Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовые вычисления. Теория и практика. Учебник
.pdf
1.6. Операции в классическом и квантовом компьютере
модуль и аргумент комплексного числа, можно представить
число в тригонометрической форме:
(cos sin ),zz i
где – аргумент комплексного числа.
Для выведения еще одной формы комплексного числа потребуется формула Эйлера, связывающая комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями:
i
cos sin
ei
.
И теперь мы можем получить показательную форму комплексного числа:
i
.
zze
Получается, что для того чтобы описать состояние кубита, требуется два комплексных числа. Для представления
состояния потребуется четырехмерное пространство (по два
измерения на каждое комплексное число). Конечно, такое
представление тяжело визуализировать, поэтому позже мы
узнаем, как можно изображать различные состояния кубита, используя меньшее количество измерений. Уменьшить
количество измерений такого пространства состояний кубита позволяет тот факт, что значения амплитуд подвержены
ограничениям. Если кубит находится в состоянии суперпозиции, это означает, что у него есть две ненулевые амплитуды, которые не могут быть какими угодно числами.
Во-первых, их модуль не может превышать единицу, а вовторых, сумма квадратов модулей амплитуд должна равняться 1. Второе условие выводится из требования к сумме
вероятностей возможных состояний: очевидно, что суммарная вероятность должна быть равна 1, так как состояния,
появляющиеся после измерения, являются взаимоисключающими (после измерения суперпозиция пропадает, и для
кубита в результате измерения будет получен только один
результат).
21
Глава 1. Основные понятия квантовых вычислений
Еще один важный факт: для физического состояния системы кубитов неважна общая фаза. Под общей фазой здесь понимается множитель, находящийся перед выражением, описывающим всю систему кубитов. Например, такие состояния
однокубитной системы являются физически неразличимыми:
0 ;
0 ;
0i
;
0i .
При этом нужно понимать, что, например, такие состояния являются различными:
11
;
01
22
11
01
,
22
так как не получится эти выражения сделать равными путем
вынесения какого-либо множителя за скобку и его последующего отбрасывания.
Состояния, в которых можно вынести множитель за скобку
так, чтобы состояния в скобке были одинаковыми, мы можем
называть одинаковыми с точностью до общей фазы. Благодаря тому, что они физически неразличимы, можно избавиться
от комплексного числа при амплитуде базисного состояния |0,
вынеся за общую скобку комплексную экспоненту:
ii
12
01
ae ae
;
12
i
01,
12
i
1
ea a
2
e
i
1
e
где a1, a2 – модули комплексных чисел; 1, 2 – аргументы
комплексных чисел.
22
1.6. Операции в классическом и квантовом компьютере
Далее можно отбросить вынесенную за скобку экспоненту:
i
2
010 1
aa aae
12 12
e
i
1
e
01,
aae
12
i
()
i
21
;
где = 1 – 2.
Таким образом, мы получили состояние кубита, равное
исходному, но при этом только одна из амплитуд является
комплексным числом.
Исходя из того, что амплитуда – это комплексное число,
амплитуду недостаточно возвести в квадрат для того, чтобы
получить вероятность: нужно сначала найти модуль амплитуды, а потом уже возвести ее в квадрат (если бы амплитуды
были действительными числами, было бы достаточно только
возведения в квадрат). Для примера рассмотрим состояние
кубита, в котором амплитуда при состоянии 1 является комплексным числом, и найдем вероятность после измерения
такого кубита получить состояние 1:
0,8 0,8
0,6 0 1
(1) 0,8 0,64
p .
0,8 0,8
22
2
i
i
;
2
22
Чаще всего мы будем использовать именно кет-векторы
для обозначения состояния кубитов и соответствующие
им векторы-столбцы. Но иногда могут оказаться нужными бра-векторы, которым соответствуют векторы-строки
с комплексно сопряженными элементами. Краткое напоминание: комплексно сопряженное число – это число, у которого знак перед мнимой частью заменили на противоположный. Бра-векторы для состояний 0 и 1 обозначаются
таким образом: 0|, 1|. Вообще, бра-векторы нужны для не-
23
Глава 1. Основные понятия квантовых вычислений
которых вычислений, в которых также обычно есть и кетвекторы. Отдельно бра-векторы, в отличие от кет-векторов,
применяются редко.
