Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электротехника и электроника. Интернет-тестирование базовых знаний. Часть 3. Теория и методы анализа линейных цепей синусоидального тока. Учебное посо
.pdf
Поскольку
Z
Z
Z
Z
x
Z
I
где
UIr
22
rx
C
r
UIrIx IrxIZ
– полное сопротивление цепи, Ом.
UIx
,
CC
2222
() ( )
, получим
,
CC
Из последнего выражения следует закон Ома:
UU
I
22
rx
C
i
U
r
r
U
U
C
C
U
r
U
U
.
r
C
C
а б в
Рис. 8
Разделив стороны треугольника напряжений (см. рис. 8, б) на ток,
получим треугольник сопротивлений (рис. 8, в), из которого следует:
22
rx
, cosrZ, sin
C
xZ .
C
Угол сдвига по фазе между током и напряжением
Ux
arctg arctg
.
CC
Ur
r
Полная проводимость цепи
1
Ygb
22
21
,
C
r
Z
xbZ
L
x
L
L
x
Z
L
x
I
LUL
x
I
L
g
где
– активная проводимость;
2
C
– реактивная проводи-
C
2
мость ветви с емкостью.
4.3. Закон Ома для участка цепи с последовательным соединением
r , L и C элементов
Уравнение напряжений, составленное на основе обхода контура
цепи (рис. 9,
а), согласно второму закону Кирхгофа в векторной форме
UU U U.
rLC
r
U
r
U
U
U
L
C
C
x
C
U
C
U
x
C
xx
C
U
r
r
а б в
Рис. 9
Из векторной диаграммы для случая
22
UU UU .
С учетом того что
UIr
r
UIr x x IZ,
22
Zr xx – полное сопротивление цепи, Ом.
где
()
LC
()
rLC
,
UIx
22
L
()
LC
x (рис. 9, б) следует:
C
,
UIx
CC
, получим
С учетом последнего закон Ома для участка цепи с последовательным соединением
r , L и
элементов
C
22
I
Z
Z
L
x
L
L
xx
L
g
L
I
ILI
I
L
x
I
L
IrI
I
22
rxx
UU
()
LC
.
Из треугольника сопротивлений (рис. 9,
22
rx, cosrZ , sinxZ,
где
xx – реактивное сопротивление цепи.
C
Угол сдвига фаз между током и напряжением:
UU xx
arctg arctg
4.4. Параллельное соединение
CLC
Ur
r
r , L и C элементов (рис. 10, а)
C
C
L
r
U
а б в
r
x
C
C
U
в) следует:
.
Y
bb b
C
Рис. 10
Уравнение для токов, составленное на основании первого закона
Кирхгофа в векторной форме:
II I I
.
rLC
На векторной диаграмме для случая
совпадает с вектором напряжения
U , а вектор
23
(рис. 10, б) вектор
C
I отстает от вектора
I
r
напряжения U на угол
L
L
x
x
L
L
напряжения на угол
тока
I .
о
90 , при этом вектор
о
90 и находится в противофазе с вектором
Из диаграммы для токов (см. рис. 10, б) следует:
22
II II .
()
rLC
I опережает вектор
C
U
Поскольку
Ygbb – полная проводимость цепи.
где
I
IU Ug b b UY
22
()
,
r
r
2
111
LC
rxx
Разделив стороны треугольника токов (см. рис. 10,
ние
U , получим треугольник проводимостей (см. рис. 10, в).
Из треугольника (см. рис. 10,
Ygb
где
bb b – реактивная проводимость, которая является алгебраи-
C
U
I
,
L
LC
22
, cosgY
U
I
, получим
C
C
2
22
в) следует:
, sinbY ,
()
LC
б) на напряже-
ческой величиной:
Ig
r
II
LC
arctg arctg
bb
C
.
5. Применение символического метода
для расчета цепей синусоидального тока
,
Символический (комплексный) метод дает возможность заменить
геометрические действия над векторами алгебраическими. Сущность
символического метода расчета состоит в том, что для режима синусоидального тока можно перейти от уравнений, составленных для
24
мгновенных значений в дифференциальной форме к алгебраическим
j
j
уравнениям, составленным относительно комплексов тока, ЭДС,
напряжения.
5.1. Комплексные выражения синусоидальной функции времени, ее
производной и интеграла
Каждому мгновенному значению синусоидальной функции времени ставится в соответствие комплексная амплитуда.
Например, для мгновенных значений ЭДС, тока, напряжения на резистивном сопротивлении, индуктивности и емкости соответствующие
комплексные амплитуды:
rm
Lm
Cm
e
i
;
m
eE t E Ee
uirrI t U rI
rm i
uL LI t U jLI
Lmi
11 1
uidt I t UjI
Cmi
CC C
sin ( )
;
me m
sin ( )
iI t I Ie
;
mim
m
m
sin ( )
di
cos ( )
dt
cos ( )
5.2. Законы Кирхгофа в комплексной форме:
первый закон Кирхгофа в комплексной форме:
n
0
k
I
1
.
k
второй закон Кирхгофа в комплексной форме:
nn
IZ E
kk k
11
kk
,
;
m
.
m
25
n
Z
E
L
L
Z
Z
I
I
I
L
где
плексных сопротивлениях
k
1
IZ
– алгебраическая сумма падений напряжений на ком-
kk
n
отдельных участков;
k
k
1
k
– алгебраи-
ческая сумма комплексных ЭДС источников.
