Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Адаптивные системы управления с идентификацией. Монография.pdf
y
t
t
tytxt
t
t
ε
xty
t
t
xty
t
t
ξ
+
+
tetect
ξ
−+−+−
tetubt
xat
x
y
y
t
ξ
t
ξ
tet
=
ξ
Обозначим через
Оптимальная (в смысле минимума среднего квадратичного значения
невязки
имеет вид
1.1. Дискретные динамические модели стохастических объектов
() выход в модели в момент времени
: nmi)}({
)()()(
−=ε
2
=ε tM ) структура модели [1.5, 1.7]
.
))1()1(()1()1()( −−−+−+−= tytxсtubtxaty
. (1.1.2)
При этом невязка
теми же свойствами, что и помеха
времени центрированная случайная величина, дисперсия которой равна
дисперсии помехи
(1.1.2) удается описать только с точностью до помехи
Структуру уравнения модели (1.1.2) можно получить
из уравнения объекта (1.1.1), сделав замену
e
()−1
переобозначив параметры объекта
abc,, на параметры cba
оптимальной модели. Эту схему
построения оптимальной структуры модели линейного объекта
будем применять для построения субоптимальной структуры модели нелинейных стохастических объектов. Заметим, что окрашенная помеха
et() на [
на [
et(). Следовательно, объект (1.1.1) с помощью модели
()()−− −11] и
)()1()(
+−=
приложена к правой части уравнения объекта (1.1.1)
)(
ε между выходами объекта и модели обладает
et(), т. е.
– некоррелированная во
)(
et().
)(te
q
c
)(
() ()− ],
ut()
q
b
+
a
q
,,
Рис. 1.1.1
)(tx
(рис. 1.1.1);
Если даже некоррелированная помеха
екта (рис. 1.1.2)
то оптимальная структура модели имеет вид
Эта модель всегда с обратной связью по
(1.1.2) будет либо с обратной связью по выходной координате
помеха
)(
является «белым» шумом (т. е. )()(
Более общее по сравнению с (1.1.1) линейное уравнение объекта
имеет вид
q – оператор запаздывания сигнала на такт.
et() приложена ко входу объ-
=
, в то время как модель
)(
окрашена (c ≠ 0 ), либо без обратной связи по y, когда помеха
).
)]1()1([)1()(
, (1.1.3)
....,2,1),1()1()( =−+−= ttubtyaty
(1.1.4)
, когда
11
1. Идентификация динамических объектов
p
xpy
p
−
=
α
+
x
t
t
ξ
x
tytet
−
=
n
m
∑∑ ∑
i
== =
11 1
j
q
+−+−+−=
tektecjtubitxatx
kji
k
)()()()()( . (1.1.5)
Оптимальная структура модели также линейная и получается из
(1.1.5) заменой
T
cc )...,,
1
объекта на параметры
q
e
() на (() ())
и параметров ...,,...,,
,...,,(
aa
1 n
...,,...,,
1 m
модели:
n
m
∑∑ ∑
== =
11 1
i
j
q
kji
k
et()
ut()
+
Если помеха
)(
не окрашена, то последняя группа слагаемых в
(1.1.6) отсутствует и модель не имеет обратной связи по
q
b
Рис. 1.1.2
a
()
q
bb
y :
1 m
−−−+−+−=
ktyktxcjtubitxaty
bb
cc )...,,
1
. (1.1.6)
)]()([)()()(
T
q
n
∑∑
==
11
i
m
−+−=
jtubitxaty
)()()(
ji
j
. (1.1.7)
Если в этой модели (с оптимальной её структурой) удалось так
настроить параметры, что они стали равны истинным параметрам объекта
(т. е.
====
jjii
,,1,;,1, mjbbniaa
), то из (1.1.7) и из уравнения объекта
получаем, что
() () ()
, (1.1.8)
т. е. после построения оптимальной модели рассогласование между выходами объекта и модели равно помехе
et(). Точнее модель построить
нельзя.
Аналогичные результаты имеют место, если в (1.1.5) основные
переменные
eux,, являются векторами, а параметры – матрицами пара-
метров.
Линейные разностные уравнения объекта могут по сравнению
с (1.1.5) содержать интегральные суммы, чистые запаздывания по времени
и т. п. Схема построения оптимальной модели не меняется.
