Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Адаптивные системы управления с идентификацией. Монография.pdf
1.3. Модели с использованием функций чувствительности
−α−γ+
−
t
tytxttt
Γ
−α−
tvtaF
t
+−=
−α−γ+
−α=α
t
tytxttF
t
Γ
α−=εεγ+
t
tytxttttt
Γ
ного критерия с экспоненциальным забыванием информации приобретает
вид
α=α
)(
tw
t−−
=γ , (1.3.8)
)(
t
t
t
T
1
T
Γ+λ
t
−
1
−
1
t
)()(
twtwp
1
)]1(,()()[()1()(
...,2,1,)]()([
++=λΓγ−=Γ
ttttwtE
00
Аналогично записываем простой алгоритм (5.1.14) Б. Т. Поляка:
1
−
t
1
−
2/1
−
tt ;
>γγ=γ
0,)(
−α−γ+−α=α
ttytxtwtpttt
=−α−α+−α=α
tttttt (1.3.9)
простейший адаптивный алгоритм (5.3.4) п. 5.3:
))1(,()(
)1()( =
+−α=α ttw
tt
T
ttytx
)()(
twtw
алгоритм (5.1.17) оценивания нестационарных параметров
.
)]1(,()()[()()()1()(
,
...,,2,1)),1()(()1()(
...,2,1),(
; (1.3.10)
объекта:
t
алгоритм (5.2.9):
а)|)(| tpk
б) ,|)(|
â)
k
t
tt
⎧
=
⎨
⎩
ε= ,
ε= tpk
tt
t
t
a
)(
tw
−
t
=γ ,
)(
t
t
T
−
1
t
1
T
Γ+λ
t
−
1
−α=α
)(
tw
−
t
=γ ,
)(
t
t
t
2 μ−
tp
−
1
T
,|)(|,
Δ≤ε
ttp
Δ>εΔε
1
T
Γ+λ
t
−
−
1
−
1
t
;|)(|,|)(|
)())1(()(
, (1.3.11)
))]1(,()()[())1(()(
)()(
twtwp
1
−
…,2,1),()]()([
++=+λΓγ−=Γ
ttttVtwtE
00
)()(
twtwk
1
…,2,1,)]()([
++=λΓγ−=Γ
ttttwtE
00
;
, (1.3.12)
))1(,()()(),()()1()( −
;
21
α−=εεψ′
γ+−α
Γ
α−=εεψ′
γ
−
t
t
t
t
x
t
x
tutxtut
−α−
−α−
алгоритм (5.2.10):
1. Идентификация динамических объектов
=α ttytxttttt ,
)(
tw
−
t
=γ , (1.3.13)
)(
t
t
t
T
1
T
Γ+λ
t
−
1
1
t
−
)()(
twtwp
1
−
++=λΓγ−=Γ
ttttwtE
00
))1(,()()()),(()()1()( −
…,2,1,)]()([
и алгоритм (5.2.12):
+−α=α ttytxtttwttt ,
1
−
2/1
−
tt
0,)(
>γγ=γ
=−α−α+−α=α
tttttt
))1(,()()()),(()()()1()( −
(1.3.14)
...,,2,1)),1()(()1()(
расчета робастных параметров модели.
Для других типов моделей (1.1.6), (1.1.7), (1.1.10), (1.1.12), (1.1.15)
алгоритмы расчета параметров (1.3.5)–(1.3.11) не меняются. Необходимо
лишь по выбранной модели рассчитывать свой выход модели ))1(,(
и свои функции чувствительности
)(
w . На последнем вопросе остановимся
α
y
подробнее.
Наиболее простой среди вышеуказанных является оптимальная
структура модели без обратной связи (1.1.7):
n
i
i
Функции чувствительности равны соответственно
m
−+−=
jtubitxaty
)()()(
∑∑
i
==
11
j
. (1.3.15)
ux, (отпадает не-
обходимость решать уравнения чувствительности):
a
i
В каждый текущий момент времени
b
j
mjjtutwniitxtw
,1),()(,,1),()( =−==−=
. (1.3.16)
на основе измерений
(),();( ),( )−−− −11 2 2 параметры корректируем по простейше-
му адаптивному алгоритму (5.3.4):
ttytx
ii
jj
+−=
n
2
a
i
i
1
tbtb
)1()(
+−=
n
2
a
i
i
1
m
2
twtw
+
∑∑
j
1
==
m
+
∑∑
j
1
==
)()(
b
j
ttytx
))1(,()(
2
twtw
)()(
b
j
tata
))1(,()(
)1()(
niitx
,1);(
=−
;
mjjtu
,1);(
=−
; (1.3.17)
();
22
1.3. Модели с использованием функций чувствительности
−α−
Для модели (1.1.6)
n
i
i
m
−−+−−=−α
jtutbitxtatty
)()1()()1()1(|(
∑∑
j
==
11
j
.
