Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Адаптивные системы управления с идентификацией. Монография.pdf
4.3. Схема адаптивного управления многомерными объектами
~
α+α−τ+α+α−
~
α+τ−τ
+
τ
α+α+α
≡
α+τ−τ
+
τ
τ+α+τ−τ
+
α
+
~
τ+α+α
=
−τ+α+
α
~
α+α−τ+α+α−
~
α+τ−τ
+
τ
α+α+α
α+τ−τ
+
τ
τ+α+τ−τ
+
α
+
τ−τ
+
τ
+ )1(
+
τ+α tztttytttyt +
+α tzttuttut +
α+τ−
+
+
+α )()()()()()(
α+≡
τ+
t
2
+
+
+
τ+α tztttytttyt +
+α tzttuttut +
α+τ−
tuttutL
+
α ; (4.3.21)
ατ+ tztttty +
)()()()(
tuttut
411,1310,1
)()())(|(
−τ+α
α+τ−
+
+
+α )()()()()()(
α+τ−
)())(|2()())(|1()(
)()()()()(
)()()()()()(
tzttuttut
+
412,1411,1310,1
tzttuttut
)(
211,20,2222
1213,21212,2
)())(|2()())(|1()(
)()()()()(
)()()()()()(
tzttuttut
+
412,2411,2310,2
tzttuttut
−τ+
226,12225,12224,1
)(
τ−τ+
1239,11228,11217,1
τ−τ+
32515,132614,132513,1
+
)()()()(
τ−
1228,11217,1,1
))(|2()())(|1()(
ttytttyt α
+
)1(
−τ+
226,22225,22224,2
)(
τ−τ+
1239,21228,21217,2
≡τ−τ+
32515,232614,232513,2
)()()()(
α+≡
τ+
t
2
+
α .
Расчет вспомогательных управлений
искомых управляющих воздействий )(),(
tuttutL
)()()()(
tuttut
411,2310,2
tu , )(
tutu проводится совместно по
43
121
τ−
+
1228,21217,2,2
)(
предыдущей схеме. Из критерия оптимальности
2
()
∑
=i
1
2
*
txttyI
iii
2
min)())(|(
=τ+−ατ+=
2
вычисляем идеальные управления (4.3.22) без учета ограничений:
τ−τ+
tv
⎛
⎜
tv
⎜
tv
tv
tv
Δ
Δ
3
tv
4
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
)(
⎞
121
⎟
τ−τ+
)(
122
⎟
)(
)(
)(
tv
3
tv
4
=
⎟
⎟
⎠
τ−τ+Δ
)(
⎞
121
⎟
τ−τ+Δ
)(
122
⎟
⎟
)(
⎟
⎠
tu
⎛
⎜
tu
⎜
−
tu
⎜
⎜
⎝
=
3
−
tu
4
)(
t
α
⎛
7,1
⎜
α
7,2
⎝
α
)(
t
α
)1(
−τ−τ+
⎞
121
−τ−τ+
122
)1(
)1(
t
8,1
t
8,2
⎛
⎟
⎜
)1(
⎟
⎜
+
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
)(
α
10,1
)(
α
tv
tv
Δ
tv
3
Δ
4
)(
t
α
11,1
)(
t
α
10,2
11,2
)(
τ−τ+Δ
⎞
121
⎟
)(
τ−τ+Δ
122
⎟
)(
)(
tv
⎟
⎟
⎠
+
)(
t
⎞
⎟
)(
t
⎠
−τ+tu и
122
, (4.3.22)
×
и проектируем их, как обычно, на выпуклую область ограничений.
111
4. Адаптивное управление распределёнными динамическими объектами
+
~
τ+α+α
=
α−τ+α+α
~
α+α−τ+α+α−
~
α+τ−τ
+
τ
~
α+τ−τ
+
τ
≡α+α+
α
τ+α+τ−τ
+
α+τ−τ
+
~
τ+α+α
=
−τ+α+
α
~
α+α−τ+α+α−
~
α+τ−τ
+
τ
~
α+τ−τ
+
τ
α+α
+
τ+α+τ−τ
+
α+τ−τ
+
В итоге дополнительно к )(),(
аналогии находим )(),(
tutu . При дальнейшем последовательном прогно-
65
tutu получены )(),(
21
tutu . Далее по
43
зировании выходных координат на каждом шаге приходится совместно
вычислять уже четыре вспомогательных прогнозируемых управления
uu ÷ .
