Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ дискретных устройств объектов информатизации при решении задач информационной безопасности. Учебное пособие
.pdf
5. Законы идемпотентности:
= , ˅=
.
6. Закон двойного отрицания:
= .
7. Законы 0 и 1:
= 0, ˅ = 1, ∙1 = , ˅1 = 1,
∙0 = 0, ˅0 = , 0= 1, 1= 0.
2.3. Базисы логических функций
Логические функции, выраженные через три операции: отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию [см. формулы (2.1) – (2.8)],
можно преобразовать так, чтобы в них осталось по две связки:
И, НЕ или ИЛИ, НЕ, используя закон де Моргана.
Так конъюнкцию и дизъюнкцию можно представить через
ИЛИ, НЕ, а также И, НЕ:
f
(, ) =∙
1
f
(, ) = ˅
2
=
=
˅
,
∙
.
Поэтому выражения (2.1) – (2.8) можно преобразовать так,
чтобы в них осталось по две связки: ИЛИ, НЕ или И, НЕ.
Представление через стрелку Пирса и штрих Шеффера имеет
вид:
f
(, ) =
12
f
(, ) =
12
= ↓ ; 1(, ) =·= (↓ ) ↓ (↓ ),
|
= |; 7(, )=˅= (
)
|(|).
То есть, все логические операции можно выразить:
– через операции И, ИЛИ, НЕ;
– через операции И, НЕ или ИЛИ, НЕ;
– через операцию стрелка Пирса или штрих Шеффера.
Указанные наборы операций называются базисными для логических функций.
Выбор того или иного базиса, из которого может быть построена любая функция, реализуемая ДУ, вызван техническими соображениями. Выбираемый базис представляет собой модель простейших конструктивных элементов ДУ.
11
2.4. Техническая реализация основных логических операций
Логические элементы ДУ в различные исторические периоды реализовывались релейно-контактными схемами, радиоэлектронными
бесконтактными элементами и интегральными микросхемами.
Ограничимся рассмотрением интегральных микросхем, представленных условными графическими обозначениями (УГО) эле-
ментов согласно ГОСТ 2.743-91 [1].
УГО элемента имеет форму прямоугольника, к которому подводят линии выводов (входов и выходов) для соединения с другими
элементами. Входы элементов изображают с левой стороны УГО,
выходы – с правой стороны. Особенности изображения УГО приведены в ГОСТ 2.743-91 и состоят в следующем:
не допускается проводить линии выводов на уровне сторон
прямоугольника;
не допускается проставлять стрелки, указывающие направ-
ление потоков информации;
расстояние между линиями выводов должно быть кратным
величине c;
расстояние между горизонтальной стороной УГО и линией
вывода должно быть не менее и кратным величине 0,5c;
размеры УГО по высоте должны быть кратными постоянной
величине 0,5c.
При выполнении схемы вручную, величина c должна быть не
менее 5 мм. Различные указатели и метки, обозначающие назначение
выводов, например инверсный вывод, должны быть не более 3 мм.
Примеры УГО конъюнктора, дизъюнктора и инвертора представлены на рис. 2.1.
а) б) в)
Рис. 2.1. Условное графическое обозначение:
а – конъюнктора; б – дизъюнктора; в – инвертора
12
Функционирование логических элементов представляют вре-
менными диаграммами (рис. 2.2).
а) б) в)
Рис. 2.2. Временные диаграммы функционирования:
а – конъюнктора; б – дизъюнктора; в – инвертора
Рассмотренные логические элементы реализуют простые логические функции. Схемы, построенные с использованием УГО логических элементов, называются функциональными электрическими
схемами (ФЭС).
Часто в ФЭС дискретных устройств используют так называемые «сборки» (рис. 2.3).
Рис. 2.3. «Сборка» из логических элементов реализует функцию
y =˅
«Сборке» на рис. 2.3 соответствует ФЭС, представленная на
рис. 2.4.
13
Рис. 2.4. Функциональная электрическая схема,
реализующая функцию y =˅
2.5. Способы задания логических функций
Логические функции могут быть заданы следующими способами:
словесным – путем описания принимаемых значений в зави-
симости от значений переменных;
табличным – при котором задают значения функции при
различных наборах значений переменных;
цифровым – перечислением наборов переменных на которых
функция принимает определенные значения;
аналитическим – записью формулы логической функции.
Словесный способ удобен при малом количестве переменных,
является неформализованным. При большом количестве переменных словесный способ не применяется.
