Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Адаптивные системы управления с идентификацией. Монография.pdf
t
t
ttt
=
α
−α−
=
ttxtt
t
=γ−
x
=
t
t
t
λ
λ
получаем, что
5.1. Алгоритмы квадратичных критериев
t
−−
22
σ=ασ
где
)(
α – оценка математического ожидания выхода объекта. Простейшая
∑
=
i
ixtt
)()(,
1
t
)(,
t
1
=α
t
∑
i
ix
)(
=
1
t
)(
α
−−
)(
t
2
σ
122
=σ=σ
,
t
рекуррентная формула её расчёта имеет вид
t
1
t (5.1.29)
−
)( =−α−+−α=+−α
=α tttx
1
)1(
ttx
1
)1()(
0)0(
.
...,,2,1)],1()([
В то же время из (5.1.6) получаем:
K
α
Начальные значения: )1()1(
γ+−α
=
α ,
,
)]1()()[()1()(
tKtK
)1()(
−αα
tt
K .
)(
=γ
t
αα
2
....,3,2,))(1(
22
σ=σ≡
)1()1(
Убедитесь в эквивалентности этих формул расчёта
)1(
−α
t
+σ
K
α . В отличие
, (5.1.30)
)1(
−α
t
)(
от (5.1.29) в формуле (5.1.30) на каждом шаге рассчитываем и дисперсию
параметра
)(
α :
K
2
σ≡ .
αα
)()( tt
Пример 5.1.3. Исходные условия те же, что и в предыдущем приме-
ре. Получим формулы рекуррентного пересчета параметра
α при забыва-
нии информации. Возьмём взвешенный квадратичный критерий
t
∑
i
=
it
−−
1
22
tix . (5.1.31)
λ
)(
α
t
λ
≤λ<=α−λσ
10,min)]()([
Изменение весовых коэффициентов в квадратичном показателе при-
водит к уклонению от классического критерия наименьших квадратов.
Вес последнего (
дыдущего измерения он равен
Из необходимого условия экстремума следует параметр
-го) измерения самый большой (равен 1). Для пре-
, для следующего –
⎛
⎜
⎝
t
2
i
=
λ
⎞
it
−−
λσ
⎟
λ
⎠
1
t
it
−
λ
∑
i
=
1
)(
t ≡
=α
t
∑
i
=
ix
it
−
λ
1
t
2
λσ=α
∑∑
i
=
1
)(
A
t
B
t
2
и т. д.
)(t
α
it
−−
ixt
)()( , . (5.1.32)
:
λ
121
txx
α
α
t
==+λ=
−
α
==+
t
t
λ
t
t
ttt
−α−=+
−αλ=
t
t
==α
=+λ
t
t
t
Дисперсия этой линейной (относительно некоррелированных изме-
рений ()(...,),1(
5. Алгоритмы адаптивной перестройки параметров моделей
) оценки имеет вид
t
)}({ σ
λ
⎛
BtD .
t
λ=α
⎜
∑
1
=
i
⎝
⎞
2
)(22
−−
it
⎟
⎠
Заметим, что теперь дисперсия оценки не равна обратной величине
от коэффициента, стоящего перед
Способ 1 рекуррентного пересчета оценки )(t
)(t
в линейном уравнении (5.1.32).
λ
заключается в ре-
λ
куррентной коррекции ее числителя и знаменателя (с последующим их делением для каждого
Способ 2 состоит в рекуррентной перестройке всей оценки )(t
Записываем уравнения для
):
0,0...,,2,1,1),(
+λ=
α и )1(
λ
t
it
−
i
=
−
1
t
i
−−
1
it
=
1
−−
tttt
)(t
λ
λ
t :
λ
t
∑∑
i
=
it
−
λ=αλ
11
−
t
∑∑
=
i
ixt
)()( , (5.1.33)
1
−−
1
it
λ=−αλ
1
)()1(
ixt .
=
BAtBBtxAA
.
0011
α .
