Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Адаптивные системы управления с идентификацией. Монография.pdf
3.3. Примеры синтеза устройств управления
tUt
∈
−+−
thtutxt
x
τ
=
t
t
−
−
tutxt
x
x
t
kukxt
k
α+−+−
=
t
t
2*
min)]1())(|1([
=+τ+−α+τ+ txtty
при u
() ()
. (3.2.3)
Здесь
Ut() – множество допустимых значений управления.
Решение получается в форме (см. гл. 2)
tu
где идеальное управление
Формальное решение уравнения (3.2.5) записываем в виде
3.3. Примеры синтеза устройств управления
Пример 3.3.1. Считаем, что объект описывается линейным уравне-
нием
≤
;)(если,
⎧
utvu
11
⎪
=
)(
⎨
⎪
⎩
≤
22
≤≤
),(если,
tvuu
(3.2.4)
;)(если),(
utvutv
21
vt() вычисляем из решения уравнения
*
*
−
*1
)1())(|1(
τ++=ατ++ txtty , (3.2.5)
.
)1())(),()),(|((
τ++=αατ+ txttvttyf
. (3.2.6)
))(),1()),(|(()(
ttxttyftv ατ++ατ+=
+−=
Здесь
Через
h – неизвестное внешнее воздействие на объект, чистое запаздывание
. Структурная схема объекта приведена в верхней части рис. 3.3.1.
1=τ
q обозначен оператор запаздывания сигнала на один такт.
Необходимо найти алгоритм расчета управляющего воздействия
ut() в каждый текущий момент времени
туре модели и на основе измерений
входа и выхода объекта, чтобы достигалась цель управления: движение
*
системы по заданной траектории
Формируем модель объекта
y
α
)(
Параметр
объекта.
α оценивает неизвестное внешнее возмущение h
.
)1()2()1()(
, 1,,2,1 =
на основе информации о струк-
…
...);1(),1();(
(3.3.2)
. (3.3.3)
)()2()1())(|(
. (3.3.1)
()
61
3. Адаптивное управление динамическими объектами с чистым запаздыванием
t
α
t
t
α
x
t
t
t
tutxt
x
α+−+−
x
t
x
−−=
α
tutxtxt
+
t
t
tutxtty
+=α
+
=
α+=α+
t
tuttytt
y
t
tutut
x
−++
=
t
v
I
Вычислим )(
, приравняв выход модели ))(|(
y
и выход объ-
екта
)(tu
() в момент времени
)(th
q
u
q
q
Объект
q
Устройство
управления
)2( −
+
)(tv
−
2
q
−
)1( −tu
)(tα
+ +
Рис. 3.3.1
+
)1(−tx
q
++
−
−
)(2 tα
−
q
)1( −t
=
:
. (3.3.4)
)()2()1()(
Из (3.3.4) получим параметр
)2()1()()( −−
)(t
тификации представлена в нижней части
)2(*+tx
устройства управления на рис. 3.3.1.
дим по уравнению модели (3.3.3) прогноз
выхода объекта на момент времени
Структурная схема для блока иден-
Для расчета управления
ut() нахо-
α+−
α+
. (3.3.5)
2
)()1()())(|1(
(3.3.6)
α++
)()())(|1())(|2(
)(2)1()()(
и из локального квадратичного критерия оптимальности
txttyuI
2*
=+−α+= (3.3.7)
min)]2())(|2([)(
рассчитываем оптимальное управление:
⎧
если
≤
);()(),(
tutvtu
11
⎪
=
)(
tu
Идеальное управление
)(
туде. Значение
обеспечивает абсолютный минимум функции
(без учета ограничения на
)(
udI
⎨
⎪
⎩
u ):
если
если
≤
22
)(tv проходит через ограничитель по ампли-
≤≤
).()(),(
tvtutu
*
tutvtutv
21
=+−α+= txtty
du
*
)()()(
tututu
≤≤
21
(3.3.8)
);()()(),(
0))2())(|)2((2
,
**
)(2)1()()2()(
ttutxtxtv α−−−−+= . (3.3.9)
)2()(2)1()()(),2())(|2(
+=α+−+++=α+ txttutvtxtxtty
,
u()
Блок-схема полученного алгоритма управления (3.3.8), (3.3.9) приве-
дена на рис. 3.3.1 в верхней части устройства управления. Блок адаптив-
62
3.3. Примеры синтеза устройств управления
t
x
t
t
t
t
t
t
x
thtutxt
x
+−+
=
=++++
thtutxt
x
ththtutut
x
+++−+
−+α−++=+
+ε++ε
+
ε
+
ε
tvt
−−−−=α
tutxtxt
x
t
−+−+−
thtutxt
x
−=α
tht
t
−
ного управления состоит из двух частей: регулятора (3.3.8), (3.3.9) и идентификатора (3.3.5). Причем в момент времени
измерения выхода объекта
() вначале срабатывает идентификатор (он
после получения нового
вычисляет
тор рассчитывает управление
Вычислим теперь ошибку работы системы для момента времени
(так как она зависит от найденного управления u
2+
Подставим сюда
уравнения движения объекта
), а затем с учетом нового значения параметра
)(
α
)(tu и подаёт его на вход объекта.