Табличный способ использует так называемые таблицы истинности, задающие последовательное перечисление значений функции для различных наборов переменных. Обычно наборов пере-
менных 2
, где n – число переменных. Способ нагляден, формализован, но громоздок. В таблице истинности рабочие наборы
заданы 1, запрещенные 0, условные – представлены прочерком (–),
на них функция не определена.
Пример таблицы истинности представлен в табл. 2.3.
14
Таблица 2.3
‒
‒
Таблица истинности функции f (x1x2x3)
Двоичный
x1 x2 x3 f(x1x2x3)
эквивалент
0 0 0 0
1 0 0 1 1
2 0 1 0 1
3 0 1 1
4 1 0 0 0
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
В качестве табличного способа задания логических функций
могут использоваться матрицы Карно.
Матрица Карно по таблице истинности (см. табл. 2.3) пред-
ставлена в табл. 2.4.
Таблица 2.4
Матрица Карно
x2 x3
x1
00 01 11 10
0 – 1 – 1
1 0 1 0 1
Цифровой способ задания функции перечисляет номера наборов
или в двоичном виде, или в десятичном, на которых функция равна 1,
в качестве рабочих, и наборов, на которых функция равна 0,
в качестве запрещенных.
Кроме того, для частично определенных функций выделяются
условные наборы, на которых функция не определена, т. е. на них
функция может принимать значение либо 0, либо 1.
15
Для рассматриваемой функции, заданной таблицей истинности
(см. табл. 2.3), цифровой способ задания функции будет иметь вид:
f :={001, 010, 101, 110}, ={100, 111}, ={000,011}
–
при использовании двоичных значений наборов;
f :={1, 2, 5, 6}, ={4, 7}, ={0, 3}
– при задании
наборов десятичными числами.
Аналитический способ использует сочетание символов функции, их переменных, логических операций и скобок, составляющих
формулу.
Например, для таблицы истинности (см. табл. 2.3) аналитическое задание логической функции может иметь вид:
f(,,)=
˅
˅
˅
.
2.6. Нормальные и совершенные нормальные формы
логических функций
Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) логических функ-
ций называется дизъюнкция различных между собой элементарных
конъюнкций. Элементарные конъюнкции − это конъюнкция непо-
вторяющихся переменных с отрицанием или без отрицания.
Например: ,
ции;
менные
−не элементарная конъюнкция содержит две пере-
.
,,
,
, ,,,
– элементарные конъюнк-
Известен алгоритм получения ДНФ произвольной формулы ло-
гической функции.
Алгоритм 2.1. Получение ДНФ
1. В произвольной форме все логические операции выразить
через И, ИЛИ, НЕ согласно формальным выражениям; A B =
=
˅; = ˅; ↓ = ˅
;| = , = ˅.
2. Опустить знаки инверсии на отдельные переменные по зако-
ну де Моргана:
= ˅˅,˅˅
16
= .
3. Раскрыть скобки и образовать дизъюнкцию элементарных
конъюнкций по законам алгебры логики.
4. Исключить повторяющиеся элементарные конъюнкции.
Пример 2.1.
(,,
=
)=(
=
˅
˅
˅
)
˅(
˅
˅
↓ )=(
=
˅
˅=
˅
˅
˅
(
˅.
)
˅(
˅
˅
)
=
)
=
Любая логическая функция может иметь несколько ДНФ, но
одна из них имеет особый вид и называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ).
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма логической
функции называется ДНФ элементарных конъюнкций, которые содержат все переменные, от которых зависит функция.
Эти элементарные конъюнкции представляют так называемые
конституенты единицы.
Пример 2.2.
(,,
)
= ˅
˅
.
Известны способы получения СДНФ:
‒ по таблице истинности;
‒ введением недостающих переменных;
‒
методом разложения логической функции по всем переменным.
Для получения СДНФ по таблице истинности используются
все рабочие наборы таблицы истинности. При этом необходимо:
‒ выписать все рабочие наборы в виде конституент единицы;
‒ записать дизъюнкцию всех конституент единицы рабочими
наборами логической функции в виде элементарных конъюнкций с
заменой 0 на и 1 на .
Пример 2.3.
В таблице истинности функции (,,) рабочими набора-
ми являются: 000, 010, 011, 111.
Им соответствуют конституенты единицы
000 ―
,
010 ―
17
,
011 ―
,
111 ―
Тогда СДНФ (,,)=
.
˅
˅
˅.