5.3. Закон Ома в комплексной форме
Для участка цепи с последовательным соединением элементов
r ,
L и C (рис. 11, а) согласно второму закону Кирхгофа для комплексов
действующих значений напряжений
UU U U.
rLC
Здесь
Поэтому
где
UrI ,
r
rjx jx – комплексное сопротивление.
U
UjLIjxI ,
L
UrIjxI jxIZI ,
r
U
r
U
U
C
jL
C
LC
1
jC
а б
Рис. 11
UjIjxI
C
0
1
C
j
jC
U
rI
C
jLI
.
Таким образом, закон Ома в комплексной форме для действующих
значений:
U
I
.
1
26
Векторная диаграмма изображающих векторов напряжений на
j
Z
L
Z
Z
L
L
комплексной плоскости приведена на рис. 11,
б.
5.4. Комплексные значения полных сопротивлений и проводимо-
стей цепей
Комплексное полное сопротивление:
j
Ie
1
j
2
()
j
12
eZe
,
где
UUe U
II
U
– модуль полного сопротивления; – угол сдвига фаз между
I
током и напряжением.
Для цепи с активно-индуктивным характером (см. рис. 7,
j
Ze Z jZ r jx
cos sin
Для цепи с активно-емкостным характером (см. рис. 8,
j
Ze Z jZ r jx
cos sin
C
а)
.
а)
.
:
12
:
21
Полная комплексная проводимость для цепи (см. рис. 7,
()
11
Y
Z r jx r jx r jx
LLL
r
22
ZZ
rjx rjx
LL
()()
x
L
jgjb
rx
.
22
Полная комплексная проводимость для цепи (см. рис. 8,
()
11
Y
Z r jx r jx r jx
CCC
r
22
ZZ
rjx rjx
CC
()()
x
C
jgjb
27
C
22
rx
.
а):
а):
C
6. Мощность цепи синусоидального тока
p
pui
L
6.1. Мгновенная мощность
Под мгновенной мощностью
ных значений напряжения
u и тока i , т. е.
понимают произведение мгновен-
.
uU t и sin ( )
При
sin
m
iI t
мгновенная мощность при
m
активно-индуктивном характере цепи
puiUI t t
UI
mm
cos cos(2 ) cos cos (2 )
2
sin sin( )
mm
tUIUIt
.
Мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, частота которой в два раза больше частоты
питающего напряжения и тока.
6.2. Активная мощность
Среднее значение мгновенной мощности за период называется активной мощностью:
T
1
PP ui UI
ср
T
UI
mm
0
cos cos
2
,
измеряется в ваттах (Вт).
Мощность, рассеиваемая в резистивном сопротивлении,
2
PIU rI UI P
rr
cos
.
6.3. Реактивная мощность
Вызвана наличием индуктивности и емкости в цепи:
QUI ,
sin
измеряется в вольт-амперах реактивных (вар).
Для индуктивного элемента реактивная мощность
QUIxI
LL
28
2
.
Для емкостного элемента реактивная мощность
QUIxI
CC C
2
.
6.4. Полная мощность
Под полной мощностью понимают произведение действующих
значений напряжения и тока:
SUI
,
измеряется в вольт-амперах (В
А).
Связь между активной, реактивной и полной мощностью цепи
можно представить в виде прямоугольного треугольника мощностей
(рис. 12).
S
Q
P
Рис. 12
Из треугольника мощностей можно установить следующие связи
между
P , Q и S :
cos cos
PS UI
QS UI
;
;
sin sin
SPQ.
22
6.5. Коэффициент мощности цепи
Коэффициентом мощности называют отношение активной мощности
P к полной мощности S :
PP
cos
.
SUI
Коэффициент мощности показывает, какую часть от полной мощности составляет активная мощность. При cos 1
PS
ляется активной:
.
вся мощность яв-
29
6.6. Комплексная форма записи мощности
j
j
j
L
Произведение действующих значений комплекса напряжения
U и
сопряженного комплекса тока
I называется комплексной мощностью
SUI .
Если принять
плексу тока
где
Re( )PUI ; Jm( )QUI .
UUe
,
IIe
i
, то комплексная мощность
SUIUe Ie UIe
UI e UI jUI P jQ
u
IIe
jj j
j
ui ui
cos sin
– значение, сопряженное ком-
i
()
,
Действительная часть (Re) полученного комплекса выражает активную мощность
P , а мнимая часть (Jm) – реактивную мощность Q .
6.7. Баланс мощностей
Из закона сохранения энергии следует, что для любой цепи синусоидального тока соблюдается закон баланса мощностей, генерируемых источниками и потребляемых в нагрузке, если в отдельности соблюдается равенство генерируемых и потребляемых их активных и
реактивных составляющих мощностей:
где
PjQ
ии
источниками;
PjQ PjQ
иипп
– алгебраические суммы мощностей, генерируемых
PjQ
пп
– алгебраические суммы активных и ре-
,
активных мощностей в пассивных элементах (нагрузке) цепи.
Например, уравнение баланса мощности для цепи, изображенной
на рис. 11,
а, будет иметь вид
UI I r I jx jx
22
()
30
,
C
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]