n
i
i
m
j
j
q
∑∑∑
l
l
===
111
функции чувствительности удовлетворяют уравнениям
q
∑
k
b
q
1
=
∑
k
=
q
∑
=
k
ckc
ll
aka
1
1
ii
k
b
jj
=−+−−=
=−+−−=
Простейший адаптивный алгоритм перестройки параметров (5.3.4)
принимает вид
niitxttata
ii
jj
,1);()()1()( =−Δ+−=
mjjtuttbtb
,1);()()1()( =−Δ+−=
−−−+−+−=
ltyltxcjtubitxaty
))()(()()()(
(1.3.18)
niitxktwctw
,1),()()(
;
mjjtuktwctw
,1),()()(
; (1.3.19)
qlltltyltxktwctw
,1))],(|()([)()(
=−α−−−+−−=
.
;
; (1.3.20)
,
qlltltyltxttctc
ll
ttytx
t
)(
=Δ
q
∑
=
l
n
2
a
i
i
1
n
i
i
l
1
m
2
b
j
j
1
))1(,()(
q
++
∑∑∑
===
1
l
m
∑∑
j
==
j
11
−α−−−+
ltltyltxc
,
2
twtwtw
)()()(
c
l
))](|()([
.
,1))],(|()()[()1()( =−α−−−Δ+−=
+−−+−−=−α
jtutbitxtatty
)()1()()1()1(|(
В работе [1.8] показано, что для линейных динамических моделей
при получении каждого набора функций чувствительности }{
}{
w надо решить не систему уравнений чувствительности , а лишь одно
c
l
w, }{
a
i
w,
b
j
уравнение, в котором фазовые координаты представляют собой интересующие нас функции чувствительности. Этот результат справедлив для
23
1. Идентификация динамических объектов
α−−−−
tytxtutxf
t
−α−−−
t
tytxt
−α=αΔ−α
==⋅∇+
⋅
−α≡
t
twt
αα−
−
−
α
t
t
−α−α−
−=−α
−α−α−
−
−α−α−
−
−α−
−α−
моделей с постоянными параметрами. Его можно пробовать распространить и на линейные модели с переменными параметрами.
Все ранее рассмотренные нелинейные субоптимальные модели
(1.1.12), (1.1.15) запишем в виде уравнения
y , (1.3.21)
−=
где α – вектор-столбец искомых параметров.
Модель с переменными параметрами (см. аналог (1.3.3) для линейной оптимальной структуры (1.3.2)):
T
T
e
=−
∇=−α≡
α
Уравнения чувствительности имеют вид
∇−=
y
w .
α
))1(,()(
Для нелинейной структуры модели без обратной связи
T
)())1(,()( tttwf
αΔ−α+⋅≡ ,
)),1()1(),1(),1(()(
=αΔ−α+−α≈α )())1(,())1(,())(,( tttwttytty
(1.3.22)
≡αΔ−α+−α−−−= )())1(,())1(),1(),1(),1(( tttwttetutxf
))1(|1()1()1(
)1()()()),1(,())1(,()( −α
tttttyttwtw .
twfftwtw
...,2,1,0)0(),()()1()(
, (1.3.23)
= tutxfty (1.3.24)
получаем следующие выход модели ))1(,(
y и функции чувствитель-
),),1(),1(()(
21
ности:
))1(),1(),1(),1(()1(,(
tttutxftty ,
21
∂
)(
=
tw , (1.3.25)
α
1
α∂
1
∂
)(
=
tw ,
α
2
α∂
2
21
21
))1(),1(),1(),1((
tttutxf
))1(),1(),1(),1((
tttutxf
а также простейший адаптивный алгоритм перестройки параметров
(см. п. 5.3):
))1(,()(
11
tt . (1.3.26)
22
+−α=α ,
)1()(
+−α=α
+
22
)()(
+
ttytx
22
αα
twtw
αα
21
))1(,()(
)()(
twtw
21
α
2
)1()(
ttytx
tt
)(
tw
α
1
=
ttw
...,2,1),(
24
1.3. Модели с использованием функций чувствительности
αα−−−
⋅≡−α−α−α−−
α−α−−−=
⋅
∂
⋅
∂
⋅
∂
⋅
∂
tetbut
x
tetcetut
x
+
−
x
tbutcetet
−
+
−+−
+
Если в модели (1.3.24) появляется обратная связь по выходу, т. е.