41
Последовательно увеличиваем время прогноза до
τ
t
3
ατ+ tztttty +
+
+
+
+
τ+α tztttytttyt
+α tzttuttut +
+α tzttuttut +
−τ+α +
α+τ−
α+τ−
)()())(|(
+
α+≡
τ+
t
3
+
+
α+τ−τ+α ;
ατ+ tztttty + (4.3.23)
)()())(|(
−τ+α +
)(
311,10,1131
))(|2()())(|1()(
ttytttyt
1313,11312,1
+
)())(|2()())(|1()(
)()()()()(
)()()()()(
)()()()()()(
tzttuttut
515,1614,1513,1
tuttutL
)()()()(
τ−
+
1328,11317,1,1
)(
311,20,2232
))(|2()())(|1()(
ttytttyt α
1313,21312,2
)1(
−τ+
326,12325,12324,1
)(
τ−τ+
1339,11328,11317,1
)(
τ−τ+
23412,123411,123310,1
)()()()()()()()(
tuttuttuttut α+
614,1513,123411,123310,1
112
+
+
+
+
τ+α tztttytttyt
+α tzttuttut +
+α tzttuttut +
+
α )()()()()()(
α+≡
τ+
t
3
α+τ−τ+α
Из критерия оптимальности
2
()
∑
1
=i
+
)())(|2()())(|1()(
α+τ−
α+τ−
3
*
txttyI
iii
3
)()()()()(
)()()()()(
≡
tzttuttut
515,2614,2513,2
)()()()(
tuttutL
2
min)())(|(
=τ+−ατ+=
τ−
+
1328,21317,2,2
)1(
−τ+
326,22325,22324,2
)(
τ−τ+
1339,21328,21317,2
)(
τ−τ+
23412,223411,223310,2
.
)()()()()()()()(
tuttuttuttut α+
614,2513,223411,223310,2
4.3. Схема адаптивного управления многомерными объектами
=
j
÷
t
x
+
t
t
вычисляем идеальные управления (без учета ограничений)
τ−τ+
tv
⎛
⎜
tv
⎜
⎜
tv
⎜
tv
⎜
⎜
)(
tv
5
⎜
)(
tv
6
⎝
⎛
tv
⎜
⎜
⎜
tv
tv
τ−τ+Δ
131
τ−τ+Δ
τ−τ+Δ
⎜
⎜
tv
τ−τ+Δ
⎜
Δ
⎜
⎜
Δ
⎝
)(
tv
5
)(
tv
6
⎛
⎜
)(
⎞
131
⎟
τ−τ+
)(
132
⎟
⎟
τ−τ+
)(
233
=
⎟
τ−τ+
)(
234
⎟
⎟
⎟
⎠
)(
⎞
⎟
)(
⎟
132
⎟
)(
233
)(
234
α
⎛
⎟
⎜
=
⎜
α
⎟
⎝
⎟
⎟
⎟
⎠
τ+
t
3
tu
⎛
⎜
tu
⎜
⎜
tu
⎜
tu
⎜
⎜
⎜
⎝
7,1
7,2
−
)1(
tu
5
−
)1(
tu
6
)(
t
α
8,1
)(
t
α
8,2
⎜
⎜
−α−−α−
tuttut
⎜
⋅
⎜
τ+
t
3
614,1513,1
⎜
⎜
⎜
⎝
−α−−α−
tuttut
614,2513,2
−τ−τ+
)1(
⎛
131
132
233
234
)(
t
α
)(
t
α
⎞
⎜
⎟
−τ−τ+
)1(
⎜
⎟
⎜
⎟
−τ−τ+
)1(
+
⎜
⎟
−τ−τ+
)1(
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
)(
t
10,1
10,2
α
)(
t
α
tuttut
Δ
Δ
tv
(
tv
tv
tv
)(
tv
5
)(
tv
6
)(
t
11,1
11,2
23411,123310,1
α
)(
t
α
−−τ−τ+α−−τ−τ+α−
)1()()1()(
τ−τ+Δ
)(
⎞
131
⎟
)
τ−τ+Δ
132
⎟
⎟
)(
τ−τ+Δ
233
, (4.3.24)
⎟
)(
τ−τ+Δ
234
⎟
⎟
⎟
⎠
+
)(
t
13,1
13,2
α
)(
t
α
tuttutLtx
)(
t
⎞
14,1
⎟
⋅
⎟
)(
t
14,2
⎠
−−τ−τ+α−−τ−τ+α−−τ+
)1()()1()()(
1328,11317,1,131
⎞
⎟
⎟
⎟
);1()()1()(
tuttutLtx
1328,21317,2,232
⎟
−−τ−τ+α−−τ−τ+α−−τ+
)1()()1()()(
⎟
⎟
−−τ−τ+α−−τ−τ+α−
tuttut
)1()()1()(
)1()()1()(
23411,223310,2
⎟
⎟
⎠
и проектируем только )(),(
tvtv (так как вспомогательные управления
65
больше не используются) на выпуклую область ограничений:
⎧
⎪
=
)(
tu
j
⎨
⎪
⎩
В итоге получены все управления )()(
ект. На следующем такте все повторяется. Измеряются выходные коорди-
наты )1( +
и входные воздействия )1(
z
≤
≤
2,2,
,)(при,
utvu
jjj
1,1,
≤≤
jjj
,)(при),(
6,5
utvutv
jjjj
2,1,
),(при,
tvuu
tutu
. Они подаются на объ-
61
. (4.3.25)
и по описанной схеме рассчи-
тываются управления )1( +
u
и подаются на объект.