12
1.1. Дискретные динамические модели стохастических объектов
−+−+−
τ
t
+τ−+−
pyp
x
τ−−τ−
=
t
ξ
tet
tutxftx
+−+−−
−
t
−−−
tyt
x
−−+
−−=
tyt
xcatutxf
t
t
ξ
=
tutxf
t
−−=
t
+−+
−
Рассмотрим пример. Объект описывается уравнением
+−= (1.1.9)
21
),()()1()1()1()(
tetectectbutaxtx +τ
=
с чистым запаздыванием
Делаем в (1.1.9) замену переменных
метров объекта на параметры модели и получаем динамическое уравнение
модели
Это разностное уравнение с чистым запаздыванием по координате
1...,,2,1 >
,
τ в линейном фильтре для окрашенной помехи
=ξ .
+ tytxc
2
21
1
)()()1()(
tetectect
ep() на )]()([
)]()([
. (1.1.10)
− и пара-
tytxctubtxaty
+−−−+−+−= )]1()1([)1()1()(
y . Оно переходит в обыкновенное уравнение без обратной связи по y
(с входами модели
если вместо окрашенной помехи на объект действует (при 0
дискретный «белый» шум
ux, и выходом y ):
et().
)1()1()( −+−= tubtxaty
,
= cc )
21
Для нелинейного объекта с линейным фильтром для аддитивной
окрашенной помехи
)(
= (1.1.11)
после замены
параметры модели
объекта – в следующем виде:
e на [ )1()1(
)1(
ca
, получаем субоптимальную структуру – модель
y
При воздействии дискретного «белого» шума
помехе
связь по координате
более простой вид
надо положить 0
)(
y , и субоптимальная структура модели приобретает
y
Если в объекте имеется нелинейный фильтр для помехи
−= , (1.1.14)
cea
], а параметров объекта ca, на
)()1()),1(),1(()(
. (1.1.12)
))1()1(()),1(),1(()( −
)(te (в окрашенной
c ) в модели (1.1.12) исчезает обратная
)),1(),1(()( a
. (1.1.13)
)(
ξ , т. е.
)())1(,()),1(),1(()(
21
tetecfatutxftx
13
1. Идентификация динамических объектов
−−+
−
t
t
−
t
tyt
α
−
tyt
t
t
α
t
α
t
t
−
то модель объекта имеет следующую структуру:
))1()1(,()),1(),1(()(
−= tytxcfatutxfty
Модель построена по той же схеме, что и для линейных объектов.
Эта модель не оптимальная, но её можно брать для дальнейших расчётов.
Называть её будем субоптимальной моделью. Остается лишь на базе выбранной структуры модели оптимально распорядиться ее параметрами.
21
−
. (1.1.15)
1.2. Рекурсивные модели
При синтезе модели с переменными параметрами остановимся
на двух подходах. Подход 1 рассмотрен в п. 1.2, и он даёт так называемую
рекурсивную модель. Подход 2 – с использованием функций чувствительности – представлен в п. 1.3.
Рекурсивная модель является преобладающей в современной теории
и практике адаптивной идентификации и, соответственно, адаптивного
управления [1.5, 1.7]. В каждый момент времени
(1.1.6), (1.1.10), (1.1.12), (1.1.15) обратная связь по координате
в моделях (1.1.2),
y своеоб-
разно разрывается (без потери общности модели). Достигается это за счёт
того, что фазовые координаты правой части уравнения модели берутся зависящими не от искомых параметров в момент
деле), а от известных параметров, полученных
времени.
Берём для примера оптимальную модель (1.1.2)
)(ty и )1(
Переменные
метров
y
(1.1.2) приобретает вид
Переходим теперь к переменным параметрам, например, к
=α . Этот факт отразим следующим образом:
,
),()( α≡
T
cba ),,(
y
y зависят (явно и неявно) от вектора пара-
. С учётом этого обозначения модель
≡−
),1()1(
(как это есть на самом
у предыдущие моменты
tytxсtubtxaty
.
))1()1(()1()1()( −−−+−+−=
.
)],1()1([)1()1(),( α−−−+−+−=α tytxсtubtxaty
)(
α
))](,1()1()[()1()()1()())(,( ttytxtсtutbtxtatty α−−−+−+−=α
.
Неудобство работы с этим уравнением при расчёте параметров
обусловлено зависимостью от
14
выхода модели
)(
y α
)(
.
))(,1(
1.2. Рекурсивные модели
t
t
t
α
t
t
t
t
t
α
t
t
−α−
t
t
t
α
−
t
x
−
t
−
=
−
t
tytxt
−α−−−
t
tytxt
t
t
−
tutxt
x
t
В ))(,1(
y α− заменяем параметры )(
полученные в предыдущий момент времени. Теперь уравнение принимает
вид
Оно приближённое. Правую часть (так как она не совпадает с
y α ) этого уравнения обозначим в виде ))(|(
нения заменяем ))1(,1( −α−
обретает вид
и её называют рекурсивной моделью.