λ
Обозначим через
Умножаем второе уравнение в (5.1.33) на
учитываем связь между
α
Отсюда получаем основную рекуррентную формулу пересчета оцен-
ки
)(t
α :
λ
В итоге имеем:
=
B
t
λ=
B и
1
λλ
λλ
t
λ≡
∑
i
=
1
−
B :
it
−
и выпишем рекуррентное соотношение
BtBB
0...,,2,1,1
01
.
, вычитаем из первого и
1−
)()1()1()()1()(
txtBtxtBtB
λλ−λ
−
1
−
1
.
λ−
−α−+−α=α
ttxBtt
λ
−α−+−α=α
ttxBtt
λ
+
)]1()([)1()(
.
)]1()([)1()(
, (5.1.34)
BtBB
0,0)0(,,2,1,1
01
.
Способ 3 близок к способу 2, но в нем рекуррентно перестраивается
[см. (5.1.10)] коэффициент
122
, определяющий обратную связь:
)(
Γ
5.1. Алгоритмы квадратичных критериев
−α−γ+−
−
Γ
txx
ttt
α=α
t
α
txx
⎠
⎝
t
α
α=α
t
2
∑
i
1
=
. Тогда дисперсия линейной относительно не-
Так как
λ
⎛
)(
t
⎜
⎝
t
it
∑
i
=
−−
λσΓ=α
1
ixtt
)()()(
2
коррелированных, равноточных
)]1()([)()1()(
ttxttt ,
λλλ
−
1
−
⎞
it
−−
λσ=Γ
, то из (5.1.32) следует, что
⎟
⎠
измерений (
t
=γ
t , (5.1.35)
)(
1
=λ−Γγ−=Γ
tttt
2
)1(
t
)1(
−Γ+λσ
....,3,2,)1())(1()(
) равна величине
)(...,),1(
ttD
λ
)(})({ . (5.1.36)
Пример 5.1.4. Считаем, что измерения выхода некоррелированные,
неравноточные
екта и равен неизвестному параметру:
, а выход модели также не зависит от входа и выхода объ-
y
Из критерия наименьших квадратов (5.1.2)
t
2
∑
i
=
−
1
tixi
получаем уравнение для искомого параметра
t
2
−
i
1
=
t
2
−
σ=ασ .
∑∑
i
1
=
Отсюда
t
−
2
σ
∑
=
1
i
=α
t
)(
t
∑
=
j
−
2
σ
j
)(
1
∑
i
ixi
t
=
1
2
)()(
it
−−
)(222
λσΓ=α
)())(|(
.
min)]()()[(
=α−σ
(5.1.37)
)(
t
α
)(
:
)()()()(
ixiti
. (5.1.38)
Дисперсия этого коэффициента,
рованных, неравноточных
tD
)}({
Рекуррентный пересчет оценок
двумя способами.
линейно зависящего от некоррели-
измерений ( )(...,),1(
t
−
4
∑
=
i
1
=α
t
⎛
σ
⎜
∑
j
=
1
2
σσ
−
2
j
)(
), равна величине
ii
)()(
1
=
2
⎞
⎟
t
−
σ
∑
j
=
1
)(
можно осуществлять также
. (5.1.39)
2
j
)(
123
−
t
−α−γ+−α
ttxtt
t
=γ−
x
α
⎠
⎝
Способ 1. В (5.1.38) рекуррентно корректируется числитель и знаме-
натель:
5. Алгоритмы адаптивной перестройки параметров моделей
2
)(
txA
tt
−
2
σ+
tt
. (5.1.40)
B
σ+
1
−
−
1
A
B
t
==α
t
)(
t
0,0,,2,1,
===
BAt
00
Способ 2. Рекуррентно пересчитывается вся оценка )(
(5.1.3):
=α
t
=
=α ,
)1()1(
K
)(
=γ
2
)1(
−α
t
)(
+σ
Kt
)1()(
−αα
tt
−α
t
tKtK
2
,
)1(
)1()}1({
≡σ=α KD .