Пусть кубит находится в некотором состоянии , тогда
мы можем это состояние записать таким образом в виде кетвектора:
01 .
Соответствующий этому кубиту бра-вектор выглядит так:
**
01 .
Каждая из амплитуд в кет-векторе является комплексно
сопряженной (это обозначено звездочкой). Приведем пример:
0,6
0,8 0,8
0,6 0 1
22
**
010,6
i
0,8 0,8
22
0,8 0,8
;
i
i
.
22
Нетрудно заметить, что бра-вектор, соответствующий
данному кет-вектору, представляет собой вектор-строку,
в которой в элементах вектора поменялся знак перед мнимой
частью амплитуд.
1.7. Гильбертово пространство
и скалярное произведение
Мы уже выяснили, что для амплитуд в состояниях кубитов используются комплексные числа. Теперь более четко
сформулируем эту идею: для того чтобы описать состояние
кубита, нам потребуется использовать гильбертово пространство над полем комплексных чисел. Разберемся подробно,
что это такое. Во-первых, гильбертово пространство является линейным пространством. Если кратко вспомнить осно-
24
1.7. Гильбертово пространство и скалярное произведение
вы линейной алгебры, то линейное пространство – это набор
элементов (векторов), с которыми можно делать такие операции: векторы можно складывать или вычитать, а также вектор можно умножать на скаляр.
Гильбертово пространство – это линейное пространство,
в котором добавляется еще одна операция – скалярное произведение. Скалярное произведение – это операция, в которой производятся действия с двумя векторами и в итоге
получается скаляр. В том случае, если бы мы использовали
гильбертово пространство над полем действительных чисел,
то скалярное произведение можно было бы задать, используя такую знакомую по средней школе формулу, как сумма
произведений соответствующих элементов двух векторов:
( , ) ...
ab ab ab a b ab
.
11 22 1 1
nn nn
Но для скалярного произведения в гильбертовом пространстве над полем комплексных чисел мы применим формулу, в которой элементы одного из векторов будут комплексно сопряженными. Для того чтобы не задумываться, какой
конкретно из векторов в скалярном произведении (первый
или второй) должен быть комплексно сопряженным (в математической и физической литературе могут быть разные варианты формул), мы сразу запишем скалярное произведение
двух векторов так, как нам позволяют обозначения квантовой физики – с использованием бра- и кет-вектора:
ab .
Обратите внимание на запись скалярного умножения:
для экономии места вместо двух вертикальных черт (одна
принадлежит бра-вектору, другая – кет-вектору) принято
записывать одну. Также в литературе по квантовой физике
встречается такое обозначение:
.
,ab
25
Глава 1. Основные понятия квантовых вычислений
Но мы не будем его использовать, так как первый вариант является наиболее наглядным и уж точно не приведет
к разночтениям. Посчитаем скалярное произведение двух
векторов состояний:
0,6 0 0, 8 1ai ;
1
b ;
ab i
0,6 0,8
Гильбертово пространство, как и любое линейное пространство, имеет базис – набор векторов, число которых равно числу измерений пространства. Для кубита такой базис
должен быть ортонормированным. Один из наиболее часто
используемых базисов – вычислительный базис, состоящий
(для однокубитной системы) из двух хорошо известных нам
векторов: |0 и |1. На примере этого базиса легко убедиться
в том, что он является ортонормированным, заодно и вспомнив свойства скалярного произведения: для двух ортогональных векторов скалярное произведение должно быть равно 0, а скалярное произведение вектора единичной длины
(то есть нормированного вектора) с самим собой равняется 1:
01
2
1
2
1
2
0,6 0, 8
i
2
.
01 0 ;
00 1 ;
11 1 .
Гильбертово пространство для однокубитной системы
является двумерным, так как мы уже выяснили выше, что
для описания состояния кубита требуется две комплексных
26
.8. Тензорное произведение
амплитуды (если не брать в расчет вариант с избавлением
от общей фазы). Обозначать гильбертово пространство для
2
состояний одного кубита можно так: H
. Размерность гиль-
бертова пространства для произвольного числа кубитов n бу-
n
дет равна 2
пространство H
. То есть для двухкубитной системы потребуется
4
, а для трехкубитной – H8 и т.д.