Заключение. Полученные результаты для сравнительно сложных
классов распределенных объектов, описываемых разностными уравнения-
113
4. Адаптивное управление распределёнными динамическими объектами
ми с перекрестными связями по выходным переменным и с наличием нескольких запаздываний и управляющих воздействий, включают в себя более простые результаты, приведенные в пп. 4.1 и 4.2 и частично опробованные на технологических процессах обжига извести и клинкера.
Применяемый здесь подход к управлению распределенными технологическими процессами существенно отличается от традиционных
подходов, основанных на использовании разностных аналогов соответствующих дифференциальных уравнений в частных производных. Во-первых,
распределённые модели существенно сложней по сравнению с применяемыми в гл. 4 сосредоточенными моделями с чистыми запаздываниями.
Во-вторых, на основе разностных аналогов дифференциальных уравнений
в частных производных существенно сложней организовывать адаптацию
их параметров и
осуществлять расчет оптимальных управлений.
Результаты монографии применимы к классам распределённых объ-
ектов, описываемых более общими дискретно-аргументными моделями
[4.6–4.10].
114
t
t
t
−
−
tutxtutxt
x
t
x
t
α
t
−
t
−
tutxtutxt
x
t
α
ϕ
5.1. Алгоритмы квадратичных критериев
АЛГОРИТМЫ АДАПТИВНОЙ
5
ПЕРЕСТРОЙКИ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ
5.1. Алгоритмы квадратичных критериев
Считаем, что измерения выхода объекта некоррелированные нерав-
ноточные с дисперсией
Вначале рассмотрим классический алгоритм наименьших квадратов
при линейной (относительно параметров) модели:
2
для моментов времени t.
)(
tσ
TT
В первом случае – это выход модели в момент времени
значениях параметров
ни
: ...);2(),2();1(),1();(
−−
ских моделей строится вектор
, полученных по измерениям к моменту време-
)(
α
. Для разных типов динамиче-
T
)(t
ϕ указанных измерений, кроме )(
Во втором случае – это выход модели в момент времени
)1( −
ниях параметров
Векторы параметров
, полученных по измерениям к моменту 1
.
−−−−
)(
вычисляем по критерию наименьших
...);3(),3();2(),2();1(
квадратов
∑
i
=
t
−
1
T
22
tiixi
min)]()()()[(
=αϕ−σ
)(
t
α
Чтобы на каждом шаге не решать систему линейных алгебраических
уравнений, были получены рекуррентные уравнения:
T
)]1()()()[()1()( −αϕ−γ+−α=α tttxttt
)1()())1(|(),()())(|( −αϕ=−ααϕ=α ttttytttty
. (5.1.1)
при новых
, но при значе-
. (5.1.2)
,
.
:
)(
t
=γ
2
t
T
−α
T
)1(
t
−α
−αα
t
,
)()()(
tKtt
ϕϕ+σ
++=ϕγ−=
tttKttEK
00)1()(
....,2,1,)]()([
(5.1.3)
)(
tK
)1(
t
Вывод этих уравнений содержится в примере 5.1.1.