Пример 5.1.5. При исходных условиях предыдущего примера полу-
чим формулы рекуррентного пересчета параметра
)(t
информации. Параметр
α удовлетворяет взвешенному критерию наи-
λ
меньших квадратов (5.1.9):
t
∑
1
=
i
−−
it
22
tixi , (5.1.42)
λ
)(
α
t
λ
α по формуле
)]1()()[()1()(
, (5.1.41)
…,3,2,))(1(
,
)1(
α
)(t
при забывании
λ
10,min)]()([)(
≤λ<=α−λσ
т. е. линейному алгебраическому уравнению
t
2
=
1
i
−−
it
λ
t
∑∑
=
1
i
из которого следует искомый параметр
∑
i
=α
t
)(
λ
Дисперсия этого параметра,
t
2
=
1
t
∑
j
=
1
линейно зависящего от измерений вы-
−−
λσ
2
j
)(
хода объекта, равна величине
t
∑
=
1
i
=α
)}({
tD
λ
n
⎛
⎜
∑
=
1
j
i
2
2
it
ixi
−−
it
λσ=αλσ
ixiti
)()()()( , (5.1.43)
)()(
. (5.1.44)
jt
−−
λσ
−−
)(22
it
λσ
)(
. (5.1.45)
2
⎞
−−
jt
λσ
)(
j
⎟
124
−α−γ+
−α=α
−
Γ
=
ttt
α
t
txx
t
x
ttx
/
Параметр
α
5.2. Подстройка робастных параметров
)(t
рекуррентно пересчитывается по формуле (5.1.10):
λ
)]1()()[()1()(
ttxttt , (5.1.46)
λλλ
)1(
)(
=γ
t ,
2
t
)1()(
−Γ+λσ
tt
21
,
)1()1(),1()1(,,3,2,)1())(1()(
σ=Γ=α=λ−Γγ−=Γ
причём
Если
1
−
t
λ
λ (нет забывания информации), то
t
∑
i
1
=
∑
=
1
i
1
22
−
tittD
Γ=σΓ=α
−−
)(22
it
λσΓ=α
ittD
)()()}({ и, естественно, совпадает с (5.1.45).
)()()()}({
.
xtttt …
5.2. Подстройка робастных параметров
Параметры модели, полученные на основе критерия наименьших
квадратов, сильно реагируют на выбросы помех [5.2]. Аномальные отклонения в измерениях очень редки, но амплитуда их велика.
Рассмотрим простейший пример. Выход модели объекта равен одному параметру: )())(|(
(5.1.5)
y
=α . Из критерия наименьших квадратов
получим, что )(
α есть среднее арифметическое измеренных значений вы-
t
2
−
∑
1
i
=
2
tix
min)]()([
=α−σ
)(
t
α
хода объекта:
t
1
=α
t
)(.
t
∑
i
=
ix
)(
1
Считаем, что измерения выхода )(...,),1(
измерение, например )(
, содержит очень большую помеху. Тогда
основной вклад в выход модели вносит слагаемое
венно искажает модель.
Рассмотрим расчет робастных параметров моделей.
Если взять не квадратичный (5.1.5), а модульный критерий [5.2]
t
min|)()(|
tix
∑
i
=
1
=α−
α
упорядочены, и одно
)(, и выброс сущест-
, (5.2.1)
)(
t
125
5. Алгоритмы адаптивной перестройки параметров моделей
txx
t
x
t
ψ
ψ
ψ
=
μ
ψ
−
Δ
Δ
a
б
в
t
α
то параметром )(tα является оценка медианы: среднее по номеру значение
в
упорядоченной выборке )(...,),1(
. Аномальное измерение )(
теперь
не меняет параметра )(
α . Следовательно, критерий (5.2.1) обеспечивает
получение более робастных (более крепких по отношению к аномальным
измерениям) параметров модели.
