Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Адаптивные системы управления с идентификацией. Монография.pdf
2.2. Примеры синтеза устройств управления для простейших линейных систем
≤−−=α
−
Δ≤+ε≤
Δ
t
x
−
t
−
4
t
−
4
t
α
−++
−
thatutxt
x
≤
t
α
−−−
−
tutxtxt
−+=
that
tvtutht
−+−
−
−
=+ε ththttht
− t .
На рис. 2.2.3 приведены графики изменения во времени выходной координаты управляемого объекта, управляющего воздействия,
желаемого значения выхода замкнутой системы, внешнего неизмеряемого воздействия и параметра модели, оценивающего это воздействие.
Изменим уравнение движения
объекта:
+−=
Здесь
которое может быть и случайным;
a – неизвестный параметр; h
Модель остается прежней. Параметр
|)1()(||)()(||)1(| Δ
)1(
2
1
0
1
0
1
111
*
)(),(tu
=tx
u
x
1
0
0
3
3
Рис. 2.2.3
5
5
2
h
1
2
)1()1()1()(
,
,1)(
7
6
7
6
)0(,0 xxt =≥ .
,
11
u
8
8
2)(2 ≤≤
11
10
9
9
0
10
11
12
12
– неизвестное внешнее воздействие,
)( hth
.
1
)(
отслеживает теперь сумму
параметра
a и внешнего воздействия h . Устройство управления сохраняет
прежний вид.
Идентификацию осуществляем по тому же алгоритму
откуда получаем, что
Ошибка отслеживания траектории остаётся той же:
т. е.
либо
*
=α
.
α
*
h
= ,
*
1
tvtutxtx −+Δ≤+−+ , где
)1()(
1
)()()1()1(
)1()1()()(
,
2
)]()([)]1()([
tetthatxtx
tvtuhtxtx −+≤+−+
=++α−+=+−+ )1()]()([)1()1(
)()(2)1()1(
thth .
|)1()(| Δ≤−
1
На рис. 2.2.4 приведены графики изменения во времени основных
переменных
*
),,,,,(
uhaxx α системы при наличии помехи h , прини-
мающей значения из интервала [–0.5; 0.5], и при отсутствии ограничений
на управление.
31
2. Адаптивное управление динамическими сосредоточенными стохастическими объектами
t
t
=
t
t
t
α
4
t
4
t
4
t
t
x
t
=
t
t
t
t
∞
t
∞
t
В моменты 2,1,0=
3,2,1=
точно отслеживает неизвестный параметр 1
помеха равна нулю, идентификатор при
система точно движется по назначенной траектории.
a , и при 3,2=
Далее при
помеха
7,3=t
совершает колебания на предельно
)(
h
возможных уровнях, и ошибка отслеживания назначенной траектории достигает максимального значения
)(*tx
)(
*
При
нимает постоянное значение 0,5,
.
12)()(
=≤− htxtx
1
12,7=t помеха при-
идентификатор отслеживает
суммарную величину
)( ha +
и
точно восстанавливает модель
объекта. За счет этого при
11,9=t ошибка работы систе-
11=
В момент
неизвест-
,a
2
1
0
2
8
6
10
,
*
**
*
14
16
12
α−∗
*
*****
*
18
20
*
мы равна нулю.
24
26
*
28
*
*
ный параметр меняет свое зна-
*
*
22
чение и становится равным 0,5.
h
5,0
5,0−
0
2
u
2
0
2−
0
2
8
6
8
6
10
10
12
12
14
14
16
16
18
18
20
20
22
22
24
24
26
26
28
28
Рис. 2.2.4
Это непредвиденное возмущение
приводит к ошибке отслеживания траектории при
12
Идентификатор на следующем
такте после изменения параметра отслеживает это изменение и
приводит к ликвидации возникшей ошибки работы системы.
12
Начиная с
== tt по-
0
меха вновь на каждом такте по-
переменно принимает предельные значения. За счет этого ошибка иденти-
.