В основе получения СДНФ введением недостающих переменных лежат соотношения алгебры логики:
1=˅ и A=1A.
Ввести переменные
в элементарные конъюнкции можно
умножением ее на выражения (˅).
Последовательность получения СДНФ содержит следующие
этапы:
‒ получить ДНФ функции;
‒ определить отсутствующие переменные в элементарных
конъюнкциях;
‒ умножить каждую элементарную конъюнкцию на (˅) по
каждой недостающей переменной;
‒ раскрыть скобки и привести формулу к виду ДНФ.
Пример 2.4.
)
=
˅
˅
˅
˅
,
(
˅)˅=
˅.
(,,
=
z(,,
)
= (˅)˅
˅
Основой получения СДНФ разложением функции по n пере-
менным является разложение логической функции (,,…,)
по переменной
(,,…,
Пример 2.5. Разложить логическую функцию (,,
= ˅
= 1˅1
, которая имеет вид:
)
= (,1,…,
по переменной
1
˅
.
0˅0
)
˅
(,0,…,
0
= 1˅
1.
)
.
)
=
Разложение по двум переменным и (,,… , ):
(,,…,
)
=
)
˅
18
)
˅
(,0,1,,…,
(,0,0,,…,
= (,1,1,,…,
˅
(,1,0,,…,
)
˅
)
.
Здесь каждое слагаемое включает конъюнкцию сочетаний зна-
чений переменных в прямом и инверсном виде: ,
.
,
Для получения СДНФ логической функции надо разложить ее
по всем переменным и привести к ДНФ.
Пример 2.6.
(,,
˅
(0˅10)˅
˅
=
)
= ˅=
(
1˅01)˅(1˅10)˅
˅
˅
(0˅00)˅
(
0˅11)˅
˅
(1˅00)˅
˅
(
0˅01)˅
(
1˅11)=
.
Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) логических функций называется конъюнкция различных между собой элементарных
дизъюнкций. Элементарная дизъюнкция − это дизъюнкция непо-
вторяющихся переменных с отрицанием или без отрицания.
Пример 2.7.
,
(˅˅), (
˅), − элементарные дизъюнкции.
Известен алгоритм получения КНФ произвольной формулы логической функции.
Алгоритм 2.2. Получение КНФ
1. В произвольной формуле все логические операции выразить
через И, ИЛИ, НЕ: AB=˅; = ˅; ↓ =
=˅
;| =
, = ˅.
2. Опустить знаки инверсии на отдельные переменные, исполь-
зуя закон де Моргана:
= ˅˅,˅˅
= .
3. Образовать новые скобочные выражения и получить конъ-
юнкцию элементарных дизъюнкций, используя распределительный
закон алгебры логики: ˅ =(˅)(˅);˅ =
=(˅)(˅)(˅).
4. Исключить повторяющиеся элементарные дизъюнкции.
Пример 2.8.
(,,
)=(
=(˅
=(˅
)(
˅
)(
˅
)
)(
)(
19
˅
˅
=(
)
˅
)
)
=
=(˅
=
)(
˅)
.
Логические функции могут иметь несколько КНФ, одна из которых называется совершенной КНФ.
Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ)
называется КНФ, элементарные дизъюнкции которой содержат все
переменные логической функции.
Эти элементарные дизъюнкции представляют так называемые
конституенты нуля.
Пример 2.9.
(,,
)
= (˅˅
)(˅
˅).
СКНФ можно получить как по таблице истинности, так и введением недостающих переменных.
Для получения СКНФ по таблице истинности логической
функции используются все запрещенные наборы.
При этом выполняют следующие действия:
‒ выписывают все запрещенные наборы переменных в виде
конституент нуля;
‒ записывают конъюнкцию конституент нуля.
Пример 2.10. Для функции (,,
)
с запрещенными набо-
рами 100, 101 элементарные дизъюнкции будут следующие:
100
101
˅˅
˅˅
,
.
Тогда СКНФ будет иметь вид:
(,,
)
=(
˅˅)(
˅˅
).
В способе получения СКНФ введением недостающих переменных используют соотношения алгебры логики:
= ˅0и = 0.
Действия по получению СКНФ следующие:
‒ получение КНФ функции;
‒ определение недостающих переменных каждой элементар-
ной дизъюнкции;
‒ добавить в каждую элементарную дизъюнкцию слагаемое
по каждой недостающей в ней переменной;
‒ привести формулу к виду КНФ, которая и будет СКНФ.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]