0
)2( +
за счёт последовательного пересчёта x из
+
=+ )1()()1()2(
+=
*
а
управление
)2(
+tx – из уравнения (3.3.9), которому удовлетворяет идеальное
vt() (без учета ограничений),
*
регуля-
)(
α
()):
*
)2()2()2(
+−+=+ε txtxt . (3.3.10)
,
)()1()()1(
,
)()1()1()()(
)(2)1()()()2(
ttutvtxtx α+−++=+ .
Получим, что
ε )]()([)](2)()1([)2(
0
≡ tt . (3.3.11)
Ошибка работы системы состоит из ошибки
внешнего возмущения
ным ресурсом по управлению. Если ресурса по управлению хватает (т. е.
u
() ()=
ли есть некоторая информация об
В уравнение для расчёта параметра
подставим
), то 0)2(
2
()
из уравнения движения объекта
h и ошибки )2(
=+ε t . Ошибку идентификации можно оценить, ес-
h .
21
t , обусловленной ограничен-
2
=
и получим, что
)(
Параметр модели
α , как и в системе без чистого запаздывания
)2()2(
t идентификации
1
)1()2()1()(
)1()(
. (3.3.12)
≡
tvtutththt
)2(
)2()1()()(
(пример 2.2.1), точно отслеживает возмущение
ht()
1 , действующее на
63
3. Адаптивное управление динамическими объектами с чистым запаздыванием
t
x
t
−++=α
−
+
=
=
+
−+=
+
≤−−++=+ε
≤−+
+
ththt
−
−−=
ththt
Δ
≤
=−−++=+ε
Δ≤−−+−+=
t
t
α
t
tkkukxt
k
α−+−+−=
объект в предыдущий момент времени, так как информация об h
()−1 со-
держится в измеренном значении
Ошибка идентификации (с учетом (3.3.12)) равна величине
1
Здесь
ся постоянным:
ht() – неизвестное значение возмущения.
Если в течение некоторого интервала времени возмущение остает-
++=+ε thththtththt . (3.3.13)
=
t
то в момент времени
ошибка идентификации равна нулю только со следующего момента време-
ни
то ошибка идентификации равна величине
...,,2 ttt +=
. Если при
21
1+ идентификатор вычисляет эту константу, но
1
tt
ε )1()2(
Если известно, что возмущение
т. е.
тервал ее изменения:
|()|ht h≤
, то для ошибки идентификации получаем следующий ин-
1
() выхода объекта.
)1(2)()1()(2)()1()2(
−
...,,1,,)( ttttcth
1
возмущение меняет свое значение,
2
221
,
211
ctht
.
ht() лежит в заданном интервале,
1
thththt
+≤ .
При известном интервале изменения для приращения возмущения
h
|()|ΔΔht ≤
+=+Δ , )1()()(
, ошибка идентификации находится внутри интервала:
1
)()1()1(
Δ
h , т. е.
1
thththth .
Появление чистого запаздывания увеличивает ошибку идентификации и, соответственно, ошибку работы системы – см. пример 2.2.1.