Кроме критерия (5.2.1) существуют другие, близкие к нему критерии
[5.2–5.4]:
t
1
где
−
∑
1
=
i
−
)(1ip
– известные весовые коэффициенты.
Примерами функций
||)( ee =
(рис. 5.2.1, а);
μ
ee (рис. 5.2.1, б);
2
⎧
=ψ
)(
e
⎨
⎩
20,||)( <μ<=ψ
Δ≤
ee
ee
,||,
(рис. 5.2.1, в).
Δ>Δ
||,||
)(
t
α
)(eψ являются:
))(|()()(,min))(()(
tiyixieieip
α−==ψ
, (5.2.2)
)(e
)(e
)(
e
8.0
0
а б в
e
0
Рис. 5.2.1
e
0
e
Для расчета параметров )(
применим метод последовательной линеаризации. Вначале находим квадратичную аппроксимацию функционала
[см. (5.2.2)] относительно траектории (
t
1
−
t
∑∑∑
=
1
i
Здесь
l – номер итерации; ))(|()()( tiyixie
==
11
i
tiie ,1),( = ), на которой он построен:
t
≡ψ≈ψ
ll
α−= – невязка, )(ik
lll
i
21221
−−−
ieikieieieipieip
)())(()(]|)(|))(()([))(()( . (5.2.3)
l
– коэф-
фициенты, которые для приведенных на рис. 5.2.1 вариантов равны:
а)
б)
в)
= ,
l
⎧
)(
ik
=
⎨
⎩
ll
|)(|)()( ieipik
ll
μ−=2
|)(|)()( ieipik
,
l
ieip
−
1
ll
,|)(|),(
Δ≤
(5.2.4)
ieieip
.|)(|,|)(|)(
Δ>Δ
126
5.2. Подстройка робастных параметров
≤δ≤
(
(
(
k
k
−α−γ+−α
t
tytxttt
Здесь Δ – порог, равный среднему квадратичному значению σ помехи,
умноженному на коэффициент 8,11
, который зависит от процентного
содержания выбросов в помехе.
Теперь подставим в правую часть уравнения (5.2.3) (в квадратичный
функционал) линейную аппроксимацию выхода модели
T
ll +
α
)
1
l
αΔα∇+α≈α
(5.2.5)
)())(|())(|())(|(
ttiytiytiy
и решим обычную задачу наименьших квадратов
t
∑
i
=
1
относительно приращения параметров )(
1
l
−
()
1tl +
αΔ :
n
⎡
∑
⎢
=
1
⎣
i
n
l
11
−+
ll
−
1
∑
1
=
i
T
ll
)
()
l
ll
α∇α∇=αΔ
α−α∇⋅
2
1
+
ttiytiyixik
))(|())(|())(()(
tiytiyikt
ll
))(|()())(|())((
tiyixtiyik
min)())(|())(|()())((
=αΔα∇−α−
αΔ
−
1
T
⎤
⋅
⎥
⎦
)
. (5.2.7)
l
+
(5.2.6)
1
)(
t
Следующее приближение параметров вычислим по формуле
11
++
llll
=αΔγ+α=α
lttt
. (5.2.8)
...,2,1,0),()()(
В отличие от обычного квадратичного критерия при использовании
неквадратичных критериев (построенных также на невязках выходов объекта и модели) в алгоритме метода последовательной линеаризации меняются лишь весовые коэффициенты в каждом слагаемом. Для измерений с
выбросами автоматически понижаются весовые коэффициенты. За счет
этого повышается робастность оценок.
Результаты по адаптивной перестройке
параметров линейных
(5.1.10) и нелинейных (5.1.13) моделей на базе квадратичного критерия
(5.1.9) распространены на критерии (5.2.2), обеспечивающие получение
робастных (к выбросам помех измерений) параметров моделей. При этом
на каждой итерации минимизируются квадратичные аппроксимации функ-
)(i
ционалов с дополнительными весовыми коэффициентами
.