Так как размер пространства растет экспоненциально
по отношению к числу кубитов, то для даже относительно
небольшого количества кубитов в квантовой схеме (несколько десятков) становится сложно симулировать вычисления
с такой квантовой схемой на классическом компьютере.
Если брать большее количество кубитов, например 300, то,
зная тот факт, что количество атомов во Вселенной меньше
300
(это число дано с запасом, обычно приводят число 1080),
2
становится понятно, насколько мощным инструментом является квантовый компьютер по сравнению с классическим.
Понятно, что никакой, даже самый мощный, суперкомпьютер (пока что этим словом называют именно классический
суперкомпьютер) не сможет смоделировать квантовую схему
начиная с определенного (причем, относительно небольшого) количества кубитов.
1.8. Тензорное произведение
Помимо умножения матриц, которое обычно применяется в линейной алгебре, мы также будем использовать тензорное произведение, а если говорить конкретно, то мы будем
использовать частный случай тензорного произведения –
произведение Кронекера. Так называют операцию тензорного произведения для двумерных матриц, то есть для матриц,
содержащих только строки и столбцы.
Тензорное произведение мы будем использовать не только для матриц, но и для векторов, подразумевая, что векторы – это частный случай матриц. Правила применения этой
27
Глава 1. Основные понятия квантовых вычислений
операции для двумерных матриц достаточно просты: каждый элемент матрицы, находящейся слева, нужно умножить
на правую матрицу, и затем из полученных таким образом
матриц составить новую большую матрицу. Для двух матриц 2 на 2 справедлива формула:
aa bb
11 12 11 12
aa bb
21 22 21 22
ab ab ab ab
11 11 11 12 12 11 12 12
ab ab ab ab
11 21 11 22 12 21 12 22
ab ab ab ab
21 11 21 12 22 11 22 12
ab ab ab ab
21 21 21 22 22 21 22 22
.
Тензорное произведение матриц нам пригодится позже,
когда мы будем рассматривать операторы, воздействующие
на многокубитные системы, но на данный момент нас больше интересует, как сами эти многокубитные системы получить. Начнем с кет-векторов, покажем, как можно записать
два кубита, один из которых находится в состоянии 0, а другой – в состоянии 1, разными способами – как со значком
тензорного произведения, так и без, а также заключим кубиты в одни скобки кет-вектора:
010101 .
Такие же операции можно делать и с бра-векторами.
А теперь самое интересное – произведем тензорное произведение непосредственно с векторами-столбцами, получив
для двух кубитов единый вектор-столбец:
0
0
.
28
101
01
010
.8. Тензорное произведение
Теперь виден смысл тензорного произведения – эта операция помогает представить состояние многокубитной системы как вектор в гильбертовом пространстве соответствующей размерности. В данном случае это два кубита и
размерность гильбертова пространства равна четырем, то
4
есть мы получили вектор состояния в пространстве H
.
Таким образом мы можем представить все базисные состояния двухкубитной системы в виде векторов-столбцов:
1
110
00
000
101
01
010
010
10
101
0
0
0
0
0
;
;
;
0
000
11
110
1
.
Если имеется состояние суперпозиции для системы
из двух кубитов, то его легко представить в виде векторастолбца, элементами которого будут являться амплитуды
при базисных состояниях:
29
Глава 1. Основные понятия квантовых вычислений
a
1
a
2
00 01 10 11
aaaa
1234
.
a
3
a
4
Нетрудно догадаться, что в отличие от умножения матриц по правилам линейной алгебры тензорное произведение
не требует того, чтобы матрицы были какого-то подходящего
размера. В принципе, можно находить тензорное произведение для матриц любого произвольного размера. А теперь для
полноты картины добавим еще один кубит, получив трехку-
8
битную систему в гильбертовом пространстве H
00 01 10 11 0 1
aaaabb
123412
ab
11
ab
12
.
ab
41
ab
42
aab
121
abab
2122
abab
3231
aab
432
:
Если же вектор состояния описывает, к примеру, 10-кубитную систему, то, как несложно посчитать, он будет состоять из 1024 элементов. Таким же будет число базисных состояний и число амплитуд при этих базисных состояниях.
1.9. Квантовый вентиль
X
Базисные состояния кубита |0 и |1 составляют вычис-
лительный базис. В квантовых схемах кубиты обычно задаются в начальном состоянии |0, и затем уже с ними производят дальнейшие операции. Самая легкая для понимания
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]