= tytutxfty , (1.3.27)
),),1(),1(),1(()(
21
то меняется расчет выхода модели и функций чувствительности:
−=−α fttttytutxftty ,
21
−α− ttttytutxftty
)()(
−=
)1()(
twtw , (1.3.28)
αα
11
∂
y
f
−=
)1()(
twtw ,
αα
f
22
∂
y
f
+
α∂
1
)()(
f
+
α∂
2
а формула перестройки параметров сохраняет свой вид (1.3.26).
Упражнения
ª
Для объектов, описываемых уравнениями:
)()1()(
1.1.
+−= ,
)())1(),1()),1(|1(),1(),1(())1(,(
,
))1(),1()),2(|2(),2(),2(()1(|1(
−α−
21
1.2. )()1()1()(
1.3.
1.4.
1.5.
() () ()()=−+
xt but cet cet et() () () ( )()=−+
)( te
atx +
=
tx
)( tetce
tx +−+
1.6.
= ,
tu
1.7.
)( tetce
atx +−+
=
+−= ,
11,
11 2
)1(
tx
−
)1(
tu
−
)1(
−
12
,
)(
)()1(
)1(
−
)1(
tx
−
)1(
tu
−
,
)()1(
,
запишите оптимальную структуру модели, постройте две модели с переменными параметрами (рекурсивную и с функциями чувствительности)
и составьте адаптивные алгоритмы перестройки параметров моделей:
а) алгоритм минимизации квадратичных функционалов;
б) простейший адаптивный алгоритм.
25
t
t
x
−
tut
x
−
tut
x
x
t
x
x
=ξ+−−
t
tatutxftx
x
x
x
f
⋅
t
ξ
t
ξ
t
−
t
k
t
t
tet
=
ξ
2. Адаптивное управление динамическими сосредоточенными стохастическими объектами
АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
2
ДИНАМИЧЕСКИМИ СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ
СТОХАСТИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ
2.1. Схема синтеза закона управления
Рассмотрим адаптивную систему с идентификацией (АСИ), представленную на рис. 2.1.1. Синтезируем алгоритм расчета управления (алгоритм работы устройства управления)
ходными экспериментальными данными о входе и выходе объекта являются:
);(
−
);1(),1(
…);2(),2(
)(tu в каждый текущий момент времени
−
. Они включают в себя послед-
. Ис-
нее измерение выхода объекта
входа и выхода – они хранятся в памяти вычислительного устройства управ-
ления. Необходимо рассчитать управляющее воздействие
щее достижение следующей цели: наименьшего уклонения выхода системы
от заданной траектории
Считаем, что поведение объекта в динамическом режиме описывается разностным уравнением
*
в каждый текущий момент времени.
=
ξ
u
α
() и предыдущие синхронные измерения
)(tu , обеспечиваю-
…,2,1),()),1(),1(()(
. (2.1.1)
Здесь
вестные параметры; )(
«окрашенный» либо «белый» шум. Так как
в гл. 2 внимание сосредоточено на синтезе
управлений (построении алгоритма работы
*
регулятора, см. рис. 2.1.1), то для простоты считаем помеху
et()
()
– известная функция, a – неиз-
– дискретный
)(
«белым» шумом
. Если шум «окрашенный» (см. гл. 1),
то он представляется как функция от
et(),
также доопределяются в процессе иденти-
Рис. 2.1.1
модели в момент времени k при значении вектора параметров )(
численных в момент времени
26
фикации. Алгоритмы работы идентификатора представлены в главе 5.
