мы уже увидели, описать вектор состояния всего лишь двумя числами – углами, на которые повернут вектор. Как это выглядит в сфере Блоха – трехмерной
математической модели, с помощью которой удобно изображать состояние кубита, показано на рис. 1.4.
Важно понимать, что сфера Блоха – это математическая
модель, не предназначенная для того, чтобы по ней можно
было судить о том, как расположена в физическом пространстве частица, выполняющая роль кубита. Это просто удобная модель, с помощью которой легко визуализировать изменение состояния кубита.
До этого мы рассматривали двумерную модель состояния
кубита для случаев, когда амплитуды – действительные чис-
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]