фикации равна максимально возможной величине
ошибки идентификации вводим оператор усреднения текущих оценок
и при расчете
видно, что
*
u
вместо
)(
at →α )(
при
**
0
используем )(
)(
α
→
. Ошибка идентификации уменьшается до
−
0
*
h . В целях уменьшения
1
α
*1
)()(,12
tttt α=α=>
00
*
tα . На рис. 2.2.4 хорошо
))1()(()()1()(
−α−α−+−α=α
tttttt ,
)(
нуля, а максимальная ошибка отслеживания траектории уменьшается в два
*
раза:
32
)()( htxtx →− при
1
→
.
2.2. Примеры синтеза устройств управления для простейших линейных систем
t
t
t
α
t
tkkukxt
k
α−+−+
−
x
t
tty
α
tttutxt
x
α−+−+
−
t
+ε++ε
+
ε
t
x
t
t
t
α
t
tty
α
+
α
t
t
t
α
−α−α=
ttt
Если в уравнении (2.2.1) внешнее воздействие h
мени по линейному закону
() дрейфует во вре-
h=)( , (2.2.14)
то в модель объекта вводим параметр
мени
неизвестный коэффициент a:
y
Как и ранее, из условия равенства
=α . (2.2.15)
= (2.2.16)
находим
а затем из критерия оптимальности (2.2.7) получаем оптимальное
управление (2.2.8), где
Ошибка работы системы равна величине
α
:
)(
0
= tt . (2.2.19)
ta
, оценивающий в момент вре-
)(
)()1()1()1())(|(
() и ))(|(
)()1()1()1()(
1
−
*
*
21
)1()1(
))1()1()(()1()(
−−−−−=α
tutxtxtt , (2.2.17)
. (2.2.18)
)()()1()(
tttxtxtv α−−+=
=−+α−=+−+=+ε )]()([))(()1()1()1(
tvtutattxtxt
)1(
Вычисляем ошибку идентификации
)(
расчета
жения объекта и получаем, что
т. е. идентификатор точно оценивает постоянный параметр
идентификации равна нулю. Когда идеальное управление
внутри допустимой (для управления) области, то и ошибка управления
равна нулю. Система осуществляет точное движение по предписанной
траектории в каждый текущий момент времени
Параметры
в модель
ставляем линейный прогноз
значениям параметра
α (см. (2.2.17), подставляем в него
−
1
Линейный дрейф (2.2.14) возмущения
)(
α , )1( −
+ прогноза выхода объекта (2.2.6) вместо )(tα под-
))(|1(
вычисляем, как обычно, по формуле (2.2.5), но
, вычисленный по последним двум
)1(
)1( −α
, )(
(рис. 2.2.5):
+α
t . Берем уравнение для
1
()
из уравнения дви-
atutxattutxtt =−−−−−+−+−−=α
))1()1()1()1()1(()1()(
,
a . Ошибка
vt() лежит
.
ht() можно отследить по-иному.
)1()(2)1(
.
33
2. Адаптивное управление динамическими сосредоточенными стохастическими объектами
⋅
−
α
t
t
−α=−⋅
α=⋅
+
−α−α=
−α−α−−α
=
t
t
t
t
t
t
t
t
−
=+⋅+=+α
t
α
t
+
α
t
−−=+α
ththt
+−−=+
t
t
⋅
=
+−+−+
t
x
t
−
tutxt
x
Для получения этого равенства берем уравнение линии taa
и из двух условий, что линия проходит через
+ ttaa ,
21
находим параметры линии
tta ,
Затем вычисляем прогнозируемое по
α
2
−⋅−−α= tttttata .
21
этой линии значение на момент
)1( +α
α
)(
(2.2.9) вместо
)1( −α
этом
В оптимальном управлении (2.2.8),
)1(
)1(
и через )(
)1()1(
)(21ttaa
)1()(
21
ставим
)(
равно величине
α
)1()]1()([)1()1()1(
−⋅
()
+ 1 :
α−α
)1( +α
+
21
)1()(2)1()1(
tttaat
. При
.
