Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электротехника и электроника. Интернет-тестирование базовых знаний. Часть 3. Теория и методы анализа линейных цепей синусоидального тока. Учебное посо
.pdf
Второе нажатие – к появлению цифры 2 и т.д. Для изменения ответа
I
34
необходимо повторно нажать на квадрат с цифрой 1;
(окно в форме прямоугольника) – используется в тех слу-
чаях, когда задание содержит слова: «введите ответ». Правильный ответ следует ввести с помощью клавиатуры в заданное прямоугольное
окно в виде последовательности набора цифр или букв.
ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ
ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
1. Основные величины, характеризующие
синусоидальные функции времени
1.1. Синусоидальные ЭДС, токи, напряжения представляют собой
электрические величины, изменяющиеся во времени по синусоидальному закону (рис. 1).
,,eiu
E
m
0
i
e
U
m
u
i
2
Рис. 1
e
u
m
t
На рис. 1 обозначено:
eE t, sin( )
sin( )
me
iI t
mi
, sin( )
11
uU t
,
mu
где e, i , u – соответственно мгновенные значения ЭДС, тока и
E
f
E
E
напряжения;
ЭДС, тока и напряжения (максимальное значение функций);
угловая частота (скорость изменения фазы)
,
I , mU – соответственно амплитудные значения
m
m
[рад с];
1
f
– частота
2
–
T
(число периодов в секунду) [Гц]; T – период (время, за которое совершается одно полное колебание) [с]; аргумент синуса ()t
,
,
называется фазой или фазовым углом [рад];
фазы функций (значение фазы в момент времени
0
Значения начальных фаз (рис. 1):
,
e
i
e
0
i
0t
) [рад].
,
u
u
– начальные
0
.
1.2. Среднеквадратичное (действующее) значение синусоидального
тока:
TT
11
I i dt I t dt
222
TT
00
sin
m
I
m
.
2
Аналогично для действующих значений синусоидальной ЭДС и
напряжения:
m
E ;
2
U
m
U .
2
1.3. Среднее значение синусоидального тока (принято принимать
среднее его значение за полупериод):
/2
T
22
IItdtI
ср
T
sin
mm
0
.
Аналогично для средних значений синусоидальной ЭДС и напря-
жения:
2
E
ср
;
m
12
UU
ср
2
.
m
1.4. Коэффициент амплитуды и коэффициент формы:
коэффициент амплитуды – отношение амплитудного (макси-
мального) значения тока (ЭДС, напряжения) к действующему значению:
I
m
kI
а
коэффициент формы – отношение действующего значения тока
2
;
(ЭДС, напряжения) к среднему значению:
I
I
k
ф
II
ср
m
2
1,1 1
2
m
.
2. Изображение синусоидальных функций
времени векторами и комплексными числами
2.1. Представление синусоидальных функций при помощи векторов позволяет наглядно показать для них количественные и фазовые
соотношения и применять при объяснении физических процессов и
выводе основных расчетных соотношений.
В прямоугольной системе координат вектор тока
щий синусоидальную функцию времени
iI t
представить в виде, показанном на рис. 2.
Вращение вектора
I осуществляется с угловой скоростью
m
против часовой стрелки. За время t поворот вектора станет равным
t . Проекция вращающегося вектора на ось ординат для этого
()
момента времени составит sin( )
i
iI t
, которая и определяет
mi
собой мгновенное значение тока – синусоидальную функцию. При
0t проекция вектора
нию тока
(0) sin
iI.
mi
на ось ординат равна мгновенному значе-
I
m
При анализе векторы изображают не вращающимися, а неподвиж-
ными для момента времени 0t
. Неподвижный вектор определяет два
параметра синусоидальной функции: действующее значение или
I , изображаю-
m
sin( )
mi
, можно
13
амплитуду и начальную фазу. Третий параметр – угловая частота –
x
I
ImI
x
должен быть известен.
y
i
j
m
sin
bI
mi
j
i
Ie
m
m
t
(0)i
0
t
i
i
0
i
cos
aI
mi
1
Рис. 2 Рис. 3
Совокупность векторов ЭДС, напряжений и токов, изображенных в
общей системе координат, называют векторной диаграммой. Векторные диаграммы строятся для момента времени
.
0t
2.2. От векторного изображения синусоидальных функций можно
перейти к их выражению комплексными числами. Если считать оси
и
y осями действительных и мнимых величин на комплексной плос-
кости, то вектор
ду
(рис. 3), соответствующую комплексному числу.
I
m
I можно рассматривать как комплексную амплиту-
m
На практике широко применяются комплексные изображения векторов тока (ЭДС, напряжения) в различных формах записи комплексного числа:
алгебраическая:
тригонометрическая: cos sin
показательная:
полярная:
Iajb
m
IIe
m
II
mi
m
;
II jI
m
;
i
m
;
mimi
.
14
cos
j
j
j
Здесь
bI – мнимая часть комплексного числа mI ;
комплексного числа;
aI
mi
sin
mi
– действительная часть комплексного числа
о
je
901j
– мнимая единица или оператор
I
– аргумент
i
;
m
поворота на угол
о
90
против часовой стрелки.
2
Важные правила работы с комплексными числами:
о
je ;
II Ie Ie IIe
12
mm
II Ie Ie I
, где
mm
mm m
901j
;
jj
12
je
;
jj j
12 12
12 12
mm mm
о
90j
2
1je
;
сопряженное
I
m
о
180
2
1j
()
I комплекс-
m
;
ное число;
j
I
II I
II
mm m
11 1
;
m
mm
2
1
e
j
2
e
22
2
IIeIe Ie
m
j
()
12
e
.
mm m
j
IIe Ie
;
m
jj
22
mm
Переход от алгебраической формы к показательной или полярной
форме:
ajbIe
m
, где
Iab;
m
22
arctg
b
.
a
Переход от комплексного амплитудного значения к мгновенному
значению величины:
j
» – знак соответствия.