мых параметров
))(,(
Для унификации выходных переменных в правой части этого урав-
y на ))1(|1(
Правая часть рекурсивной модели
)(
. Рядом с параметрами стоят известные (измеренные
y . Итоговая модель при-
линейно и явно зависит от иско-
на параметры )1( −α
y
:
))]1(,1()1()[()1()()1()())(,( −α−−−+−+−≈α ttytxtсtutbtxtatty
))]1(,1()1()[()1()()1()())(|( −α−−−+−+−=α ttytxtсtutbtxtatty
, (1.2.1)
))]1(|1()1()[()1()()1()())(|( −α−−−+−+−=α ttytxtсtutbtxtatty
, уже
.
)1(
, )1(
или вычисленные) переменные:
т. е. правая часть уравнения (1.2.1) представляет собой линейную комби-
нацию известных функций
tetutxt ))1(),1(),1(()( −−−=ϕ
e
Рекурсивная модель (1.2.1), хотя и похожа на оптимальную модель
(1.1.1), но принципиально отличается от неё. В модель (1.2.1) переменные
)(
параметры
входе и выходе объекта), поступившей до момента времени
этот момент):
За счёт переменных параметров существенно повышаются возможности модели при воспроизведении достаточно сложных траекторий. Например, с помощью простейших линейных разностных моделей с переменными параметрами можно воспроизвести траектории, соответствующие решению более сложных по структуре линейных и нелинейных разностных уравнений с постоянными параметрами.
Алгоритмы адаптивной идентификации параметров
α входят явно, и они вычисляются на основе информации (о
−
=−
…);1(),1();(
.
u , ))1(|1()1()1(
T
,
e
TT
ϕα≡αϕ≡ϕα≡αϕ=α , (1.2.2)
=α ,
))1(|1()1()1(
.
tсtbtat ))(),(),(()(
(включая и
)(
α представ-
α−−−
)()()()())(),(())(),(())(|( tttttttttty
T
,
лены в главе 5.
15
1. Идентификация динамических объектов
−Δ+−=
txt
tat
=−Δ
+
t
tet
tct
−α−
−α−−−
t
tytxt
ktk
tyktxkt
−α−−−
−α−−−
t
tytxt
τ−ατ−−τ
−
t
tytxt
−ατ−−τ−
t
tytxt
Перестройка параметров рекурсивной модели (1.2.2) на основе простейшего адаптивного алгоритма выглядит следующим образом:
a
jj
c
−=
ttytx
)(
=Δ
t
e
=−
, (1.2.3)
)1()()1()(
)1()()1()( −Δ+−= tuttbtb
,
,
...,2,1),1()()1()(
))1(|()(
222
,
)1()1()1(
−+−+−
tetutx
)1()1()1()1()1()1())1(|( −−+−−+−−=−α tetctutbtxtatty
))1(|1()1()1(
.
,
По аналогии с (1.2.3) строим рекурсивные линейные модели, соответствующие оптимальным линейным моделям (1.1.6), (1.1.7), (1.1.10) :
m
+−+−=α
jtutbitxtatty
)()()()())(|(
∑∑
j
==
j
11
T
ttktetc
αϕ=−+
, (1.2.4)
)()()()(
q
∑
k
n
i
i
k
1
=
e
e
e
e
=−
n
i
i
2
m
∑∑
j
11
==
j
T
)()()()(
tttetc
αϕ=τ−+
=−
=τ−
=τ−
Приводим соответственно для моделей (1.2.4) – (1.2.6) простейший
адаптивный алгоритм перестройки их параметров
ii
jj
))(|()()(
;
T
1
tetctutbtxtatty
)()()()()())(|(
ttjtubitxtatty
αϕ=−+−=α
; (1.2.5)
+−+−+−=α )1()()1()()1()())(|(
, (1.2.6)
))1(|1()1()1(
,
или
))(|()()(
))1(|()()(
.
