Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1327 вузов, 5495 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Квантовые вычисления. Теория и практика. Учебник

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
07.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
Приложение 1. Задачи
16. В результате нескольких запусков алгоритма Саймо­на для n = 3 при измерении кубитов верхнего регистра полу­чены следующие уникальные значения: 001, 101. На основе этих значений найдите s.
17. В алгоритме Саймона, приведенном в соответствую­щей главе, замените s на 10 и проведите расчеты работы ал­горитма (при n = 2) для квантовой и классической части алго­ритма.
18. В алгоритме Саймона, приведенном в соответствую­щей главе, замените s на 11 и проведите расчеты работы ал­горитма (при n = 2) для квантовой и классической части алго­ритма.
19. Для алгоритма Гровера при числе кубитов, отвеча­ющих за кодирование идентификаторов записей в таблице, n = 2 напишите, какие операторы можно применить в пер­вой части итерации для того, чтобы простейшим образом по­мечать в качестве единственного искомого идентификатора значение, равное: а) 00; б) 01; в) 10.
20. Для алгоритма Гровера при числе кубитов n = 2 и при двух искомых идентификаторах напишите, какие операто­ры нужно применить для того, чтобы простейшим образом помечать идентификаторы 00 и 11.
21. Чему равен угол между вектором состояния |c перед началом первой итерации и вектором |b, обозначающим все базисные состояния кроме состояния 101 (единственного ис­комого идентификатора), в схеме, применяемой в алгоритме Гровера при общем числе идентификаторов N = 8.
22. Вычислите, чему равны операторы U
и Uc при n = 2
b
и единственном искомом состоянии 01.
23. Вычислите, чему равны операторы U
и Uc при n = 2
b
и двух искомых идентификаторах 00 и 11.
24. Допустим, в алгоритме Гровера непосредственно перед первой итерацией состояние системы верхних куби­тов (кроме вспомогательного) представляет собой суперпо-
161
Приложения
зицию, которая соответствует вектору c, составляющему с вектором b (суперпозиция всех состояний кроме искомо­го или искомых) угол = 1 градус. Чему будет равен угол : а) после первой части первой итерации, б) после второй части первой итерации, в) после первой части второй итера­ции, г) после второй части второй итерации, д) после первой части третьей итерации? Какое минимальное количество итераций потребуется для того, чтобы вектор состояния верхних кубитов максимально приблизился к искомому со­стоянию или суперпозиции искомых состояний (если их не­сколько)?
25. В алгоритме Гровера перед началом итераций вектор c составляет с вектором b угол 10 градусов. Сколько ите- раций потребуется для достижения целей алгоритма?
26. Допустим, идентификаторы таблицы закодированы с помощью всех возможных базисных состояний 100-кубит­ной системы. Количество искомых идентификаторов равно четырем. Какое количество итераций потребуется для ал­горитма Гровера, чтобы найти искомые состояния? Сколь­ко раз нужно запустить алгоритм Гровера (в самом удачном случае), чтобы измерить нужные состояния?
27. Вычислите функцию Эйлера для N = 21.
28. Почему в алгоритме шифрования RSA число, соответ­ствующее сообщению m, не должно превышать число N?
29. Если не брать в расчет число d, какое число e можно выбрать при N = 21? Напишите все возможные варианты числа e. Найдите наименьшие подходящие числа d и сде­лайте вывод, можно ли использовать найденные числа e для шифрования.
30. Какое наименьшее число e можно выбрать при N = = 9797 (произведение простых чисел p = 97 и q = 101)?
31. Представьте, что вам нужно зашифровать сообщение m = 23. Каким будет зашифрованное сообщение, если ис­пользуется открытый ключ: N = 9797 и e = 11?
162
Приложение 1. Задачи
32. Выберите число d для секретного ключа, если N = = 9797, p = 97, q = 101, e = 11. Расшифруйте с помощью него зашифрованное сообщение, которому соответствует число
615.
33. Найдите период функции f(x) = ax(N) для a = 3 и N = = 35. Также найдите функцию Эйлера (N) с помощью пере­бора. Что можно сказать о соотношении найденной функции Эйлера и периода r?
34. Дано число N = 143. Случайным образом выбрано чис­ло a = 5. Найдите методом перебора период функции f(x) =
x
(N). Покажите, что число a является удачным выбором
= a для того, чтобы найти разложение числа N на простые мно­жители таким же способом, как в классической части алго­ритма Шора. Найдите числа p и q, являющиеся множителя­ми числа N, этим способом.
35. Проведите вычисления для квантового преобразова­ния Фурье, начиная с формулы квантового преобразования Фурье и до получения состояний кубитов на выходе схемы, для системы из трех кубитов, когда кубиты на входе нахо­дятся в состоянии |101. Какое состояние будет на выходе?
36. На какие углы будут повернуты векторы состояний кубитов y
, y2 и y3 относительно состояния |+ в плоскости xy
1
сферы Блоха, если на вход трехкубитного оператора кванто­вого преобразования Фурье подается состояние |x = |011?
37. Нарисуйте схему квантового преобразования Фурье для четырех кубитов.
38. Сколько операторов Адамара и двухкубитных опера­торов CR
, CR3, CR4, CR5, CR6 и CR7 потребуется для схемы
2
квантового преобразования Фурье для семи кубитов?
39. Сколько операторов SWAP потребуется в случае, если при использовании квантового преобразования Фурье для семи кубитов на выходе нужно получить кубиты в таком же порядке, как и на входе?
163
Приложения
Приложение 2. Решения задач
1. Представим состояние кубита таким образом:
01  .
Используем то, что нам известна вероятность получить
состояние 1 после измерения кубита:
2
|| 0,36
Далее найдем вероятность получить после измерения ку-
бита состояние 0:
22
|| 1|| 0,64 .
Отсюда получим все возможные амплитуды при состоя-
нии |0:
0,8 ,ie

