Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ дискретных устройств объектов информатизации при решении задач информационной безопасности. Учебное пособие
.pdf
Пример 2.11.
(,,
)
=
˅
.
Получим КНФ функции:
(,,
)=(
˅
=(˅
)(
)(
˅
˅
)(
˅
˅
)(
)(
)
˅
.
)
=
Определив недостающие переменные в каждой элементарной
дизъюнкции, добавим их и приведем к виду КНФ, получив СКНФ:
=(˅˅
)(˅˅
=(˅˅)(˅˅
(,,
)(˅
)(
)
=
˅˅
˅)(
)(
˅
˅˅)=
˅
)
.
Нормальные и совершенные нормальные формы логических
функций используются при решении задач, анализа ДУ, в частности для определения возможности минимизации функциональных
электрических схем ДУ.
2.7. Минимизация логических функций
При рассмотрении стандартных форм логических функций было выяснено, что СДНФ и СКНФ являются неэкономичными формами представления логических функций. Для построения ДУ целесообразно применять формы представления логических функций
более компактные, позволяющие экономно реализовать устройства.
Критериями компактного представления логических функций
являются: минимальное количество переменных в ДНФ (КНФ) или
минимальное количество элементарных дизъюнкций (конъюнкций)
в ДНФ (КНФ). Эти критерии используются при минимизации логических функций.
Известны методы минимизации, позволяющие по СДНФ
(СКНФ) получить сокращенные ДНФ (СкДНФ), тупиковые ДНФ
(ТДНФ), минимальные ДНФ (МДНФ) и кратчайшие ДНФ (КДНФ).
Рассмотрим методы получения минимизированных дизъюнктивных форм логических функций.
Получение СкДНФ по методу В. Куайна. В этом методе используются так называемые простые импликанты.
21
Для логической функции импликантой будет любая функция
φ, если на любом значении наборов переменных, где φ = 1, значение функции также равно 1. Так, каждая конституента 1 в СДНФ
будет импликантой этой функции.
Импликантами будут и результаты совместного применения к
логической функции операций неполного склеивания ∨ =
= ∨ ∨ и поглощения ∨=A, т. е. каждое выражение А,
а также их дизъюнкции.
Импликанта называется простой, если никакое ее вхождение не
является импликантной данной функции.
Для минимизации СДНФ по методу В. Куайна осуществляется
попарное сравнение элементарных конъюнкций вида А и А
и применение операций склеивания ∨А = ∨ ∨ и
∨ = и поглощения до тех пор, пока их можно осуществлять.
В результате получается дизъюнкция конъюнкций (называемые
простыми импликантами), которая эквивалентна исходной СДНФ.
Дизъюнкция всех простых импликант логической функции
называется сокращенной ДНФ.
Пример 2.12.
(,,
=(1− 3):
)
= (1)
∨
∨
∨
∨(2)
∨
=
∨(3)
∨(2−3):
∨
.
∨
=
Здесь элементарные конъюнкции пронумерованы (1), (2), (3).
Попарное рассмотрение их – (1–3), (2–3).
Получение СкДНФ по методу Е. Мак-Класски. В этом методе
процедура неполного склеивания и поглощения над буквенными выражениями функций заменена операциями над двоичными кодами.
Каждой конституенте 1 ставится в соответствие код двоичного
числа. Например, для
кодом будет 001, для
– 000.
К кодам применяются операции склеивания и поглощения. Склеиваются только соседние коды, которые отличаются только в одном
разряде. В обобщённом коде в результат склеивания, вместо исключенной переменной, ставится прочерк. Все поглощенные коды
помечаются. Оставшиеся непомеченными коды представляют простые ипликанты.
22
Для примера 2.12 применение метода Е. Мак-Класски состоит в
следующем:
‒ выписывают в виде кодов конституенты единиц:
010, 001, 000;
‒ проводят попарное склеивание соседних кодов:
010
000
0−0
∗
∗
001
000
00−
∗
∗
;
‒ коды 0–0 и 00– не являются соседними и их склеивание не-
возможно. Им соответствуют простые импликанты
и
;
‒ СкДНФ будет иметь вид:
(,,
)
=
∨
.
Получение ТДНФ покрытием импликантной таблицы. Для по-
лучения ТДНФ логической функции используется СДНФ функции
и СкДНФ. Строится импликантная таблица, столбцы которой обозначаются конституентами единиц СДНФ, а строки – простыми
импликантами СкДНФ.
