Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовые вычисления. Теория и практика. Учебник
.pdf
2.1. Оператор
CNOT
управляющий кубит находится в состоянии |1, целевой кубит меняет свое состояние – на него действует оператор X.
Если же управляющий кубит находится в состоянии |0, то
с целевым кубитом ничего не происходит. Оператор CNOT
иногда также называют оператором CX (это обозначение полезно знать, так как в библиотеках квантовых вычислений
обозначение, как правило, именно такое). Позже мы увидим, что существуют также операторы CY и CZ.
В квантовой схеме оператор CNOT изображается таким
образом:
|0²
|0²
На этой схеме верхний кубит – управляющий, а нижний – целевой. Вот как выглядит соответствующая оператору CNOT матрица:
1000
0100
CNOT
0001
0010
.
Вследствие того, что оператор CNOT работает с двумя кубитами, а не с одним, в библиотеке Qiskit он будет выглядеть
по-другому. Как мы ранее указали, такая разница возникает из-за того, что в Qiskit верхний кубит считается правым,
а нижний – левым. Вот как выглядит CNOT в такой версии:
1000
0001
CNOT
0010
0100
.
51
Глава 2. Многокубитные операции
Во избежание путаницы лучше всегда предварительно
узнать, какое обозначение используется.
Также для двухкубитной квантовой системы возможен
вариант, когда управляющим кубитом является нижний кубит, а целевым – верхний:
|0²
|0²
В таком случае при общепринятом обозначении оператор
CNOT будет таким:
1000
0001
CNOT
2,1
0010
0100
.
Обратите внимание, что здесь мы в нижнем индексе через
запятую указали сначала номер управляющего кубита, а затем номер целевого. Рекомендуется так делать во избежание
путаницы.
Ранее мы рассматривали тензорное произведение двух операторов для того, чтобы получать общий оператор для двухкубитной системы. Интересно, что оператор CNOT не удастся
получить с помощью тензорного произведения двух матриц
размером 2 на 2. Объяснение этому простое – оператор CNOT
нельзя представить в виде двух независимых операций, которые производятся с верхним и нижним кубитом.
2.2. Квантовая запутанность
Оператор CNOT в квантовой схеме может работать
не только с кубитами, находящимися в базисном состоянии.
Наиболее интересные свойства он проявляет при работе с кубитами, которые приведены в состояние суперпозиции. Если
52
2.2. Квантовая запутанность
на управляющий кубит до применения оператора CNOT предварительно подействовать оператором Адамара, то можно получить квантовую запутанность. Этот квантовый эффект используется в квантовых вычислениях повсеместно, так как
позволяет реализовывать многие квантовые алгоритмы.
Если два кубита находятся в состоянии квантовой запутанности, это означает, что после измерения одного из них
можно точно сказать, в каком состоянии находится второй
кубит. Причем после приведения в состояние запутанности
эти два кубита можно разнести на большое расстояние –
связь между ними сохранится. Два кубита можно запутать
так, что они будут находиться в прямой корреляции: в каком
состоянии после измерения оказался один кубит, в такое же
состояние придет другой. Но можно создать и квантовую запутанность с обратной корреляцией: после измерения одного
из кубитов, другой кубит перейдет в другое состояние.
Здесь нельзя говорить о том, что результат измерения
каким-то образом с помощью некоторых скрытых параметров
предопределен заранее, так что оба кубита при разделении сохраняют эту информацию и соответственно с ней принимают
то или иное состояние. Это неверно, так как на самом деле два
запутанных кубита, даже будучи разделены большим расстоянием, составляют единую физическую систему. Также
нужно понимать, что результат измерения кубита, не находящегося в базисном состоянии, заранее знать невозможно, так
как это по-настоящему случайное событие.
Для начала создадим самое простое состояние квантовой
запутанности. Схема для его создания выглядит таким образом:
|0²
H
|0²
После применения оператора Адамара и оператора CNOT
два кубита становятся запутанными – между ними образу-
53
Глава 2. Многокубитные операции
ется прямая корреляция. Если верхний кубит после измерения окажется в состоянии 0, то и другой кубит также окажется в состоянии 0. Ну а если измеренный кубит находится
в состоянии 1, то другой кубит будет в таком же состоянии.
Запишем операции, производимые с кубитами:
1000 10 1 0 1
CNOT H
1,2 1
0100 01 0 1 0
00
0001 10 1 0 0
0010 01 0 1 0
1
0
11
0
22
1
1
2
00 11 .
Здесь необходимо пояснить, как мы получили H1 – оператор Адамара, воздействующий на верхний кубит. В момент
его действия на нижний кубит никакой оператор не воздействует, так что можно представить общий для двухкубитной
системы оператор как результат тензорного произведения
оператора Адамара и единичной матрицы:
10 1 0
11 10 010 1
HHI
112
11
11 01 1010
22
01 0 1
.
Говоря о квантовой запутанности, нужно также упомянуть о состояниях Белла – простейших примерах квантовой
запутанности:
1
54
;
;
00 11
2
1
00 11
2
2.2. Квантовая запутанность
1
;
.
01 10
2
1
01 10
2
В первых двух примерах корреляция между состояниями
двух кубитов прямая – после измерения оба кубита находятся в одинаковом состоянии, а в последних двух – обратная:
кубиты будут в разных состояниях.