niitxttata
,1),()()1()( =−Δ+−=
, (1.2.7)
mjjtuttbtb
,1),()()1()( =−Δ+−=
,
16
...,2,1,,1),()()1()( ==−Δ+−= tqkktettctc
kk
,
1.2. Рекурсивные модели
−α−
ktk
tyktxkt
−α−−−
−α−
−Δ+−=
txt
tat
−Δ+−=
=τ−Δ+
−
−α−
τ−−+−
−α−−−
t
tytxt
τ−ατ−−τ
−
t
tytxt
−ατ−−τ−
t
tytxt
−−−
−−=
tytxtutxf
t
ttytx
t
)(
=Δ
n
2
1
i
m
2
1
j
))1(|()(
q
2
∑∑∑
===
1
k
,
−+−+−
ktejtuitx
)()()(
n
i
i
e
jj
=−
ii
t
)(,
=Δ
n
1
i
n
i
i
m
j
j
ttytx
))1(|()(
m
2
2
∑∑
==
1
j
−+−
m
∑∑
j
==
11
j
a
jj
)1()()1()( −Δ+−= tuttbtb
q
−−+−−+−−=−α
ktetcjtutbitxtatty
∑∑∑
k
k
===
111
))(|()()(
;
niitxttata
,1),()()1()( =−Δ+−=
, (1.2.8)
...,2,1,,1),()()1()( ==−Δ+−= tmjjtuttbtb
,
jtuitx
)()(
−−+−−=−α
jtutbitxtatty
)()1()()1())1(|(
;
, (1.2.9)
)1()()1()(
)()1()()1()()1())1(|(
,
,
Нелинейные модели (1.1.12), (1.1.13), (1.1.15) представим в обобщенном виде
)1()()1()(
tettctc
11
= ttettctc
22
ttytx
)(
=Δ
t
−+ tetctetc
e
e
e
=−
=τ−
=τ−
21
y . (1.2.10)
,
...,2,1),()()1()(
,
))1(|()(
))1(|1()1()1(
))(|()()(
2222
tetetutx
)()1()1()1(
,
,
или
.
))1(|()()(
,
)()1()1()1(
τ−+−+−+−
+−−+−−=−α )1()1()1()1())1(|( tutbtxtatty
)),1()1(),1(),1(()( α
17
1. Идентификация динамических объектов
ttftt
αϕ=
α
−−−
tetutxt
−α−−−
t
tytxt
−
α
t
−α−
=
t
tytxt
−α−
−αϕ
t
−+−
−=α
−+−
−
⋅+⋅
≡
−α−−−
t
tytxt
⋅
∇
∇Δ+−=
t
⋅−⋅
−
=
t
С учетом этого рекурсивная модель приобретает вид
e
Линеаризуем ее по
y
=ϕ
=−
α в точке
и получаем возможность вос-
)1(
, (1.2.11)
))(),(())(|(
))1(),1(),1(()(
.
)1(|1()1()1(
пользоваться алгоритмами главы 5. Например, алгоритм Б. Т. Поляка [5.1]
записывается в виде
1
−
ε
1
−
−
2/1
tt .
α
))1(|()()(
, (1.2.12)
=−α−α+−α=α
tttttt ,
γ<γ=γ
0,)(
))1(|()()()()1()(
−α∇εγ+−α=α
ttyttpttt ,
...,2,1)),1()(()1()(
Применим также простейший адаптивный алгоритм [2.2, 5.6]:
))1(|()(
tt
()
T
αα
−α∇−α∇
ttytty
+−α=α
ttytx
)1()( tty
α
))1(|())1(|(
(1.2.13)
=−α∇
))1(|(
+−α=
)1( −αϕ∇
t
()
На базе нелинейной модели (1.1.15) получаем следующую рекурсивную модель:
Простейший адаптивный алгоритм перестройки параметров имеет
вид
)(
Δ =
−
T
αα
f
∇
..,2,1=
.;
() ()
a
– градиент (вектор-столбец) от f по α .
α
−=−α ))1(),1(())1(),1(),1(())1(|(
e
=−
Δ+−= fttata
T
)()()1()(
, )()()1()(
1
a
ttftx
ff ,
21
fftx
21
ca
))1(),(()(
))1(),(())1(),((
−αϕ∇−αϕ∇
ttfttf
21
21
)()(
))1(|1()1()1(
)()()(
T
)()()()(
⋅∇⋅∇+⋅∇⋅∇
ffff
2211
c
α
.
, ..,2,1
tcteftatutxftty
, (1.2.14)
))(),1(())(),1(),1(())(|(
tcteftatutxftty
⋅
fttctc
2
c
. .