Для логической функции в СДНФ (,,
∨
(,,
∨
∨
)
=
∨
∨
∨
и полученный СкДНФ
∨
построим импликантную
)
=
∨
таблицу (табл. 2.5).
Таблица 2.5
Импликантная таблица
Простые импликанты
P1
P2
P3
P4
× ×
× ×
× ×
× ×
Конституенты единицы
В табл. 2.5 поставлены отметки в клетках на пересечении конституент единиц и простых импликант, ее поглощающих.
23
Задача покрытия импликантной таблицы состоит в определе-
{
нии неизбыточного множества строк
}
, для которых каждый
столбец имеет хотя бы одну отмеченную клетку.
Покрытия, близкие к минимальному, можно получить следующим образом:
1) выбирают столбец с наименьшим числом отмеченных кле-
{
ток и строку с отмеченной клеткой включают в
}
;
2) исключают из импликантной таблицы выбранную строку и
все столбцы, имеющие отметки в этой строке;
3) повторяют пп. 1 и 2 для оставшихся столбцов, пока все
столбцы не будут вычеркнуты;
4) проверяют неизбыточность покрытия путем поочередного
{
исключения выбранных строк из
}
.
Если при исключении какой-либо строки все конституенты единицы заданной функции будут иметь отметки в остальных строках, то
{
эта строка является избыточной и должна быть удалена из
}
.
Дизъюнкция простых импликант, входящих в покрытие импликантной таблицы, представляет собой ТДНФ.
Для рассматриваемой импликантной таблицы простые импли-
канты =
и =
войдут в покрытие сразу, поскольку
имеют по одной отметке, которые зафиксированы прямоугольниками (см. табл. 2.5). Покрытие будет
{
,
ключенного, первого столбца в покрытие могут войти или или
Тогда
{
,,
}
– одно покрытие, а
{
}
. Для оставшегося, не ис-
,,
}
– другое.
Исключение любой строки из каждого покрытия оставляет не-
которую часть таблицы с не исключенными столбцами.
Таким образом, получаются две ТДНФ:
ТДНФ
ТДНФ
=
=
∨
∨
∨
∨
,
.
.
Получение ТДНФ по методу С. Петрика. По этому методу по-
крытие получают преобразованием ПΣ → ΣП.
По рассматриваемому примеру будет ясна суть метода.
)
ΣП =(∨
(
∨
24
)
(
∨
)
.
Раскрытие скобок приводит к виду:
ΣП =
(
∨
)(
∨
)
=
= ∨∨=
= ∨∨∨.
Каждое слагаемое определяет строки, обеспечивающие
покрытие.
Есть избыточное покрытие –
.
, есть повторяющееся –
В итоге, имеются два неизбыточных покрытия, обозначенные
и
:
={,,
}
, ={,,
}
.
Получение МДНФ. Получение МДНФ состоит в переборе всех
полученных тупиковых ДНФ и выборе минимальной по числу букв
в каждой ТДНФ.
В рассматриваемом примере две ТДНФ и каждая из них
имеет одинаковое количество букв. Отсюда следует, что функция
имеет две МДНФ:
МДНФ
МДНФ
=
=
∨
∨
∨
∨
имеет 6 букв;
имеет 6 букв.
Используя скобочную форму записи функции, можно получить
так называемое компактное её представление. Так для
МДНФ
это
представление может иметь вид:
=
(∨)∨
.
Минимизация по методу матриц Карно. Матрицы Карно
упрощают задачу минимизации при получении минимальных нормальных форм логических функций.
Матрица Карно – это прямоугольная таблица истинности, содержащая 2n клеток, в которой строки и столбцы обозначены соседними двоичными кодами. В клетки матрицы записываются значения
логической функции на соответствующих наборах переменных.
Если в клетке матрицы Карно стоит прочерк для частично определенной логической функции, то в этой клетке можно ставить
либо 0, либо 1.
25
Матрица Карно для трех переменных представлена в табл. 2.6,
а для четырех – в табл. 2.7.
Таблица 2.6
Матрица Карно для трех переменных
x2 x
x
1
3
00 01 11 10
0 0
1
1 1 0 1
1
1 0
001
101
−01
100
110
1−0
Здесь подкубы демонстрируют склеивание.
Матрица Карно для четырех переменных
x3 x
x1 x
2
4
00 01 11 10
00 0 0 0 0
01 0 1 1 0
11 0 1 1 0
Таблица 2.7
10 0 0 0 0
01−1
11−1
−1−1
В матрицах Карно могут объединяться 1 или 0 в подкубы. Под-
куб объединяют 2n клеток в форме прямоугольника.