−1
Рис. 2.2.5
1
Это конечная разность второго порядка (ускорение) для возмущения
+1
Ошибка идентификации
ошибке работы системы (2.2.11) рассчитывается по формуле
)2()1(2)()1()()1(
α−=+ε thththttht
−
.
h . Если ht() меняется линейно во времени (2.2.14)
h
)( ,
a – неизвестный параметр, то ошибка идентификации равна нулю:
где
0)1(
1
где
построить алгоритм расчета управляющих воздействий
=+ε t .
Пример 2.2.2. Объект описывается уравнением
xt a axt aut et() () ()()=
et() – «белый» шум;
01 2
,, aaa – неизвестные параметры. Необходимо
210
a
11, (2.2.20)
ut() (для каждого
)2()1(2)1( −
.
)1(
+ε t
1
в
текущего момента времени
управления) двигалась по назначенной траектории
рениями в момент времени
34
), чтобы система (объект плюс устройство
являются: ...);1(),1();( −
*
. Исходными изме-
. Заменя-
2.2. Примеры синтеза устройств управления для простейших линейных систем
t
xty
t
α+−α+
k
t
t
t
−α−
−Δ+−α
−Δ+−α
α+α+α
=
++−α+
−α=−α−γ
−Δ+−α
ем e
() на
() ()− , параметры объекта – на параметры модели, получа-
ем модель объекта:
)1()()1()()())(|(
α=α kutkxtttky . (2.2.21)
210
−
При решении задачи идентификации индекс
значения
а при расчете управления k – значение
...,,1, −
может принимать
+ 1.
Параметры модели могут перестраиваться с помощью одного из
адаптивных алгоритмов, представленных, например, в главе 5. Приведем
простейший адаптивный алгоритм:
))1(|()(
tt Δ+−α=
00
+−α=α ,
=α txttt , (2.2.22)
11
=α tuttt
22
22
tutx
−+−+
)1()(
ttytx
)1()1(1
0
)1()()1()(
)1()()1()(
.
)()1(
tt
Затем по модели прогнозируем выход объекта для следующего
момента времени:
)()()()()())(|1(
α+
210
tuttxtttty
, (2.2.23)
и из квадратичного локального критерия
txtty
2*
min))1())(|1((
=+−α+
)(
utuu
≤≤
21
найдём управляющее воздействие (2.2.8), где идеальное управление
−
2
*1
10
))()()()1|)(()(
txtttxttv α−α−+α=
. (2.2.24)
Ошибка работы системы
*
0
*
1100
α−+ tetvtuttuta
222
+α+−+=+−+=+ε ))](|1()1([)1()1()1(
ttytxtxtxt
txtatatxtty
)1()]()()[()]())((
+α−+α−=+−α++ )())(())([)]1())(|1([
состоит из трёх компонент: ошибки идентификации, ошибки, вызванной ограниченностью управления, и помехи.
При подстройке параметров можно использовать простой алгоритм Б. Т. Поляка [5.1]:
)()1()))1(|()()(()1()(
+−α=α
1
−
00
=α txttt
0
111
))1()(()1()(
−α−α+−α=α
ttttt ,
)1()()1()(
, (2.2.25)
ttttytxttt Δ+
1000
,
35
2. Адаптивное управление динамическими сосредоточенными стохастическими объектами
−Δ+−α
ααα
x
α
α
e
t
(
+
+
+
+
+
+++
1
−
11
11
))1()(()1()(
−α−α+−α=α
ttttt ,
=α tuttt
1
22
При расчете управления (2.2.23), (2.2.24) необходимо применять
сглаженные значения параметров
2.3. Синтез алгоритмов управления для линейных систем
Рассмотрим объект, описываемый разностным уравнением
порядка
n
ut()
0
q
a
n+1
q
i
+
i
=
)1()()1()(
122
22
,
2/1
−−
ttttttt
)(),(),(
ttt
.
210
.
0,)()),1()(()1()(
>γγ=γ−α−α+−α=α
n -го
m
)()()()(
tejtuaitxaatx
∑∑
+
jn
11
=
j
a
1
0
+−+−+= . (2.3.1)
)
+
q
t()
a
n+2
q
11−
α
+
n
q
2+αn
q
Параметры модели
a
1
q
a
n
xt*()+1
α
1
a
nm+
+
−
1
0
q
α
mn+
n
Идентификатор
Рис. 2.3.1
n
0
i
=
i
m
−α+−α+α=α
jkutikxtttky
∑∑
+
=
j
jn
11
)()()()()())(|( (2.3.2)
36
2.3. Синтез алгоритмов управления для линейных систем
++−
рассчитываем по одному из адаптивных алгоритмов (см. гл. 5). Оптимальное управление найдём из критерия
txtty
2*
=+−α+ (2.3.3)
и получим его в виде (2.2.8), а идеальное управление
−
+
1
*1
0
m
∑
j
=
jn
+
2
n
∑
=
i
in
1
−+α−
jtut
))1()( . (2.3.4)
Структурная схема системы управления представлена на рис. 2.3.1.
Ошибка работы системы, равная величине
*
0
*
m
jn
+
j
1
0
n
∑
0
i
i
=
1
n
∑∑
i
i
==
1
min))1())(|1((
)(
utuu
≤≤
21
−−+α−α−+α=
itxtttxttv
)1()()()1()(()(
+α+−+=+−+=+ε ))](|1()1([)1()1()1(
ttytxtxtxt
+−++=+−α++
itxaatxtty
)1([)]1())(|1([
−−+α−α−++−++
itxtttejtua
)1()()()1()1(
m
jn
+
j
1
m
njn
++
j
2
m
1
∑
j
2
=
n
i
=
ii
α+
1
+
n
0
njn
++
1
m
∑∑
j
=
11
n
+−+α+α+−+α−
itxttjtut
∑∑
i
i
==
1
n
∑∑
0
jnjn
++
tetvtut
i
i
==
1
)1()]()()[(
,
)1()()([)]1()(
−−+α−α−α+−+α+
itxtttutjtut
)1()()()()()1()(
+α−=α−−+α−
)]([[)]()()1()(
tatvtjtut
00
jtutaitxta
)]1()]([)1()]([
+−+α−+−+α−+
складывается из ошибки идентификации, ошибки управления (обусловленной ограниченностью ресурса для управляющего воздействия) и помехи.
37
2. Адаптивное управление динамическими сосредоточенными стохастическими объектами
=+−
−−=
t
tetatutxftx
t
tutxt
x
−α−−=
ktkukxftk
f
x
v
t
(
+
t
−
=
ttk
k
t
=
+
ε−α∇γ+−α=α
α−=
ε
t
tytxt
t
t
t
2.4. Алгоритмы адаптивного управления для нелинейных систем
Объект описывается нелинейным разностным уравнением
Структурная схема объекта представлена на рис. 2.4.1.
Построим алгоритм расчета управляющего воздействия
ut() в каж-
....,2,1),()1,),1(),1(()(
(2.4.1)
дый текущий момент времени
на основе измерений, поступивших в
устройство управления к этому моменту времени:
Модель объекта (см. п. 1.2) имеет вид
α
y
Ее используют для целей иден-
...,1,
) и расчета управляющего
ut()
et()
t()
q
()⋅
q
тификации параметров
воздействия (при
)
f
−⋅1
()
xt*()+1
одному из рекуррентных алгоритмов,
Параметры модели вычислим по
описанных в гл. 5, с использованием
Идентификатор
идеи линеаризации модели. Для примера
приведем алгоритм Б. Т. Поляка
Рис. 2.4.1
)1),(),1(),1(())(|(
. (2.4.2)
α (при
1).
α
))1(|()()( −
, (2.4.3)
2/11
−−
tttttttt .
…);1(),1();( −−
.
)(
)())1(|()()1()( tttyttt
,
0,)(...,,2,1)),1()(()1()(
>γγ=γ=−α−α+−α=α
С учетом скорректированных (по новой информации) параметров
прогнозируем (с помощью модели) выход объекта
)(
α
y α+
и из
))(|1(
квадратичного критерия находим управляющее воздействие. Оно получается на выходе ограничителя по амплитуде, на вход которого подается
идеальное управление
−
*1
)),(),1(),(()(
tttxtxftv α+=
. (2.4.4)
Идеальное управление является решением уравнения
*
)1())(|1(
+=α+ txtty или
*
)1()),(),(),((
+=α txtttvtxf . (2.4.5)
Структурная схема системы управления представлена на рис. 2.4.1.