))1(),((
ttf
,
≡−
, (1.2.15)
18
1.3. Модели с использованием функций чувствительности
−
t
tyt
α
−
tyt
∇=−
α
t
−
tutxt
x
x
tut
t
t
x
t
α
t
α−α=αΔ−
α
t
t
t
−α−−−
t
tytxt
Остановимся для примера на оптимальной структуре модели (1.1.2)
для объекта (1.1.1)
1.3. Модели с использованием функций чувствительности
. (1.3.1)
)]1()1([)1()1()( −−−+−+−= tytxсtubtxaty
Выходы модели
T
ров
=α . Этот факт, как и в п. 1.2, отразим следующим образом:
y , ),1()1(
cba ),,(
),()( α≡
y . С учётом этого обозначения модель
)(ty и )1(
≡−
y (явно и неявно) зависят от парамет-
(1.3.1) приобретает вид
)],1()1([)1()1(),( α−−−+−+−=α tytxсtubtxaty
. (1.3.2)
Построим модель
зованием функций чувствительности
))(( tty α (с переменными параметрами) с исполь-
))1(())1(|( −α
α
ttyttw , распо-
ложенных в виде вектора-столбца. Функции чувствительности показывают, как изменение выхода модели связано с изменением параметров.
Параметры модели )(
тируются на основе следующей информации: );1(),1();(
α в момент времени t (как и в п. 1.2) коррек-
−
(),();−−22… . Такая ситуация присуща адаптивным системам
управления с идентификацией. В момент
ли рассчитывается и подается на вход объекта управляющее воздействие
ut(). Управление ut() и новое измерение выхода объекта )1( +
только после построения моде-
(реак-
ции объекта на предшествующие управления) будут участвовать в расчете
параметров модели )1( +α
Линеаризуем выход модели (1.3.1) относительно параметров
)1( −α
точке
Здесь ))1(,( −α
:
c
y – выход модели в момент времени t при значени-
ях параметров, полученных в предыдущий момент времени
для следующего момента времени.
a
∇=−α
α
−+
c
b
T
))]1(,1()1()[1(
в
+Δ−α+Δ−α+−α≈α )())1(,()())1(,())1(,())(,( tbttwtattwttytty
, (1.3.3)
)())1(,())1(,()())1(,( tttwttytcttw
αΔ−α+−α=Δ−α+
)1()()()),1(,())1(,( −
tttttyttw .
− 1:
+−−+−−=−α )1()1()1()1())1(,( tutbtxtatty
. (1.3.4)
19
1. Идентификация динамических объектов
t
t
α
t
t
t
t
−
α
t
t
−α−−−
t
tytxt
t
t
t
t
t
twt
t
≡−α
==−+−
==−+−−−
−α−−−
−
−
t
α
Правая часть в уравнении (1.3.3) является выходом модели ))(|(
с использованием функций чувствительности:
y
a
c
b
T
)())1(,())1(,()())1(,( tttwttytcttw
αΔ−α+−α=Δ−α+
, (1.3.5)
Для обеспечения замкнутости решения входящая в (1.3.5) перемен-
y рассчитывается по уравнению (1.3.4), в котором вместо
ная ))1(,( −α
y ставим ))1(|1(
))1(,1( −α−
−
y , полученную на предыдущем такте,
т. е.
+−−+−−=−α )1()1()1()1())1(,( tutbtxtatty
−+
c
))]1(|1()1()[1(
; (1.3.6)
Заметим, что вначале модель (1.3.5) применяется при нахождении
параметров )(
Далее выход модели
вычислении ))(,1(
α , а затем найденные параметры подставляются в (1.3.5).
y α используется на следующем такте 1+t при
))(|(
y α+ по формуле (1.3.6):
))](|()()[()()()()())(,1( ttytxtctutbtxtatty α−++=α+
.
+Δ−α+Δ−α+−α=α )())1(,()())1(,())1(,())(|( tbttwtattwttytty
Для упрощения записи уравнений чувствительности вводим обозна-
чение:
w
.
)())1(,(
Функции чувствительности удовлетворяют разностным уравнениям
чувствительности:
−−= twtxtwtctw
= twtutwtctw
b
b
+−−−= twttytxtwtctw
aaa
b
ccc
,
...,2,1,...,0)0(),1()1()1()(
, (1.3.7)
...,2,1,0)0(),1()1()1()(
...,2,1,0)0())],1(|1()1([)1()1()( ==
.
Каждое уравнение чувствительности получаем дифференцированием
уравнения модели по соответствующему параметру. В правой части
уравнения модели (1.3.1) в явном виде присутствует интересующий параметр, дифференцирование по нему дает возмущающее воздействие в уравнениях чувствительности (1.3.4). Выход модели
yt()
1 также (но неявно)
зависит от соответствующего параметра – дифференцирование этого сла-
ˆ
гаемого дает в правой части (1.3.4) компоненту
[ wc
]
.
Для расчета параметров модели )(
в момент t используем рекур-
рентные алгоритмы (см. гл. 5). В результате алгоритм (5.1.13) квадратич-
20