. Если шум
1 … и параметры этой зависимости
Обозначим через
)]()([
y α выход
«белый», то
))(|(
e
(),
α , вы-
2.2. Примеры синтеза устройств управления для простейших линейных систем
t
kukxftk
y
α−−
=
t
k
t
t
−
t
k
t
+
k
t
=
+
t
tutxftt
α=α
t
α
t
t
t
+
tUt
∈
U
t
−+−+−
thtutxt
x
=
t
−
−
tutxt
x
x
t
kukxtky
α+−+−
=
t
t
α . (2.1.2)
Эта модель используется как для целей идентификации параметров
)(
α (при этом
u
ния
лучаем прогноз выхода объекта для следующего момента времени:
() (при этом
принимает значение
полагаем равным
,,
1 …), так и расчета управле-
1). При
))(),1(),1(())(|(
1 из (2.1.2) по-
y
+ . (2.1.3)
)(
Параметры
ваются по одному из адаптивных алгоритмов (см. гл. 5). Неизвестным в
правой части уравнения (2.1.3) остается управление
из условия наилучшего приближения выхода модели
лаемой траектории
Здесь
служит интервал
() – множество допустимых значений управления. Примером
поступают из идентификатора, где они рассчиты-
*
xt
()+1 в момент времени
2*
min))1())(|1((
=+−α+ txtty
],[
uu , ограниченный известными значениями.
21
))(),(),(())(|1(
1
:
при u
ut()
. Его вычисляем
y α+ к же-
() ()
))(|1(
. (2.1.4)
2.2. Примеры синтеза устройств управления для простейших линейных систем
Пример 2.2.1. Считаем, что объект описывается уравнением
=
Здесь
объекта приведена в верхней части рис. 2.2.1. Через
тор запаздывания сигнала на один такт.
ut()
туре модели и на основе измерений
входа и выхода объекта, чтобы достигалась цель управления: движение
системы по заданной траектории
h – неизвестное внешнее воздействие на объект. Структурная схема
Необходимо найти алгоритм расчета управляющего воздействия
в каждый текущий момент времени t на основе информации о струк-
*
.
Формируем модель объекта
α . (2.2.3)
Параметр
объекта.
оценивает неизвестное внешнее возмущение h
)(
α
)1()1()1()(
, …,2,1
. (2.2.1)
q обозначен опера-
...);1(),1();(
(2.2.2)
)()1()1())(|(
()
27
2. Адаптивное управление динамическими сосредоточенными стохастическими объектами
t
α
x
t
tty
t
t
tutxt
x
α+−+−
t
x
t
t
x
t
t
x
−−=
α
tutxtxt
t
+
t
tutxt
t
+=α
+
≤
I
Вычислим )(
))(|(
α в момент времени
, приравняв выход объекта
:
()
и выход модели
)(tu
u
q
Объект
q
−
Устройство
управления
)1( −
+
)(tv
−
)(
α
+ +
Рис. 2.2.1
1
)()1()1()(
)1()1()()( −−
. (2.2.5)
ut()
(2.2.6)
)()()())(|1(
= . (2.2.4)
Это уравнение лежит в основе
)(th
q
+
)1( −
q
*
++
−
)1(
+tx
−
q
)1( −
простейшего адаптивного алгоритма
(см. п. 5.3). Из (2.2.4) получаем параметр
)(
Структурная схема для блока
идентификации представлена в нижней части устройства управления на
рис. 2.2.1.
Для расчета управления
находим по уравнению модели (2.2.3)
прогноз выхода объекта на момент
времени
y α+
и из локального квадратичного крите-
рия оптимальности
рассчитываем оптимальное управление:
⎧
если
⎪
tu
=
)(
⎨
⎪
⎩
если
если
Преобразователь (2.2.8) представляет собой обыкновенный ограни-
читель по амплитуде для сигнала
лютный минимум функции
)(
udI
u()
)(tv . Значение )(tv обеспечивает абсо-
(без учета ограничения на u):
du
*
txttyuI
22
2*
=+−α+= (2.2.7)
tutvtu
),()(),(
11
≤
tvtutu
*
)()()1()(
ttxtxtv α−−+= .
min)]1())(|1([)(
)()()(
tututu
≤≤
21
≤≤
tutvtutv
),()()(),(
(2.2.8)
21
).()(),(
0))1())(|)1((2
=+−α+= txtty
,
**
)1()()()(),1())(|1(
+=α+++=α+ txttvtxtxtty
, (2.2.9)
28
2.2. Примеры синтеза устройств управления для простейших линейных систем
I
t
v
I
t
x
t
t
t
I
t
t
x
t
xtx
tutht
=++
t
=−+
ε++
ε
+
+
ε
tvt
На рис. 2.2.2 показано, что оптимальное решение экстремальной задачи (2.2.7) имеет вид (2.2.8), т. е. имеют место три возможных положения
квадратичной функции качества
u(). Если абсолютное значение мини-
)(
мума
тимой области
риваются аналогично данной.