где – некоторый произвольный угол.
Примеры амплитуд: 0,8; –0,8; 0,8i и т.д.
2. Запишем состояние |010 в виде вектора-столбца:
101110
     
010 0 1 0
       
010000
   
.
0
 
0

01
    
00

      
0

0


.
3. Подсчет скалярного произведения:
164
 
0,6 0, 8 0, 8

ii
0
 
1

.
Приложение 2. Решения задач
4. В результате применения операторов будет получено состояние
011ZX Z.
5. Вероятности получения состояний:
00P  ;
11P  .
6. Сравним результаты применения операторов:
001XZ X
;
011ZX Z.
Математически результаты различаются, хотя физиче-
ски состояния идентичны (различие только в общей фазе).
7. Варианты решения:
01ZY i ;
01YXZX i .
8. Сначала найдем двухкубитный оператор X
0010

01 1 0 0 0 0 1
XXZ
 
112
   
10 0 1 1 0 0 0
 
  

0100

1Z2
:
.
Теперь можно найти вектор-столбец для начального со-
стояния двухкубитной системы:
1

110
 

00
 
000
 
   
0

.
165
Приложения
Найдем итоговое состояние после применения оператора:
0010 1 0
    
000 10 0
 
XZ
12
9. Найдем модуль и аргумент числа z:

00 10
 
1000 0 1
 
01000 0
 
|||32| 3 2 13zi    ;
22
.
arg( ) arctg
z .
Представим число z в тригонометрической форме:


13 cos arctg sin arctg
zi
Число z в показательной форме:
10. а) Найдем длину вектора состояния |.
1-й вариант решения:
|||(2)0(23)1||2||23|ii ii       
22 2 2
21 2(3) 51332
2-й вариант решения. Сначала найдем скалярное произ-
ведение, а затем квадратный корень из него:
       


 

22
2 2 3 5 13 18
ii

22 33
13
ze
2 3
2
arctg
i
3
.
2
i
 
23
i

18 3 2  .
.
22
.
;
166
Приложение 2. Решения задач
б) Для того чтобы нормировать вектор, поделим амплиту-
ды на найденную длину вектора состояния:
223
ii
 .
норм
01
32 32
Посчитаем скалярное произведение | после норми-
ровки:
2
i

223 513
ii

  
норм норм
 
32 32


32

23
i
 
32

18 18
.
1
в) Представим каждую из амплитуд в виде комплексного
числа в показательной форме ( и – амплитуды состояний |0 и |1 соответственно):
2
 ;
i
32
23
i
 ;
32
2510
||

i
32
18 6
;
1
arg( ) arctg arctg

32
2
32
1
arctg
ie

10
2
;
6
23 13 26
i
||

32
18 6
1
;
2
;
167
Приложения
2
arg( ) arctg arctg
 
32
3
2
;
3
32
2


arctg
i


26
e
3

.
6
Запишем состояние | с амплитудами в показательной
форме:
2
10 26
 .
2
ee
01
1
arctg
i

arctg
i


3

66
Вынесем за скобку экспоненту первой амплитуды:
21
1

arctg
i

ee
10 26
2

01
66
 

arctg arctg

i

32

.
Число за скобкой является общей фазой, которую мож-
но сократить, так что амплитуда при |0 становится действи­тельным числом:
21

arctg arctg

i
10 26

01

32

e
66
11. Для того чтобы нормировать состояние | = (1 + i) |0 + + 0,5 |1, найдем модуль вектора состояния (через скалярное произведение):
1
ii
    
1 0,5 2 0,25 2,25

 
0,5

;
Проведем нормировку амплитуд:
22 1
168
 .
норм
2, 25 1,5 
i
01
.
33
Приложение 2. Решения задач
Представим амплитуды в виде комплексных чисел в по-
казательной форме:
223i
 ;
1
 ;
3
22 2 2 22
||

i
3333
arg( ) arctg(1)
  ;
22
   
 
;
4
ie
22
4

;
3
1
||3 ;
arg( ) 0 ;
1
0
ie
 .
3
Вынесем за скобку общую фазу:
ii i

22 1 22 1
44 4
ee e
 
норм
33 33
01 0 1
 
 
.
Сократим общую фазу:
ie
22 1

норм
01
33
4
.
11. Приведем амплитуды состояния | к показательной форме комплексного числа:

3
;
2
169
Приложения
i

2
;
||
33

;
22
arg( ) 0
 ;
;
3
0
ie
2
1
||
i
  ;
22

;
arg( )
2
ie
1
2

.
2
Амплитуда является действительным числом, так
что нет необходимости в том, чтобы выносить общую фазу за скобку.
Представим вектор состояния в виде вектора на сфере
Блоха, найдя углы и . Амплитуду можно представить через косинус угла /2, учитывая, что этот угол находится в первой четверти тригонометрической окружности (так как модули амплитуд и положительны):
 .
Аналогично для амплитуды :
|| sin
 
Следовательно, угол равен /3.
170
3
cos
26
1
.
26
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности