Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Адаптивные системы управления с идентификацией. Монография.pdf
2.4. Алгоритмы адаптивного управления для нелинейных систем
t
≤
≤
x
(
)
t
α
α−=
tutxtatvtxt
tutxt
+ε++ε=+
+
ε
+
+
t
t
=
=≥−
xttutaxt
x
t
рия:
Управляющее воздействие u
2*
utvu
⎧
≤
() вычислим из квадратичного крите-
min))1())(|1((
=+−α+ txtty , где
,)(если,
11
⎪
tu
=
)(
⎨
⎪
⎩
*
)(
tv
=
α
Алгоритм системы управления построен. Структурная схема системы представлена на рис. 2.4.2. Оценим теперь качество работы замкнутой системы.
Ошибка работы системы равна
величине
≤
22
)1(
tx
+
.
)()(
txt
utuutv
≤≤
,)(если),(
21
tvuu
),(если,
uut u
()
12
ut()
q q
, и получим, что
et
q
Рис. 2.4.2
+
a
)(tv
÷
⋅
)(
÷
⋅
t()
q
xt*()+1
*
0
*
α−α+ )()()]([)]()()()()()([
+α−+ tetttetxttvtu .
Она состоит из ошибки идентификации
вызванной ограниченностью управления, и помехи
Ошибка идентификации
)(
⎡
)1(
t
1
=+ε
⎢
⎣
Если помеха
вая. Если помеха ограничена
tx
)1()1(
tutx
−−
=
et() равна нулю, то ошибка идентификации тоже нуле-
−
)()(
tutx
tutx
−−
e≤|)(| , то ограничена и ошибка иденти-
)(
te
)1()1(
tutx
−−
α−=
)1()1(
e
t , ошибки )1(
1
−
+α+−+=+−+=+ε ))](|1()1([)1()1()1(
ttytxtxtxt
+α−++=+−α++ )]()()()1()()([)]1())(|1([
tutxttetutaxtxtty
+
)1()1()1()1()()()]()([
.
++
ε t ,
2
⎤
=
)()(
⎥
)1()1(
⎦
tutx
21
)1(
e
tetutte
)1(
)(
tx
tutx
−−
)()()()(
.
фикации
Рассмотрим частный вариант предыдущего примера. Объект описывается нелинейным разностным уравнением
1
α≤+ε .
etutt |)()(||)1(|
−= u
a – неизвестный параметр, а на управление
где
чений.
1)0()0(,1),1()1()(
,
не наложено ограни-
)(
u
41
2. Адаптивное управление динамическими сосредоточенными стохастическими объектами
t
x
−
−
t
x
t
t
t
α
+
t
x
На каждом такте t после измерения выхода объекта )(
идентифи-
катор вычисляет оценку неизвестного параметра
)(
)(
=α
t
tx
)1()1(
−−
tutx
Затем управляющее устройство рассчитывает и подает на объект
управление
tutx
==
)()(
tvtu
)()(
α
∗
)(tx
5
4
3
2
1
0
1234567891011120
)(tu
4
3
2
1
0
1234567891011120
txt
)(
a :
.
)1()1(
.
,a
1
0.5
1234567891011120
Рис. 2.4.3
Отклонение выхода системы )1(
*
)1(
+tx равно только ошибке идентификации
*
Заметим, что если параметр
lkkt += , , то он точно оценивается идентификатором в моменты
lkkt ++= ,1 , и система точно движется по назначенной траектории
42
*
*
α,,,,
auxx .
),1()1(
lkkttx ++=+ . На рис. 2.4.3 представлен отрезок реализаций для
)(t
от заданной траектории
)()())(()1()1(
tutxtatxtx α−=+−+ .
a постоянен в моменты времени
2.5. Стабилизация движения двухколесного экипажа
′ξ′+′′+′′=′
′==
l
t
x
t
t
g
ЦТ
x
t
ρ
t
x
′
t
=
t
t
t
=δ+<′≤δ
tttttut
t
x
ttt
ξ+=
2.5. Стабилизация движения двухколесного экипажа
Динамические свойства управляемого двухколесного экипажа (велосипеда), движущегося с постоянной скоростью, описываются обыкновенным линейным дифференциальным уравнением [2.3]
′
h
Здесь
ры (м) (см. рис. 2.5.1);
отклонения рамы от вертикали;
угол поворота руля;
время (с);
жения экипажа;
свободного падения; )(
ветром и др. Уравнение (2.5.1) справедливо только для
превышении отклонения
и его необходимо вновь устанавливать в исходное состояние и отпускать.
Считаем, что
пуску после каждого падения или вынужденной остановки. Экипаж уста-
c′,, – конструктивные парамет-
′
=
1
′
)/(
chlVa =
, V – скорость (м/с) дви-
13
′
hga
/
– ускорение (м/с2)
соответствует начальному запуску объекта, а также за-
0=
′
−
′
>
′
)(
– угол (град)
)(
u
′
– непрерывное
′
′
, )/(
2
′ξ′
– возмущения, вызванные неровностями дороги,
=
2
′
chVa
–
321
)0(,)0(,0 xxxxt
00
,
c
)()()()()(
ttuatuatxatx
, (2.5.1)
′
h
l
Рис. 2.5.1
≤′)(tx . При
)(
величины ρ экипаж совершает падение,
ρ
навливают почти вертикально и отпускают, при этом
и он движется с постоянной скоростью
′
0
>
ект неустойчив (ибо
Рулевой механизм по сигналам от устройства управления в моменты
времени
ложения и оставляет руль в этих положениях в течение интервала времени
между указанными дискретами, т. е. управление является кусочнопостоянной функцией времени:
кретные моменты
ного уравнения объекта (2.5.1) к дискретному
′
Измерительный механизм также фиксирует величины
С учетом дискретности управления (2.5.2) переходим от непрерыв-
a
1
′
=
u . (2.5.2)
), и экипаж падает.
…… ,,,2,,0 δδδ=
быстро поворачивает руль в заданные по-
′
1
. Заметим, что при
V
),2,1,0( …=δ=
.
xax ;
)0()0()2/()1(
…,2,1,0,)1(),()(
ε≤ xx
0
′
u
′
в дис-
)(
объ-
0)( =
0)0(,)0(
,
43
−++
−
=
t
где
t
ξ
t
V
l
t
ξ
ξ<ξ
t
t
x
t
=
′
t
t
+−α+−
t
k
tty
α
t
x
ttytx
α
=
t
α
t
ttt
αΔ+−α=α
2. Адаптивное управление динамическими сосредоточенными стохастическими объектами
)()1()()1()()1(
+=+ , (2.5.3)
…,2,1
,
4321
ttuatuatxatxatx ξ+
′
=−=γ== ;
′
= ;
)(
– дискретное возмущение, порожденное помехой )(
Необходимо стабилизировать движение двухколесного экипажа
в положении
метрах
(т. е.
т. е.
снимается информация о положении объекта
стройка параметров модели, рассчитывается и подается на рулевой меха-
низм управляющее воздействие
времени
рации повторяются.
мальной памятью) алгоритм коррекции параметров модели. Модель объекта (2.5.3) (при условии, что помеха является дискретным «белым» шумом)
имеет вид
)(
t
)( utu ≤ .
Опишем алгоритмы адаптивного управления. В момент времени
В идентификаторе реализуем простейший одношаговый (с мини-
*
aa ÷ ) и неизвестной ограниченной по амплитуде помехи )(
41
) и с учетом ограниченности управляющего воздействия,
1
1
1+
, соответствующий реальному времени δ+
0)(
=tx
при неизвестных параметрах
−−γ
′′
ashaachaa
γ
)(tu . В следующий дискретный момент
+−γ
′
;/])1([
11324
δ=γ
)(
, производится пере-
′′
′
a
1
hc ,,, (либо пара-
)1(
′
/])1([;1;2;0)0( ashaachaaachau
γ
1132321
′ξ′
.
, все опе-
При
ход объекта
α=α )2()()1()())(|(
43
= приравниваем выход модели ))(,(
)(
21
))(|()(
Это уравнение относительно
решений. Для получения единственного решения применим оператор
псевдообращения и будем отыскивать вначале не сами параметры, а их
коррекцию
(2.5.5) приобретет вид
44
. Обозначим
)(
αΔ
имеет бесчисленное множество
)(
kxtkxttky
TT
и измеренный вы-
. (2.5.5)
, и тогда равенство
)()1()(
T
αΔϕ≡αΔ=−α− . (2.5.6)
)()()()()2()()1()(
tkktkutkut
αϕ≡ϕα=−α+−α+
.
(2.5.4)
)()())(|())1(|()( ttttyttytx
2.5. Стабилизация движения двухколесного экипажа
t
α
Δ
ϕ
t
α+α+−α+α=
l
=
′
=
V
=
g
=
δ
=
−
=
=
=
ε
t
x
≤ρ≤
ξ≤ξ
Теперь найдём вектор )(
, удовлетворяющий этому уравнению и
имеющий минимальный квадрат нормы
2
т. е. (п. 5.3)
T
min)(
=αΔ t , (2.5.7)
+
))1(,()(())(()1()( −α−ϕ+−α=α
ttytxttt
,
(2.5.8)
ϕ
)(
+
T
=ϕ
))((
t
t
T
=
ϕϕ
)()(
tt
)(
t
2222
tututxtx
.
)2()1()2()1(
−+−+−+−
Скорректировав параметры модели, вычислим прогноз выхода объ-
1+
екта для момента времени
α+ tuttuttxttxttty
:
)1()()()()1()()()())(|1(
−
4321
(2.5.9)
и из условия минимума рассогласования прогнозируемого значения и назначаемой траектории
+
Считаем, что переход управления
],[
uu−
равносилен падению экипажа.
11
*
+
=α
3
0)1(
=+tx
найдем управляющее воздействие
))1()()1()()()(()()(
−α+−α+αα−=
4213
−
1
⎧
⎪
3
⎨
⎪
⎩
ε≥αα
,если,
3
3
ε<α
.если,0
за допустимый интервал
)(tu
tuttxttxtttu , (2.5.10)
Рассмотрим работу системы управления, состоящей из велосипеда и
робота-велосипедиста, в которой реализованы алгоритмы идентификации
и управления.
Имитация объекта (2.5.3) была проведена при следующих значениях
параметров:
;1,1=c
объекта оказались следующими:
;7,0=
h
;6,0
a ;1
1
;6
;69,2
a ;42,2
2
;81,9
a 12,0
3
2,0
. Параметры
−=a .
4
Были заданы также параметры, характеризующие начальное положение
1,0
объекта
и
,
)(tu
=ε (т. е. 0)0(,)0(
0
45
==ρ u (т. е.
1
≤ xx ), допустимую область для
0
)(,)( ututx
) и уровень помех
1
ξ (т. е.
1
)(
)(
t ). Последний параметр является варьируемым (рис. 2.5.2). Дли-
1
тельность разового экспериментирования на объекте (игры) была принята
равной 60 с, что при длительности одной дискреты, равной
0,2δ= с, соот-
ветствует 300 тактам для дискретного уравнения объекта (2.5.3).
45
2. Адаптивное управление динамическими сосредоточенными стохастическими объектами
N
4
t
4
t
4
t
α
α
t
x
Основными выходными характеристиками замкнутой системы
– время
управления (робот-велосипедист-велосипед) были приняты:
T
0
обучения, за которое условно было принято время последнего падения;
– число падений за время обучения.
5,7)(
=
ξ
tx
1
20
0
20−
45
40
20
0
1
13)(
=
ξ
tx
0
1
3
2
5
6
7
8
′
c
9
20−
40−
45−
0
45
40
20
20−
40−
45−
1
36)(
=
ξ
tx
0
0
1
1
3
2
3
2
5
Рис. 2.5.2
В модели объекта (2.5.4) в начале каждой игры исходные приближения параметров
)0(
α
варьировался. Такая стратегия обусловлена тем, что наибольшее
3
αα были приняты нулевыми, а параметр
)0(),0(),0(
421
влияние на процесс обучения оказывает
На рис. 2.5.2 отражено типичное поведение выходной координаты
)(
объекта
при различных уровнях помех
′
7
6
5
6
7
)0(
.
3
=ξ
1
9
8
8
c
′
9
c
36;13;5,7
и при
46
2.5. Стабилизация движения двухколесного экипажа
t
ξ
N
ξ
α
α
α
=
α
ξ
t
x
′
α
=
=
S
t
t
2)0(
=α . При малом уровне помех () 7,5tξ≤
4
процесс обучения прохо-
дит без падений. С течением времени параметры модели существенно перестраиваются, а затем совершают колебания (вызванные помехами) в стационарной области. Выходная координата объекта лежит внутри области
10)( ≤tx , которая несколько шире (за счет ошибки идентификации) об-
ласти действия помехи
13)( ≤ξ t в период обучения робота-велосипедиста экипаж совершает па-
)(
. С увеличением интенсивности помехи
дения. После окончания процесса обучения координата состояния объекта
лежит в пределах
18)( ≤tx . При большом уровне помех
36)( ≤ξ t паде-
ния происходят до самого конца игры, и в среднем не удается после обу-
чения обеспечить стабилизацию объекта:
Получены графики зависимостей времени обучения
ний
за время
T от интенсивности помехи
0
45)( ≤tx .
T и числа паде-
0
. Каждая точка графика
1
представляет собой среднее значение по двадцати реализациям. Лучшие
результаты получены при достаточно больших положительных значениях
)0(
исходного приближения параметра
50)0(
и рис. 2.5.4 при
(см. рис. 2.5.5 при
Если
)0(
α близко к нулю или равно отрицательным величинам, то
3
=α ) и при )0(
3
2)0(
=
3
).
(см. рис. 2.5.3 при 100)0(
3
, близком к истинному 42,2
3
результаты существенно хуже (см. рис. 2.5.6 при
10)0(
при
3
−=α ). Ограничение графика )(
T уровнем 60 с обусловлено
10
01,0)0(
3
и рис. 2.5.7
3
=α
=a
3
принятой длительностью игры.
Синтезированный алгоритм работы робота-велосипедиста позволяет
приспосабливаться к изменению параметров объекта, что равносильно перестановке робота-велосипедиста с одного велосипеда на другой. Они отличаются размерами и скоростью движения. Графики, иллюстрирующие
качество работы системы, приведены на рис. 2.5.8. На первом графике
показано изменение во времени
координаты )(
объекта, а на втором –
величины
2
⎛
1
′
)(
tS
a
a
1
⎜
−=
⎜
a
3
3
⎝
α
α
′
)(
t
1
′
)(
t
3
⎛
⎞
⎟
⎟
⎠
a
⎜
⎜
a
⎝
α
2
3
2
−+
α
3
2
′
)(
t
′
)(
t
⎛
⎞
⎟
⎟
⎠
a
4
⎜
⎜
a
3
⎝
характеризующей качество работы идентификатора. При
*
a=α ,
33
)( xtx < .
1
a=α величина 0
44
. Если
′
)( SttS <=
′
α
)(
t
4
′
)(
t
3
a=
11
α
−+
, то при
1
2
⎞
⎟
,
⎟
⎠
,
α ,
′
>
a
22
*
47
2. Адаптивное управление динамическими сосредоточенными стохастическими объектами
=
N
=
N
N
=
N
60
40
20
60
40
20
сT
0
α
3
100)0(
120
80
40
0
10
20
30
40
ξ
1
0
10
20
30
40
ξ
1
Рис. 2.5.3
сT
0
α
3
50)0(
120
80
40
0
10
20
30
40
ξ
1
0
10
20
30
40
ξ
1
Рис. 2.5.4
60
40
20
60
40
20
сT
0
α
3
2)0(
120
80
40
0
10
20
30
40
ξ
1
0
10
20
30
40
ξ
1
Рис. 2.5.5
160
01.0)0(
сT
0
=α
3
120
80
40
48
0
10
20
30
40
ξ
1
0
10
20
30
40
ξ
1
Рис. 2.5.6
2.5. Стабилизация движения двухколесного экипажа
t
l
=
=
=
δ
S
N
−
x
t
s
t
′
′
′
t
=
′
=
−
=
S
t
<
<
При 50 <
;1,1=c
01,0)0(
=α и 2
3
два падения. Величина
≤
′
с производится управление объектом с параметрами
′
;7,0=
h
=ξ . На начальной стадии обучения экипаж совершает
1
;6,0=
V
;6
g
;81,9
2,0
, а также при
вначале резко нарастает из-за резкой перестрой-
ки параметров модели, а затем совершает колебания у границы зоны стабилизации
60
40
20
0
′
)(t
20
0
20−
0
0
S .
1
сT
5
10
20
10
3
30
15
=α
40
10)0(
ξ
1
Рис. 2.5.7
20
160
120
80
40
30
45
ξ
1
50
c
0
10
35
20
40
30
40
′
)(
4
3
2
1
0
5
10
15
20
Рис. 2.5.8
30
35
40
45
50
ct
В момент 5=
щем случае было
ния
=a ;12−
1
;04,2
a ;0,4
с меняется высота велосипеда 10
′
h ). Параметры объекта (2.5.3) принимают значе-
6,0=
=a 87,3
3
a . Величина
4
h (в предыду-
резко увеличи-
вается, велосипед раскачивается, идентификатор корректирует параметры
модели, и со временем (при
c 105
) стабилизация улучшается.
c
49
2. Адаптивное управление динамическими сосредоточенными стохастическими объектами
t
=
=
−
=
=
t
=
−
=
=
=
t
<
t
′
=−=
=
S
S
В момент времени 10=
личины
′
5,0=V (ранее было
с уменьшается скорость велосипеда до ве-
). Параметры объекта принимают зна-
6
V
чения
обучения происходит одно падение, а затем после установки велосипеда
наблюдается хорошая стабилизация.
были
пед с одним колесом. Тогда
происходит падение экипажа, а затем в процессе обучения – еще два падения. При
лизацию велосипеда.
Экипаж совершает одно падение, а затем наблюдается стабилизация. Периодически (видимо, из-за ухудшения качества идентификации) увеличивается величина
раскачивание уменьшается. Следовательно, для существенного улучше-
ния качества управления необходимо повышать качество идентификации.
=a ;12−=a ;33,0
1
В момент
В момент
;04,2
′
15
с параметры c и l полагаются нулевыми (ранее они
a 33,0
3
a . На начальной стадии
4
7,0;1,1 ==lc ), т. е. робот-велосипедист переставляется на велоси-
a ;1
1
c 3018
< робот осуществляет хорошую (
;7,0;1,1 ==lc 6;6,0 ==
c
′
вновь задаются исходные параметры
30=
Vh ( 12,0;42,2;1;69,2
и возрастает раскачивание экипажа. По мере уменьшения
;04,2
a 72,0
2
aa . Сразу же
43
5.2)( ≤tx ) стаби-
aaaa ).
−=
4321
2.6. Адаптивное управление
дуговыми сталеплавильными печами
Алгоритмы адаптивного управления процессами расплавления шихты
и доведения температуры жидкого металла до заданного уровня в дуговой
сталеплавильной печи опубликованы в статье [2.4]. Детальное описание
технологических процессов, представленных в пп. 2.6, 4.1, 4.2, содержится
в диссертации [2.5], выполненной под научным руководством автора монографии.
Плавка стали в дуговых сталеплавильных печах (ДСП) представляет
собой цикличный технологический процесс,
чередование строгой последовательности производственных операций
и этапов. Процесс плавки в дуговой сталеплавильной печи можно разделить на следующие основные технологические периоды: заправка печи; загрузка шихты (завалка); расплавление шихты; окислительный период; восстановительный период; выпуск готового продукта.
Заправка печи производится после окончания цикла предыдущей
плавки и имеет цель
циклу. В период заправки выполняются операции по чистке плавильного
: подготовить печь к очередному технологическому
для которого характерно
50