Если
то в модель объекта вводим параметр
мени
ht() дрейфует во времени по линейному закону
ta
)(
, оценивающий в момент вре-
неизвестный коэффициент a:
y
α
h=)( , (3.3.14)
|)1(2)()1(||)2(|
4|)1(|2|)(||)1(| hththth
1
thththt
|)1(2)()1(||)2(|
3|)]1()([2)()1(|
1
. (3.3.15)
)()1()2()1())(|(
|)1(|
+Δ th
1
64
3.3. Примеры синтеза устройств управления
x
t
tty
tttutxt
x
α−+−+
−
t
+
t
tttutxt
t
α+−+=
α+++α
+
tttuttytt
y
tttutut
x
α++−+
+α+−−−−−
+
tttututxththtutut
=α+−−−−−α+
tttutvtxtttutut
−+α+−
tvtutttht
+ε++ε
+
ε
t
t
x
t
−++=α+−
+
ε
t
Как и в предыдущем случае, из условия равенства
() и ))(|(
α
= (3.3.16)
)(
находим
выхода объекта на момент времени
α :
1
−
Последовательно вычисляем по модели прогнозируемые значения
y
α+ ,
=α+ )()1()())(|1())(|2(
+=
Из критерия оптимальности (3.3.7) получаем оптимальное управление (3.3.8), где идеальное управление
*
Ошибка работы системы равна величине
0
)2(
:
*
txtxt
)()1()2()1()(
)]2()1()([)1()(
−−−−−=α
tutxtxtt . (3.3.17)
)()1()())(|1(
=
.
)()12()1()()(
)()12()1()()2()(
tttutxtxtv α+−−−−+= . (3.3.18)
=+−+=+ε )2()2()2(
*
txttyttytx
=+−α++α+−+= )]2())(|2([))](|2()2([
x
x
h
Вычислим ошибку идентификации
уравнение для расчета
уравнения движения объекта и получим, что
−
1
т. е. идентификатор точно оценивает постоянный параметр
идентификации (в (3.3.19)) равна нулю
1
Когда идеальное управление
управления) области, то и ошибка управления
тема осуществляет точное движение по предписанной траектории в каж-
дый текущий момент времени
++−++= )]()12()1()()()()1()1()()([
+−+++ )]()12()1()()()()12()1()()([
++= )]()([)]()12()()1([
≡ tt . (3.3.19)
)(
α (см. (3.3.17), подставим в него
21
)2()2(
)2(
t
1
при ta
≡
h =)( . Берем
atutxattutxtt =−−−−−+−+−−=α
))2()1()1()2()1(()1()(
a . Ошибка
0)]12(1[)()12()()1()2(
++=+ε atttttththt
=+
vt() лежит внутри допустимой (для
)2(
t равна нулю. Сис-
2
.
() из
,
.
65
tethtutxt
x
+−+
−+−=
=
t
tet
+
+
+−+−−
−
t
t
t
x
−
tutxt
x
α+−−α
=
α
k
t
t
t
+
t
−−Δ+−
α
−α−
−α+−−
−
α
α+−α=
α+α+α
нием
3. Адаптивное управление динамическими объектами с чистым запаздыванием
Пример 3.3.2. Считаем, что объект описывается линейным уравне-
)()1()2()1()(
, …,2,1
. (3.3.20)
В отличие от примера 3.3.1 добавлен «белый» шум
предыдущего примера повторяются, только в ошибке работы системы по-
является ещё одно слагаемое
«белого» шума.
Пример 3.3.3. Объект описывается нелинейным уравнением
= , (3.3.21)
1
a – неизвестный параметр;
где
вие;
ляющих воздействий
чтобы система (объект плюс устройство управления) двигалась по назна-
ченной траектории
ляются:
1
et() – «белый» шум. Необходимо построить алгоритм расчета управ-
u
() (для каждого текущего момента времени
*
. Исходными измерениями в момент времени t яв-
Модель объекта имеет вид
e
h
...);1(),1();( −
.
)1(
α
)(
где
значения
tα оценивает параметр
1
При решении задачи идентификации индекс
...,,1, −
а при расчете управления k принимает значения
a , )(2t
1
– внешнее воздействие h .
)]()1([
, обусловленное наличием
tethtutxatx
- неизвестное внешнее воздейст-
21
может принимать
. Все расчёты
)(te
)()1()2()1()(
)()2()1()())(|(
tkukxttky
, (3.3.22)
),
1
и
тивных алгоритмов. Применим простейший адаптивный алгоритм перестройки коэффициентов модели (гл. 5):
во времени:
66
2+
.
Параметры модели могут быть найдены с помощью одного из адап-
22
tutx
21
)2()1()()1()(
ttytx
ttutxttty .
21
)()1()()())(|1(
ttutxttty
21
))1(|()(
1)2()1(
+−−
)1()2()1()1())1(|(
)()())(|1()())(|2(
ttuttyttty
=α tutxttt , (3.3.23)
11
)(),()1()(
=ΔΔ+−α=α
22
tttt .