Например, на рис. 2.5 представлены варианты правильных под-
кубов.
26
Рис. 2.5. Правильные подкубы матрицы Карно
Рассмотрим свойства матриц Карно:
‒ объединение двух соседних клеток, в которых записаны еди-
ницы, равносильно операции склеивания им соответствующих конституент 1. В табл. 2.6 и 2.7 показано склеивание конституент 1 при
включении в подкуб, соответственно, двух и четырех единиц;
‒ соседним наборам переменных функции соответствуют не
только рядом расположенные единицы, но и крайние клетки строк
и столбцов;
‒ чем больше клеток включено в подкуб, тем больше консти-
туент 1 склеиваются и тем меньше букв входит в конъюнкцию, соответствующую подкубу;
‒ подкуб, полностью не входящий в другой подкуб, эквивален-
тен простой импликанте;
27
‒ для записи импликанты, соответствующей выбранному под-
кубу, необходимо выделить те переменные, которые не меняют
своего значения в подкубе.
Для ДНФ, если переменная равна 1, то в импликанту она вой-
дет в прямом виде , если равна 0 – в инверсном виде .
По матрице Карно, если надо получить СДНФ, надо взять
дизъюнкцию выражений, полученных для каждой конституенты
единицы.
Для получения СкДНФ надо взять дизъюнкцию выражений
(простых импликант), полученных для всех максимально возможных подкубов и покрывающих все единицы матрицы.
Для получения ТДНФ надо взять дизъюнкцию выражений, полученных для максимально возможных подкубов, покрывающих
все единицы матрицы, при которых из всех подкубов какой-либо
подкуб исключен, а все единицы остались охвачены оставшимися
подкубами.
Получение МДНФ состоит в выборе из всех возможных покрытий для ТДНФ такое, которое имеет большие подкубы.
Пример 2.13. Пусть дана матрица Карно (табл. 2.8) с выделенными максимальными подкубами по единицам.
Таблица 2.8
Матрица Карно с максимальными подкубами по 1
x3 x4
x1 x2
00 01 11 10
00 1 1 0 0
01 0 0 0 0
11 1 1 0 1
10 0 1 0 0
Запишем по матрице все дизъюнктивные нормальные формы
представления логической функции:
(,,,)
∨
СДНФ
=
∨
28
∨
∨
∨
;
∨
(,,,
)
СкДНФ=
=
(,,,)
(,,,)
(,,,)
∨
ТДНФ
МДНФ
∨
=
ТДНФ
=
=
∨
∨
∨
∨
∨
∨
∨
∨
∨
– выбрана.
;
;
;
По рассматриваемой матрице Карно (табл. 2.9), но с максимальными подкубами по 0 запишем все конъюнктивные нормальные формы представления логической функции.
Таблица 2.9
Матрица Карно с максимальными подкубами по 0
x3 x4
x1 x2
00 01 11 10
00 1 1 0 0
01 0 0 0 0
11 1 1 0 1
10 0 1 0 0
(,,,
∙(∨
∙(∨
∨∨
∨
∙(
= (∨
(,,,)
(,,,)
(,,,
)
СКНФ
∨
∨∨
)(∨
= (∨
ТКНФ
= (∨)(∨)(∨)(∨∨);
ТКНФ
=(∨∨
)(
)(
∨
∨
∨
∨∨
∨
)(
(,,,
)(∨
)(
)
МКНФ
=
∨
∨∨
)
СкКНФ=
)(
∨
(
,,,
∨
)(
)(
∨
)(∨
)(
∨∨
∨
∨
∨),
)(
∨∨);
)
ТКНФ=
∨
∨
)(
∨∨);
∨
∨
∨
)
∙
)
∙
)
∙
= (,,,)
ТКНФ
29
– одна из них.
2.8. Разработка функциональной электрической схемы
дискретного устройства комбинационного типа
Рассмотренные логико-математические основы ДУ комбинационного типа позволяют проводить построение ФЭС по таблице
истинности.
Построение ФЭС по таблице истинности проводят в такой последовательности.
Рассмотрим процесс построения ДУ на примере.
Пример 2.14. Пусть дана таблица истинности (табл. 2.10)
Таблица 2.10
Таблица соответствия для построения ФЭС ДУ
комбинационного типа
x
1
x2 x3 x4 z
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]