38
2.4. Алгоритмы адаптивного управления для нелинейных систем
=−+
−
t
thtutxt
x
t
t
t
−
−
tutxt
x
x
t
kukxt
k
α+−−=
α
t
t
α
t
t
α
x
t
t
t
tutxt
x
α+−−=
−−−
=
tutxtxt
t
+
t
tutxt
t
α+=
α
≤
Пример 2.4.1. Считаем, что нелинейный (по каналу вход-выход)
объект описывается разностным уравнением
−=
Здесь
каждый текущий момент времени
модели и на основе измерений
входа и выхода объекта, чтобы достигалась цель управления: движение
системы по заданной траектории
лученного управления.
)(
h – неизвестное входное воздействие.
Синтезируем алгоритм расчета управляющего воздействия
на основе информации о структуре
...);1(),1();(
(2.4.6)
*
. Затем проанализируем качество по-
Формируем модель объекта
y
Параметр
известное внешнее возмущение
Вычислим
приравнивая выход модели
)(
α , как и для линейного объекта (пример 2.2.1), оценивает не-
ht() объекта.
на основе простейшего адаптивного алгоритма,
)(
y
))(|(
и выход объекта
....,2,1),1()1()1()(
u
() в
)()1()1())(|(
. (2.4.7)
() в момент
времени
Получаем параметр
:
α
Для расчета управления
объекта для следующего момента времени
y
Из локального квадратичного критерия оптимальности
рассчитываем оптимальное управление:
⎧
ut() по модели (2.4.7) прогнозируем выход
+ . (2.4.10)
если
⎪
tu
=
)(
⎨
⎪
⎩
если
если
22
)()1()1()(
. (2.4.8)
. (2.4.9)
)1()1()()(
1
)()()())(|1(
txttyuI
2*
=+−α+= (2.4.11)
tutvtu
),()(),(
11
≤
tvtutu
).()(),(
min))1())(|1(()(
)()()(
tututu
≤≤
21
≤≤
tutvtutv
),()()(),(
(2.4.12)
21
39
2. Адаптивное управление динамическими сосредоточенными стохастическими объектами
t
v
I
t
t
x
t
thtutxt
x
+=+
t
=
−
++ε
=+−
t
tetutaxt
x
t
t
−−α
=
kukxttk
t
t
t
Идеальное управление )(
(без учета ограничения на u) обеспечи-
вает абсолютный минимум функции
)(
udI
u():
*
=+−α+= txtty
du
*
)(
tv
=
)(
tx
Проведём анализ полученных результатов.
Вычислим ошибку работы системы для следующего момента време-
+ 1 (ибо она зависит от найденного управления u
ни
0
Подставим
*
xt
()+1 – из уравнения (2.4.13) для идеального управления
а
()+1
из уравнения движения объекта (2.2.10):
)()1(
ttx
α−+
(2.4.13)
():
*
)()()()1(
)1()1()1(
+−+=+ε txtxt . (2.4.14)
,
0))1())(|)1((2
**
,
)1()()()(),1())(|1(
+=α++=α+ txttvtxtxtty ,
v
()
(без
учета ограничений)
Получим, что
0
Пример 2.4.2. Считаем теперь, что нелинейный объект описывается
разностным уравнением
Здесь
«белый» шум
a – неизвестный коэффициент,
|()|e
Строим модель объекта
e≤ .
y .
Из условия максимальной близости выходов модели
объекта в момент
находим параметр модели:
*
α
)()()()1(
ttvtxtx α+=+ .
+α−=+ε ))]()()(([)]()([)1(
−=
tvtutxttht )1()1(
....,2,1),()1()1()(
– ограниченный по амплитуде
)(
e
+ε
tt . (2.4.15)
21
)1()1()())(|(
y α и
)(
)(),1()1()()(
=α−−α=
ttutxttx
tx
.
)1()1(
−−
tutx
))(|(
40