Начальными значениями служат оценка наименьших квадратов
)(
tα и её ковариационная матрица
0
t
0
−−
1
α
0
)(
0
2
it
=
1
i
:
)(0tKα
t
0
−−
21
α
∑∑
)(
0
it
=
1
i
T
ϕϕσ=ϕσ=α
)()(),()()(
iiKtxitK , (5.1.4)
115
5. Алгоритмы адаптивной перестройки параметров моделей
ϕ
t
ϕ−Γ
=
Γ
при исходном объеме измерений входа и выхода объекта до момента времени
t .
0
При некоррелированных равноточных измерениях выхода объекта
меняются весовые коэффициенты в критерии наименьших квадратов
t
−
T
∑
1
i
=
22
tiix
min)]()()([
=αϕ−σ
(5.1.5)
)(
t
α
и в рекуррентном уравнении (5.1.3):
Здесь
T
)(
tK
)1(
t
=γ
)(
t
t
– корреляционная матрица для вектора параметров
)(tKα
2
−
T
−α
T
t
t
−α
−αα
,
)()(
tKt
ϕϕ+σ
)1(
tttKttEK
00)1()(
Если в (5.1.2) взять произвольные весовые коэффициенты
t
∑
i
=
−
1
T
21
tiixip
min)]()()()[(
=αϕ−
t
α
)]1()()()[()1()( −αϕ−γ+−α=α tttxttt
, (5.1.6)
++=ϕγ−=
....,2,1,)]()([
.
)(
α
1−
p , т. е.
i
, (5.1.7)
)(
то происходит отклонение от классического критерия наименьших квадратов, такой критерий будем называть просто квадратичным критерием.
В приведённых ранее рекуррентных уравнениях (5.1.3) структура сохраня-
2
ется, но
следует заменить на
)(
tσ
, а матрицу
)(tp
обозначить дру-
)(tKα
гим символом, так как она не является корреляционной матрицей для па-
ϕϕ
. )(
ϕϕ=Γ
2
)()(
ttp σ= ):
T
)()1(
tt
)]1()()()[()1()( −αϕ−γ+−α=α tttxttt
,
,
)()1()()(
ϕ−Γϕ+
ttttp
++=−Γϕγ−=Γ ttttttEt
00
t
⎞
T
⎟
0
⎠
t
– это матрица, обратная мат-
0
1
−
⎞
T
)()()()(
iiipt .
⎟
00
∑∑
1
=
i
....,2,1),1()]()([)(
(5.1.8)
1
−
ϕ=α
⎠
)()()()()()()(
ixiiptiiip
, по-
раметров (за исключением случая
=γ
)(
t
T
Начальное значение
гебраических уравнений
⎛
⎜
⎝
рассчитывается из системы линейных ал-
)(
tα
0
t
1
−
1
=
i
лученной из критерия (5.1.7) при
t
0
рице этой системы:
116
⎛
⎜
0
∑
1
i
=
⎝
T
tt
0
1
−
5.1. Алгоритмы квадратичных критериев
t
t
α
t
ϕ−Γ
≤λ≤
ttftt
α
α
t
С ростом объема измерений t оценки наименьших квадратов (5.1.3),
(5.1.6) стремятся к постоянным величинам
екта. Текущие измерения с ростом
получаемые параметры модели
∞→
лабевает и при
полностью исчезает. Это происходит потому, что
оказывают все меньшее влияние на
)(
, т. е. обратная связь к измерениям ос-
a – параметрам уравнения объ-
построенные алгоритмы ориентированы на отслеживание постоянных
параметров объекта. При дрейфующих параметрах объекта приведенные
алгоритмы не отслеживают параметры.
Для оценивания дрейфующих параметров объекта в квадратичный
критерий оптимальности вводят дополнительные веса. Они наибольшие
для последних измерений и убывают для более старых измерений. При-
−
мером служит убывающая
.
10 <λ<
последовательность ...,,2,1,, −−=λ
it
ttti
Корректируем критерий (5.1.7)
t
−−
Tit
∑
i
=
1
из которого следует рекуррентный алгоритм:
)()1(
=γ ,
)(
t
T
T
tt
1
−
Структура алгоритма не меняется, в двух местах лишь добавляются
сомножители
λ и 1−λ . Исследования алгоритма показали, что параметр
λ целесообразно выбирать из интервала 995,09,0
При
использовании квадратичного критерия (5.1.9)
нелинейной параметризации модели ))(),(())(|(
t
it
−−
∑
i
=
1
21
tiixip
T
)()1()()(
ϕ−Γϕ+λ
ttttp
y αϕ=
21
tifixip
min)]()()([)(
=αϕ−λ
ttttttEt
, (5.1.9)
)(
t
α
)]1()()()[()1()( −αϕ−γ+−α=α tttxttt
, (5.1.10)
++=λ−Γϕγ−=Γ
00
....,2,1,)1()]()([)(
.