где «
Ie I t
mm
sin ( )
,
Комплексное действующее значение тока (напряжения, ЭДС) связано с комплексной амплитудой равенством
2
II
/2
m
15
.
3. Элементы электрической цепи
I
в установившемся синусоидальном режиме
3.1. Активное сопротивление в цепи синусоидального тока
Если к активному сопротивлению (рис. 4,
идальное напряжение sin
uU t
, то ток изменяется также по сину-
m
соидальному закону
itIt
rr
m
U
u
m
sin sin
На участке с активным сопротивлением напряжение и ток совпа-
дут по фазе, сдвиг по фазе 0
.
Для амплитудных и действующих значений токов и напряжений
имеем
Ir
m
U
m
,
U
m
I
2
r
а) приложено синусо-
.
U
.
r
Векторная диаграмма напряжения и тока представлена на рис. 4,
i
u
r
а б
Рис. 4
U
0
3.2. Индуктивность в цепи синусоидального тока
При протекании через индуктивность (рис. 5,
sin
iI t
тока
m
напряжение на индуктивности изменяется также по
а) синусоидального
синусоидальному закону:
di
uL LI t LI t U t
dt
cos sin sin
mm m
22
16
б.
.
Напряжение опережает по фазе ток на угол
L
x
L
L
x
I
. Угол сдвига фаз
2
о
90
+
между напряжением и током
ui
.
Амплитудные и действующие значения напряжения и тока связаны
соотношениями
U
ULIxI
, откуда
mmLm
ULIxI
, откуда
I
I
,
m
U
m
.
Векторная диаграмма напряжения и тока представлена на рис. 5, б.
i
U
u
L
2
а б
Рис. 5
3.3. Емкость в цепи синусоидального тока
Если к емкости (рис. 6, а) приложено синусоидальное напряжение
uU t, то ток изменяется также по синусоидальному закону
sin
m
du
iC CU t t I t
dt C
cos sin sin
mm
Ток опережает по фазе напряжение на угол
U
1/ 2 2
m
. Угол сдвига фаз
.
2
о
между напряжением и током
ui
17
90
.
112
I
Величина
CfCx
определяет емкостное сопротивле-
C
ние, Ом.
Амплитудные и действующие значения тока и напряжения связаны
соотношениями
UU
mm
I
m
Cx
1
UU
I
, откуда
Cx
1
, откуда
C
C
UxI;
mCm
UxI
.
C
Векторная диаграмма напряжения и тока представлена на рис. 6, б.
i
u
C
2
а б
Рис. 6
U
3.4. Разность фаз напряжения и тока
Угол сдвига
между векторами тока I и напряжением U
(рис. 5, б и 6, б) определяет разность начальных фаз (угол сдвига)
напряжения
На векторной диаграмме угол
вектора тока
и тока
u
(а не наоборот):
i
.
ui
отсчитывается в направлении от
I к вектору напряжения U .
Если 0 (см. рис. 4, б), то напряжение и ток совпадают по фазе.
Если 0 (см. рис. 5, б), то ток отстает от напряжения по фазе на
угол
, а при 0 (см. рис. 6, б) ток опережает напряжение по фазе
на угол
.
18
4. Пассивный двухполюсник в цепи
L
L
Z
L
x
Z
I
L
L
синусоидального тока
Двухполюсником называется электрическая цепь (схема), имеющая
два внешних зажима. Схема электрической цепи переменного тока характеризуется одним из параметров r , L и C или комбинацией их
при различных способах соединения элементов.
4.1. Цепь, содержащая резистивный и индуктивный элементы при
последовательном соединении (рис. 7, а)
i
U
U
U
r
r
L
U
U
U
r
а б в
Рис. 7
r
Уравнение напряжений, составленное на основании второго закона
Кирхгофа в векторной форме
UU U.
rL
На векторной диаграмме (рис. 7, б) вектор
ром тока
I , а вектор LU опережает вектор тока I на угол о90 .
U совпадает с векто-
r
Из диаграммы напряжений следует:
22
rL
, получим
L
LL
Поскольку
где
UUU.
UIr
r
UIrIx IrxIZ,
22
rx – полное сопротивление цепи, Ом.
UIx
,
2222
() ( )
19
Из последнего выражения следует закон Ома:
Z
L
Z
L
L
L
Z
L
xbZ
UU
I
22
rx
L
.
Разделив стороны треугольника напряжений (см. рис. 7, б) на ток
I ,
получим треугольник сопротивлений (рис. 7, в). Из треугольника сопротивлений следует:
22
rx, cosrZ, sin
xZ .
Угол сдвига по фазе между током и напряжением
.
Ur
r
Ux
arctg arctg
L
Величина, обратная полному сопротивлению, определяет полную
проводимость цепи:
1
Ygb
22
,
Z
r
g
– активная проводимость;
где
2
– реактивная проводи-
2
мость ветви с индуктивностью.
4.2. Цепь, содержащая резистивный и емкостный элементы при по-
следовательном соединении (рис. 8, а)
Уравнение напряжений, составленное на основании второго закона
Кирхгофа в векторной форме:
UU U.
rC
На векторной диаграмме (рис. 8, б) вектор
тока
I , а вектор CU отстает от вектора тока I на угол
U совпадает с вектором
r
о
90
.
Из диаграммы напряжений следует:
UUU
22
rC
20
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]