α=−
Затем по модели найдём прогноз выхода объекта на два такта вперёд
α+ ,
=α+
3.3. Примеры синтеза устройств управления
−
∗
=+−
+−+
−α+−α
+α=α
+−α
=
−α−−−
α
Δ+−
α
−Δ+−α
=−Δ+−
t
+
−α+α+
α=α+
α+α+α
+
и из квадратичного критерия
txtty
2*
min)]2())(|2([
=+−α+
)(
utuu
≤≤
21
вычислим управляющее воздействие (3.3.8), где идеальное управление
*1
1
)]()2([))](|1()([)(
ttxttyttv α−+α+α=
. (3.3.24)
2
Ошибка работы системы
*
0
txtxt
=+−+=+ε )2()2()2(
)]2())(|2([))](|2()2([ +−α++α+−+=
txttyttytx
состоит из ошибки идентификации, ошибки, вызванной ограниченностью
управления, и помехи.
Пример 3.3.4. Для объекта, описываемого уравнением
2,,2,1),()3()1()(
= …ttetuatxaatx ,
210
=τ
строим модель
)3()()1()()())(|(
210
kutkxtttky .
Для идентификации параметров применим простейший адаптивный
алгоритм
+
α=α ttuttt .
22
Рассчитаем управление. Найдём прогнозируемое значение выхода
объекта на момент времени
α=α+ )1()())(|1()()())(|2(
α )1()(
−−α−
≡
0
=α txttt ,
11
tt
00
22
−
210
)3()1(1
−+−+
tutx
)()1(
tt
,
tuttxtttx
)1()()1()(
...,2,1),3()()1()(
3, последовательно решая уравнения
)2()()()()())(|1(
2
10100
210
2
tuttxtttty ,
tutttytttty
212
3
1
−αα+−αα+α+ tutttutttut
210
2
1100
2
1212
)3()1()1()1()1()(
)2()()()1()()()()(
≡
=−
txtttttttty
.
)2()()()1()()()()()()(
−αα+−α+α+αα+α= tutttuttxtttt ,
+α+αα+αα+α=α+ )()()()()()()())(|3(
67
3. Адаптивное управление динамическими объектами с чистым запаздыванием
t
t
α
+
t
x
Из условия равенства выхода модели ))(|3(
*
xt
()+ 3 желаемой траектории получаем идеальное управление
−
2
−
=
2
*1
*1
2
121
y
10
2
10100
)]2()()()1()()(
2
−αα−−αα− tutttutt ,
и значения
=α+α−α−+α=
))](|3()()()3()[()(
ttytttxttv ,
3
1
)()()()()()()()3()[(
txtttttttxt
−α−αα−αα−α−+α
затем ограничиваем его по амплитуде (см. (3.3.8)) и находим оптимальное
управление
ut().
3.4. Управление температурным режимом жидких сред
Одними из наиболее распространенных задач управления в технике
и быту являются задачи управления нагревом и охлаждением жидких,
твердых и газообразных сред. Для автоматического решения этих задач в
реальном масштабе времени с помощью цифровых вычислительных машин можно использовать описанные выше метод и алгоритмы адаптивного
управления с идентификацией. В подтверждение этого
поддержания температурного режима жидкой среды, например, электролита гальванической ванны.
Считаем, что измерение температуры жидкости
рассмотрим задачу
)(
производится
в фиксированной точке ванны, а управление ведется за счет изменения
расхода
жит в пределах
пара в трубопроводе, греющем ванну. Управление
)(tu
],0[2u
. Охлаждение жидкости в ванне происходит за счет
ле-
)(tu
теплообмена с окружающей средой. Иногда осуществляют дополнительный теплоотвод более холодной жидкостью, проходящей, например,
по змеевику, помещенному в ванну. Считаем, что расход и температура
холодной жидкости и температура греющего пара постоянны.