и
min))](),(()([)(
=αϕ−λ
(5.1.11)
)(
t
α
объединяем алгоритм метода последовательной линеаризации (с использованием линеаризованной модели) и обычный адаптивный алгоритм для
квадратичного критерия и линейной (относительно параметров) модели.
На каждом шаге берём линеаризованную в точке )1(
T
α
T
α
)()())1(|( tftty
αΔ⋅∇+−α≡
. (5.1.12)
−
модель
≡−α−α−αϕ∇+−α≈α
))1()())(1(),(())1(|())(|( ttttfttytty
117
5. Алгоритмы адаптивной перестройки параметров моделей
t
ϕ
−αϕ=−
α
ttftt
−αϕ−γ
+
α
ttftxtt
t
−αϕ∇−
≡
t
ϕ
−
t
α
α
tiiv
taF
t
=+−
F
Здесь )(⋅∇
f – градиента (вектор-столбец) по параметрам. В итоге прихо-
α
дим к алгоритму (5.1.10) с заменой в нем вектора базисных функций
на вектор градиента
выход нелинейной модели ))1(),(())1(|(
)(⋅∇
f и выхода линейной модели )1()( −αϕ tt
α
y :
T
)(
– на
−α=
=γ
Γ
)(
t
α
α
T
1
T
−
))1(),(()1(
ttft
ftftp
αα
, (5.1.13)
))]1(),(()()[()1()(
,
)()1())(()(
⋅∇−Γ⋅∇+λ
++=λ−Γ⋅∇γ−=Γ
ttttftEt
00
....,2,1,)1(]))()(([)(
При линейной параметризации модели вектор градиента
)())1(),((
−αϕ∇
⋅∇
fttf равен вектору базисных функций )(
αα
, и
(5.1.13) переходит в (5.1.10).
В работах Б. Т. Поляка [5.1] получен простой алгоритм адаптивной
коррекции параметров:
1
−
α
t
1
−
=−α−α+−α=α
tttttt 0,)(
,...,2,1)),1()(()1()(
))]1(),(()())[1(),(()()1()(
−αϕ−−αϕ∇γ+−α=α
ttftxttfpttt
tt
2/1
−
, (5.1.14)
>γγ=γ
.
Алгоритм состоит из двух частей. В первой части осуществляется
перестройка параметров по простейшему градиентному алгоритму. Во
второй части алгоритма производится усреднение полученных оценок:
t
1
t
)(
t
i
∑∑∑
=
i
)(
1
−
t
1
1
t
=
i
1
1
i
)(
n
1
−
Последовательность параметров
t
=α+α=α=α
t
)(
tttt
−
t
1
11
−
tt
1
=
i
1
))1()(()1(
−α−α+−α=
.
...),(...,),1(
1
=α+α
i
)(
t
)(
t
имеет те же пре-
дельные свойства (в том числе и по скорости сходимости), что и для оценок обычного метода наименьших квадратов.
Рассмотрим теперь подстройку быстроменяющихся (
ных
) параметров стохастического объекта.
нестационар-
Считаем, что изменение параметров объекта соответствует известному разностному уравнению
a
где
= , (5.1.15)
)(⋅
– известная векторная функция; )(iv – центрированная некорре-
...,,...,2,1),())1(()(
лированная во времени помеха с корреляционной матрицей для момента
времени
i
118
5.1. Алгоритмы квадратичных критериев
−αϕ−γ+−α=α
ttftxttFt
−αϕ∇−
α
t
t
T
= . (5.1.16)
)(})()({ iVivivM
Тогда при адаптивной перестройке параметров в алгоритме (5.1.13)
несколько меняются компоненты первого и третьего уравнений:
, (5.1.17)
))]1(),(()()[())1(()(
=γ
Γ
)(
t
T
α
α
T
1
−
))1(),(()1(
ttft
ftftp
αα
Более простой алгоритм (5.1.14) для нестационарного случая приобретает вид
1
−
α
1
−
=−α−α+−α=α
tttttt 0,)(
,...,2,1)),1()(()1()(
Пример 5.1.1. Получим рекуррентную формулу расчета параметров
линейной модели из критерия наименьших квадратов:
Параметры
t
∑
i
=
−
1
удовлетворяют соответственно двум систе-
)1(),( −α
T
22
tiixi
min)]()()()[(
=αϕ−σ
α
мам линейных алгебраических уравнений:
t
−−
21
α
)(
t
i
=
1
α
t
−−
21
∑∑
t
)(
i
=
1
,
)()1())(()(
⋅∇−Γ⋅∇+λ
++=+λ−Γ⋅∇γ−=Γ
ttttVtftEt
00
−αϕ−−αϕ∇γ+−α=α
ttftxttftpttFt , (5.1.18)
2/1
−
tt .