управления (2.2.8), (2.2.9) приведена в
верхней части устройства управления на
рис. 2.2.1. Блок адаптивного управления
состоит из двух частей: регулятора
(2.2.8), (2.2.9) и идентификатора (2.2.5).
Причем в момент времени
чения нового измерения выхода объекта
лежит слева от u1, то функция качества
[, ]uu
12
Блок-схема полученного алгоритма
минимум в точке u1. Остальные ситуации рассмат-
после полу-
() вначале срабатывает идентифика-
)(
тор (он вычисляет
тор с учетом нового значения неизвест-
ного параметра
Проведём анализ полученных результатов.
Вычислим ошибку работы системы для следующего момента време-
+ 1 (ибо она зависит от найденного управления u
ни
α ), а затем регуля-
)(
α .
u()
достигает в допус-
u()
u
u
v
2
u
1
vv
Рис. 2.2.2
()):
*
0
Подставляем сюда
*
а
xt
()+1 – из уравнения (2.2.9) для управления
ограничений)
и получаем, что
0
Ошибка работы системы состоит из двух частей: из ошибки
идентификации внешнего возмущения
ной ограниченностью управления. Если ресурса по управлению хватает,
u
т. е.
нельзя в силу неизвестности
информация об
() ()= , то 0)1(
2
h .
()+1 из уравнения движения объекта
( ) () () ()+
1 ,
*
α−=+ε )]()([)]()([)1(
tvtuttht )1()1(
h и ошибки )1(
=+ε t . Ошибку идентификации точно рассчитать
h , но ее можно оценить, если есть некоторая
)1()1()1(
+−+=+ε txtxt . (2.2.10)
v
()
(без учета
)()()()1(
ttvtxtx α++=+ ,
+
tt . (2.2.11)
21
ε t
1
t , обусловлен-
2
)1(
29
2. Адаптивное управление динамическими сосредоточенными стохастическими объектами
t
−−−
−
tutxtxt
x
t
xtx
tutht
−+−+−
−=α
tht
t
t
−
t
x
t
−−=α−
=
+
=
=
−+=
+
≤−+≤α
−=+
≤+ε
≤
tht
−
Δ≤Δ
Найдём ошибку идентификации.
)(
В уравнение для
α
=α
подставляем
и получаем, что
Параметр модели
действующее на объект в предыдущий момент времени, так как информа-
h
ция об
ния возмущения в соседние моменты времени, т. е. скорости изменения
внешнего воздействия:
Здесь
ся постоянным:
()−1 содержится в измеренном значении
Ошибка идентификации с учетом (2.2.12) равна величине прираще-
ht() – неизвестное значение возмущения.
Если в течение некоторого интервала времени возмущение остает-
() из уравнения движения объекта
()()()()=
α точно отслеживает возмущение h
+ε ththttht
1
111
)1()(
. (2.2.12)
)(
)1()1()()(
()
() выхода объекта.
)1()()()()1(
. (2.2.13)
1 ,
= ,
t
1+
то в момент времени
ошибка идентификации равна нулю для моментов
идентификатор вычисляет эту константу, и
1
...,,1,,)( ttttcth
211
...,,1 ttt +
. При
21
tt=+21 возмущение меняет свое значение, и ошибка идентификации
равна величине
ε )1()2(
Если известно, что возмущение
|()|ht h≤
т. е.
тервал ее изменения:
, то для ошибки идентификации получаем следующий ин-
1
ε ,
− .
Если известен интервал изменения для приращения возмущения
Δht()= h
ходится внутри того же интервала:
() ( )−
1 , т. е.
th , то ошибка идентификации на-
221
ht() лежит в заданном интервале,
|)(|
1
ctht
.
2|)1(||)(||)()(||)1(| hththttht
11
2)1(2 hth
111
30