Процесс теплообмена в гальванической ванне можно описать линейным дифференциальным уравнением в
частных производных второго порядка. При постоянной температуре греющего носителя динамика температуры в любой точке внутри раствора ванны описывается обыкновенным
линейным дифференциальным уравнением второго порядка с чистым запаздыванием во входном сигнале. Если входной сигнал (расход пара) меняется только в дискретные моменты времени, а в интервалах между дискретами
остается постоянным (этот случай соответствует управлению объектом от цифрового регулятора), то от дифференциального уравнения второго порядка существует однозначный переход к эквивалентному разностному уравнению
68
3.4. Управление температурным режимом жидких сред
τ−−+−+−+=
=−+τ−
t
=
≤
t
t
t
x
x
−α+−α
+α=α
≡τ−−α+τ−−α+
δα=α−
−
+τ−−δα+
−
tkkxkxk
x
≤
−
<
+
tuatxatxaatx
3210
)1()2()1()(
4
Здесь
та
жающей среды;
реального времени
– номер дискреты; )4,0(
a
обусловлена в основном влиянием внешнего теплоносителя – окру-
0
– случайная помеха,
)(th
′
измерение температуры
−+ tthtua . (3.4.1)
ia
i
– неизвестные параметры; констан-
)( hth
δ=
, где δ – интервал дискретизации, производится
)(
, ввод этой информации в вычислительную
…,2,1),1()2(
. В дискретные моменты
1
машину (управляющее устройство) и выдача с вычислительной машины на
управляющие механизмы рассчитанного оптимального управляющего воздействия
)(tu . Необходимо синтезировать закон управления, обеспечи-
вающий изменение температуры жидкости в ванне по заданному закону
*
)0()1(
ttx ≤τ++
. При
чается в стабилизации температуры на уровне
**
const)1(
==τ++ xtx
цель управления заклю-
*
.
На каждом такте выработки оптимального управления строится математическая модель прогноза температуры (решается задача идентификации) и по ней рассчитывается оптимальное управление (см. гл. 2). Принципиально алгоритмы отличаются по способу построения модели:
Отсюда получаем модель в приращениях
α≡αδ )1()())(|1())(|())(|(
δα+ )1()()2()(
4
где
−−≡−δ ,),2()1()1( … . Модели (3.4.2), (3.4.3) ис-
пользуем при идентификации.
Оптимальное управление имеет вид (2.2.6)
⎧
⎪
tu
=
)(
⎨
⎪
⎩
+
210
43
00
32
kutkut
TT
kutkxt
T
tv
,0)(если,0
≤≤
tvuu
<
22
),(если,
kxtkxtttky
)2()()1()(
1
)()()2()(
tkkut
αϕδ≡τ−−δα+
,
utvtv
,)(0если),(
2
)2()()1()()())(|(
tktktktt
≤αϕ+α=ϕα+α≡ ),()()()()()(
.
kxttkytkytky
+−
(3.4.2)
(3.4.3)
69
3. Адаптивное управление динамическими объектами с чистым запаздыванием
−α−ατ
+−α−
−α+−α
+α=α
+≤τ−−α+
τ
α+α+α
+α=α
τ−α+τ−+
−α+α−
=
≤≤+τ−−α
t
tyt
x
α+τ+−+τ
+
Δ−α
Δ
−α−
αγ+
−α=α
−
3
*1
10
))1()())(|1()(
42
tutttyt ,
210
kxtkxtttky
−ατ+α−α−+τ+α=
))(|()()()1(()()(
ttytttxttv
+
)2()()1()()())(|(
(3.4.4)
210
tktkutkut .
1),2()()1()(
txtttytttty
+
+α
tkyttkytttky
τ++
−−α+ tkkutkut ,
43
+ )()())(|1()()())(|2(
α+ tuttut
α ))(|2()())(|1()()())(|(
α+α
+τ−−α+ 13),2()()1()(
43
43
),()()1()(
,
210
Качество управления существенно зависит от качества идентификации параметров, причем с ростом величины запаздывания
гноза выхода объекта
))](|1()1([
τ ошибка про-
нарастает, а это,
в свою очередь, приводит к увеличению ошибки отслеживания заданной
траектории
*
)]1()1([
+τ+−+τ+ txtx .
Идентификацию параметров модели осуществляем по трем алгоритмам.
В первом из них за основу взята модель в приращениях (3.4.3), и перестройка параметров ведется по простейшему адаптивному двухшаговому
алгоритму
Здесь
l – количество шагов, при котором первый раз выполнено условие
1
для невязки
l
+α=α
+
1
l
+α=α
… ;
2
T
0
Δ
2
l
1
2
ht
sign),(
Δ−αΔ
212
T
T
0
tt
)()(
ϕδϕδ
sign),(
ht
ϕδϕδ
212
tt
)()(
l
T
0000
→γ≤γ<αϕ−=α tttxt
l
+
1
1
2),(
ht
<αΔ
. (3.4.6)
1
;
)(
t
ϕδ
)(
t
ϕδ
; (3.4.5)
1
+
1
αϕδ−−−=αΔ ,
tttt
1,10,)()()()(
при 0
ttll
α≡α−α≡α=
)()()1()(),(
tttxtxt
)),1()(()1()(
)(),1(,,,2,1,0
→h .
1
70