В рассморенных алгоритмах минимизации квадратичных функционалов меняются лишь весовые коэффициенты для соответствующих номеров отклонений выходов объекта и модели. Эти же весовые коэффициенты
переходят и в алгоритмы адаптивной перестройки параметров:
)(i
=α
)]1(|()()[()1()(
, (5.2.9)
127
5. Алгоритмы адаптивной перестройки параметров моделей
−α∇−Γ
ψ
−αϕ−ψ′γ
+
−αϕ∇−
ψ
ψ
t
t
))1(|()1(
=γ
)(
t
()
α
T
ttyt
,
))1(|()1())1(|()(
−α∇−Γ−α∇+λ
αα
ttytttytk
()
α
Для критериев (5.2.2) и функций
коэффициенты
k имеют вид (5.2.4).
t
Существуют другие алгоритмы робастной идентификации [5.2, 5.3]:
−α=α ttftxttt , (5.2.10)
Γ
=γ
)(
t
()
α
Для функций
имеет вид
′
а) zz sgn)( =ψ
Здесь zsgn – знаковая функция.
, представленных на рис. 5.2.1, их производная
)(z
′
, б) zzz sgn||)(
=ψ
T
−
1
, представленных на рис. 5.2.1,
α
()
T
1−μ
T
, в)
ttft
αα
−
1
′
=ψ
)(
z (5.2.11)
ttttttytEt
00
.
...,2,1,)1(]))1(|()([)(
++=λ−Γ−α∇γ−=Γ
))1(),(()(()()1()(
))1(),(()1(
,
)()1()()(
⋅∇−Γ⋅∇+λ
ftftp
++=λ−Γ⋅∇γ−=Γ
ttttftEt
00
⎧
⎨
⎩
....,2,1,)1(])()([)(
Δ≤
,||,
zz
Δ>Δ
zz
.||,sgn
Алгоритм (5.1.14) Б. Т. Поляка [5.1] применительно к расчету робастных оценок параметров приобретает вид
−
1
α
1
−
tttttt 0,)(
−αϕ∇γ+−α=α
=−α−α+−α=α
′
2/1
,...,2,1)),1()(()1()(
−
tt . (5.2.12)
>γγ=γ
)))1(),(()(())1(),(()()()1()(
−αϕ−ψ
ttftxttftpttt ,
При оценивании нестационарных параметров, удовлетворяющих
уравнению (5.1.15), в первом уравнении формул (5.2.12) необходимо
)1( −α
заменить на ))1(( −α
F (см. (5.1.18), когда использовался квадра-
тичный критерий оптимальности):
−
1
α
1
−
=−α−α+−α=α
tttttt 0,)(
−αϕ∇γ+−α=α
′
2/1
,...,2,1)),1()(()1()(
−
tt . (5.2.13)
ttftxttftpttFt
>γγ=γ
,
)))1(),(()(())1(),(()()())1(()(
−αϕ−ψ
Приведём еще один алгоритм [5.5], близкий к алгоритму (5.2.12):
⎛
⎜
′
)()1()(
ttt
ψ
γ+−α=α
⎜
⎝
()
T
))1(),(()(
ttftx
−αϕ−
α−α
1
t
⎞
⎟
, (5.2.14)
⎟
)()()(
fftp
⋅∇Γ⋅∇+λ
⎠
128
5.3. Простейшие адаптивные алгоритмы
−αϕ∇−
⋅ψ′
t
−
t
t
α
Δ
=γ
)(
t
()
Γ
()
α
T
α
T
−
1
))1(),(()1(
ttft
,
)()1()()(
⋅∇−Γ⋅∇+λ
ftftp
αα
++=λ−Γ⋅∇γ−=Γ
ttttftEt
00
....,2,1,)1(])()([)(
В отличие от (5.2.12) в первом уравнении аргумент функции
делится на
()
T
αα
)]()1()()([ ⋅∇−Γ⋅∇+λ
ftftp
.