....,2,1),()1(]))()(([)(
))]1(),(()())[1(),(()()())1(()(
>γγ=γ
. (5.1.19)
)(
t
T
ϕϕσ=ϕσ=α
, (5.1.20)
iiiKixiitK
)()()( где),()()()(
−
1
t
−−
21
−α
)1(
t
=
1
i
Вычтем из (5.1.20) уравнение (5.1.21). С учетом
1
−
)(
α
получим
1
−
)(
α
)(
α
tt
Отсюда после умножения слева на
пересчета параметров:
)(
α
t
Найдём теперь рекуррентное уравнение для ковариационной мат-
рицы параметров.
−
1
t
−−
21
∑∑
−α
)1(
t
21
−−
)1(
−α
tt
T
следует формула рекуррентного
)(tKα
2
−
=
1
i
T
)()()(
tttKK
ϕϕσ+=
, (5.1.22)
221
−−−
T
T
ϕϕσ=ϕσ=−α
)()()( где),()()()1(
iiiKixiitK . (5.1.21)
)()()()1())()()(()(
ϕσ+−αϕϕσ−=α
tttxttKtt
txttttttKtK
)]1()()()[()()1()(
−αϕ−ϕσ+−α=α
. (5.1.24)
. (5.1.23)
119
5. Алгоритмы адаптивной перестройки параметров моделей
ϕ
ϕ
ϕ
ttt
Умножив (5.1.22) слева на матрицу
, а справа на
)(tKα
K
, полу-
)1( −α t
чим
2
−
)()()1(
αα−α
ttt
T
)()()(
ϕϕσ+=
KtttKKK . (5.1.25)
)1(
−α
t
Из него следует, что
2
−
)()1(
tt
α−α
T
t
−α
)]()()(1)[()(
tKtttKtK
ϕϕσ+ϕ=ϕ
)1(
.
Тогда
α
2
−
)(
=ϕ
tK
t
)(
−α
T
)1(
t
−α
)()()(1
tKtt
ϕϕσ+
)(
tK
t
)1(
или
2
−
t
)(
α
)()()(
=ϕσ≡γ
ttKt
2
−α
T
)1(
t
−α
. (5.1.26)
)()()(
tKtt
ϕϕ+σ
)(
tK
t
)1(
Этот вектор-столбец коэффициентов усиления стоит перед невязкой
(выхода объекта и выхода модели) в рекуррентной формуле (5.1.24) пересчета параметров. В правую часть (5.1.26) входит матрица
K , вычис-
ленная на предыдущем такте.
Рекуррентная формула для
t
следует из (5.1.25) с учетом (5.1.26):
)(tKα
T
)]()([
ϕγ−=
KttEK . (5.1.27)
)1()(
−αα
t
Объединяем (5.1.24), (5.1.27) в единую рекуррентную процедуру
(5.1.3) расчета параметров модели и ковариационной матрицы:
T
)(
tK
t
)1(
)(
=γ
t
t
2
T
−α
T
)1(
t
−α
−αα
t
,
)()()(
tKtt
ϕϕ+σ
)]1()()()[()1()( −αϕ−γ+−α=α tttxttt
, (5.1.28)
++=ϕγ−=
nntKttEK
00)1()(
....,2,1,))()((
Пример 5.1.2. Считаем, что измерения выхода некоррелированные,
равноточные
y α=α .
, а выход модели не зависит от входа и имеет вид
)())(|(
)1( −α t
120
В соответствии с критерием наименьших квадратов (5.1.5)
t
2
−
∑
1
=
i
2
tix
min)]()([
=α−σ
)(
t
α