Мы уже увидели, как можно получить первое состояние.
Для того чтобы привести систему кубитов в остальные три
состояния, потребуется в различные места квантовой схемы
–
добавить оператор X. Получить состояние |
можно с помо-
щью такой квантовой схемы:
|0²
|0²
HX
Расчеты для этого состояния выглядят таким образом
(для наглядности применим каждый оператор поочередно):
CNOT H X CNOT H
1,2 1 1 1,2 1
CNOT
1,2
00 10
11
00 10 00 11 .
22
Квантовая схема для получения состояния |+:
|0²
H
|0²
X
Здесь также применим операторы поочередно (хотя порядок применения H
и X2 в данном примере неважен – ре-
1
зультат будет всегда один и тот же):
CNOT H X CNOT H
1,2 1 2 1,2 1
CNOT
1,2
00 01
11
01 11 01 10 .
22
55
Глава 2. Многокубитные операции
Схему для состояния |+ можно немного изменить, расположив оператор X
оператора CNOT
XCNOT H XCNOT
21,21 21,2
X
не до (по времени применения), а после
1
. Результат будет тот же:
1,2
00 00 10
1
2
11
00 11 01 10 .
2
22
Зная устройство квантовых схем для получения состоя-
–
ний |
и |+, можно легко получить состояние |–:
|0²
H
|0²
X
Приведем расчеты для получения этого состояния:
CNOT X H X CNOT X H
1,2 2 1 1 1,2 2 1
CNOT X
CNOT.
1,2
00 10
1
00 10
1,2 2
11
01 11 01 10
22
2
Состояния Белла, как и запутанные состояния вообще,
нельзя представить в виде тензорного произведения состояний двух кубитов:
qq .
12
Можно представить их лишь как сумму тензорных произведений базисных состояний системы кубитов одним
из двух способов (в зависимости от того, какая корреляция
между состояниями кубитов – прямая или обратная):
00 11
или
01 10,
где и – амплитуды состояний кубитов.
56
2.3. Операторы CZ и
CY
2.3. Операторы CZ и
CY
Подобно оператору CNOT, в котором в зависимости
от состояния управляющего кубита происходит применение оператора X к целевому кубиту, существуют подобные
двухкубитные операторы и для других операторов, например Y и Z. Называются они по примеру CX (другого обозначения оператора CNOT) операторами CY и CZ. Из этих двух
операторов наиболее часто применяется оператор CZ. Вот
как он выглядит:
100 0
010 0
CZ
001 0
000 1
.
По этой матрице виден принцип устройства условного
оператора: в нижнем правом углу располагается оператор,
срабатывающий при верхнем кубите, находящемся в состоянии 1. В данном случае это оператор Z.
Рассмотрим действие оператора CZ на различные состояния двухкубитной системы:
00 00CZ ;
1,2
01 01CZ ;
1,2
10 10CZ ;
1,2
11 11CZ
1,2
.
Видно, что по сравнению с оператором CNOT, при применении которого система меняется в двух случаях из четырех,
оператор CZ меняет систему только в одном случае – когда
оба кубита находятся в состоянии 1. Этот факт приводит
к тому, что становится неважно, какой из кубитов является
57
Глава 2. Многокубитные операции
управляющим. Именно поэтому обозначение оператора CZ
в квантовой схеме в визуальном плане симметрично:
Применение CZ, как кажется, не приносит каких-либо
существенных изменений, так как при смене общей фазы
физическая система остается той же. Но если представить,
что эти два кубита находятся в состоянии суперпозиции, то
это означает, что амплитуда при состоянии |11 меняет знак,
в то время как остальные амплитуды не меняются, а это уже
означает, что система кубитов перешла в другое состояние.
Подобные эффекты востребованы, в частности, в алгоритме
Гровера.
Оператор CY обозначается таким образом на квантовой
схеме:
Y
Подобно операторам CNOT и CZ, в нижнем правом углу
оператора CY расположен оператор Y:
100 0
010 0
CY
000
00 0
i
.
i
Конечно, при перемене мест управляющего и целевого кубита матрицы CY и CZ будут выглядеть по-другому.
Также в многокубитных системах двухкубитный условный оператор будет устроен сложнее. Для того чтобы получить нужную матрицу, нужно будет представить исходный и конечный вектор состояния, определить, какие
элементы вектора поменялись местами (если сработало
условие) либо для какого вектора поменялся множитель,
58
2.3. Операторы CZ и
CY
а затем уже исходя из этой информации получить соответствующую матрицу на основе единичной матрицы такого
же размера. Рассмотрим получение матрицы для такого
оператора CNOT:
Распишем получение новых состояний трехкубитной системы после применения данного оператора на все восемь
возможных исходных базисных состояний:
1
0
0
0
CNOT
000 000
1,3
0
0
0
0
;
CNOT
001 001
1,3
0
1
0
0
0
0
0
0
;
59
Глава 2. Многокубитные операции
0
0
1
0
CNOT
CNOT
010 010
1,3
011 011
1,3
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
;
;
60
CNOT
100 101
1,3
0
0
0
0
0
1
0
0
;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]