)(
5.3. Простейшие адаптивные алгоритмы
Стремление получить простые алгоритмы перестройки параметров
объектов никогда не оставляло как исследователей, так и инженеровпрактиков. Примером этого служат алгоритмы (5.1.14), (5.2.12), и это, несмотря на то, что освоен широкий арсенал алгоритмов для квадратичных
критериев.
Здесь рассмотривается алгоритм, который относится к одним из первых алгоритмов [5.6], применяемых в реальных системах адаптивного
управления. В силу предельной простоты алгоритма и неплохих свойств
его применяют и в настоящее время либо в первозданном виде, либо с небольшими модификациями. Последовательно остановимся на подстройке
параметров линейных и нелинейных моделей.
Линейная параметризация модели: )()())(|( tttty
T
αϕ=α . В каж-
дый момент времени, например
и 1
, параметры модели находим из
условия равенства выходов модели и объекта:
TT
)1()1()1(),()()( −α−ϕ=−αϕ= tttxtttx
. (5.3.1)
Каждому уравнению в пространстве параметров соответствует своя
линия (рис. 5.3.1) либо гиперплоскость, т. е. каждому уравнению соответствует бесчисленное множество решений (за исключением скалярного
случая). Чтобы получить единственное решение, надо наложить дополнительное условие.
Первое уравнение в (5.3.1) запишем через приращение параметров
на соседних итерациях:
TT
TT
)()()1()( tttt
αΔϕ+−αϕ≡
Теперь из уравнения (5.3.2) будем отыскивать
. (5.3.2)
≡−α−αϕ+−αϕ= )]1()()[()1()()( ttttttx
)(
, наложив на не-
го ограничение
2
=αΔ t . (5.3.3)
min||)(||
129
t
α
t
t
α
t
ξ
ξ
t
ααα
Оно соответствует минимуму энергетических затрат на изменение
параметров.
На рис. 5.3.1 показано, что точка
5. Алгоритмы адаптивной перестройки параметров моделей
)(
выбирается из условия мини-
мума расстояния от
расчета
)(
α :
)1( −α
до
. Из (5.3.2), (5.3.3) следует алгоритм
)(
T
+−α=α )(
)1()( t
tt
T
−αϕ−
))1()()((
tttx
ϕϕ
)()(
tt
=ϕ
+
TT
tttttxt
…,2,1,))()](1()()([)1( =ϕ−αϕ−+−α=
. (5.3.4)
Здесь знак «+» означает псевдообращение (обобщенное обращение)
матрицы [5.7]. Последовательное движение на рис. 5.3.1 к точке пересечения прямых (5.3.1) показано линиями. Если помеха
T
attx
)()( ϕ= , и точкой пересечения прямых являются истинные парамет-
a объекта.
ры
α
2
α
n
n
n − 1
1−αn
стейшего адаптивного алгоритма (5.3.4) подстройки параметров. Сходимость доказывается
и алгебраически. Из рис. 5.3.1 также видно, как
Рис. 5.3.1 иллюстрирует сходимость про-
отсутствует, то
можно многократно последовательно использо-
a
Рис. 5.3.1
α
вать два измерения входа и выхода объекта.
1
Если есть помеха, т. е. )()()( tattx
то из (5.3.4) получим, что
T
ξ+ϕ= ,
t
)( t
at
t
+>−−α
∞→
)(
)(
ϕ
T
tt
)()(
ϕϕ
. (5.3.5)
Дополнительная помеха в оценках параметров асимптотически не
убывает, и для ее нейтрализации необходимо применить дополнительно
сглаживание получаемых оценок
… , как это делалось,
)(,),2(),1(
например, в алгоритме (5.1.14):
1
−
=−α−α+−α=α
tttttt
....,2,1)],1()([)1()(
(5.3.6)
Усреднение можно провести с учетом экспоненциального забывания
информации:
130
t
i
=
t
it
1
−−
∑∑
i
it
−
11
=
1
−
)]1()()[()1()()()(
−α−αδ+−α=αλλ=α
ttttit
, (5.3.7)