Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономико-математические методы и модели. Курс лекций
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
ВОДНОГО ТРАНСПОРТА
ЛОГИНОВ В.А.
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ И МОДЕЛИ
Курс лекций
Альтаир–МГАВТ
Москва
2014
УДК 330.1:51
Л-69
Логинов В.А.
Экономико-математические методы и модели. Курс лекций.— М.
Альтаир, 2014.— 66 с.
Лекции подготовлены профессором кафедры высшей математики Московской государственной академии водного транспорта, кандидатом технических наук В.А. Логиновым. Предназначены для студентов факультета экономики и управления МГАВТ, обучающихся по направлению подготовки 080400.62
— Управление персоналом.
Рецензенты: профессор кафедры ВМ, к.т.н. Буреев В.А. , к.т.н. Дзер-
Буреев В.А.
жинский Р.И.
Рекомендовано к изданию Учебно-методическим советом МГАВТ.
Рассмотрен и рекомендован к использованию в учебном процессе на за-
седании кафедры Высшей математики (протокол № 4 от 5 декабря 2013г).
Ответственность за оформление и содержание передаваемых в печать
материалов несут автор и кафедра высшей математики МГАВТ.
© МГАВТ, 2014.
© Логинов В.А., 2014.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Системы линейных уравнений. Основные сведения . . . . . . . 6
1.2. Линейные неравенства и область решений системы
линейных неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3. Основная задача линейного программирования.
Графический метод решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4. Понятие о симплекс-методе . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Транспортная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5.1. Формулировка транспортной задачи . . . . . . . . . . . . 29
1.5.2. Первоначальное распределение поставок.
Метод учета наименьших затрат . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5.3. Оптимальный план транспортной задачи.
Метод потенциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ . . . . . . . . . 39
2.1. Производственная функция. Предельный продукт.
Коэффициент эластичности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2. Математическая модель рынка.
Функция спроса и предложения . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3. Математическая модель поведения потребителя.
Функция полезности. Оптимальное потребление,
предельная полезность благ. Кривая безразличия . . . . . . . . 45
2.4. Модель межотраслевого баланса.
Матрица коэффициентов прямых затрат . . . . . . . . . . . . . 50
III. ЭЛЕМЕНТЫ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ . . . . . . . . . . . 55
IV. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2. Игры с природой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3
ВВЕДЕНИЕ
Экономико-математическое моделирование является современной, энергично развивающейся научной дисциплиной, изучающей механизмы экономических объектов. Экономическими объектами принято называть акционерные
общества, фирмы, компании, предприятия, организации, банки, холдинги, финансово-промышленные группы и т.д. Основная цель использования экономико-математического моделирования заключается в нахождении наилучших вариантов экономического развития на перспективу, распределения ресурсов при
программно-целевом планировании, решения оптимизационных задач и определения способов достижения поставленных целей.
Экономико-математические модели дают возможности выявить особен-
ности функционирования экономического объекта и на основании этого построить прогноз его дальнейшего поведения.
Можно выделить следующие этапы построения и использования эконо-
мико-математических моделей:
нахождение подходящей экономической модели;
формулировка цели исследования (чего следует добиться, решая зада-
чу);
описание взаимосвязей между элементами экономической модели (за-
ранее известными факторами, на которые нельзя оказывать воздействие, и
управляющими переменными, изменение которых позволяет реализовать заданную цель);
нахождение ограничений на управляющие переменные;
построение адекватной математической модели;
формирование целевой функции через управляющие переменные;
проверка построенной экономико-математической модели;
внесение поправок в построенную модель по результатам проверки;
проведение расчетов по математической модели и анализ полученных
решений;
оценка достоверности результатов;
прогнозирование результатов и оценка возможных рисков.
Использование математических методов в экономике позволяет: точно
излагать положения экономической теории, формулировать её понятия и выводы; выделять и формально описывать существенные связи экономических переменных и объектов; получать новые знания об объекте; оценивать форму и
параметры зависимости его переменных, в наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдениям.
Моделью принято называть условный образ объекта, построенный для
упрощения его исследования. Предполагается, что изучение модели даёт новые
знания об объекте, либо позволяет найти наилучшие решения в той или иной
ситуации. Математической моделью принято называть систему математических соотношений, описывающих изучаемый процесс или систему.
4
В предлагаемых вашему вниманию лекциях нам предстоит ознакомиться с
двумя задачами, получившими наибольшее применение в области экономики:
задачей линейного программирования и транспортной задачей. Кроме того, мы
вкратце рассмотрим математические модели производства, рынка, потребителя, а также модель межотраслевого баланса. В лекциях также уделено внимание элементам сетевого планирования и теории игр.
5
I. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
n21
x,...,x,x
.bxa...xaxa
..............................................
,bxa...xaxa
,bxa...xaxa
mnmn22m11m
2nn2222121
1nn1212111
n,...,1k,m,...,1ia
ik
bAx
mn2m1m
n22221
n11211
a...aa
............
a...aa
a...aa
A
nm
m
2
1
x
...
x
x
x
m
2
1
b
...
b
b
b
1m
1.1. Системы линейных уравнений. Основные сведения
Прежде, чем начать обсуждение задач линейного программирования и
транспортной задачи, приведем основные сведения из теории решения систем
линейных уравнения.
Система m линейных уравнений с n неизвестными
имеет вид:
(1.1.1)
Коэффициенты при неизвестных
и свободные чле-
ны (правые части) уравнений — заданные числа. Эту систему можно записать в
матричном виде:
, (1.1.2)
где
—
матрица системы (ее размерность равна
столбцы неизвестных и свободных членов (матрицы размерности
ширенной матрицей системы называется матрица
),
,
—
). Рас-
6
mmn2m1m
2n22212
1n11211
ba...aa
...............
ba...aa
ba...aa
B
0
n
0
2
0
1
x,...,x,x
nn2n1n
n22221
n11211
a...aa
............
a...aa
a...aa
AdetA
0
n,...,1i,x
i
i
i
n,...,1i,0b
i
0
n,...,1i,0x
i
0
0
Brangr,Arangr
BA
,
которая получается из матрицы A, если справа к ней дописать столбец свободных членов b.
Система (1.1.1) может не иметь решений (среди уравнений системы имеются противоречивые уравнения). В этом случае говорят, что система несов-
местна. В противном случае система совместна, т.е. имеет решения. Решением системы называется любой набор чисел
, удовлетворяющий си-
стеме (всем ее уравнениям). Система может иметь единственное решение или
бесконечное число решений.
Простейший случай: система n уравнений с n неизвестными. Матрица А –
квадратная, ее определитель называется определителем системы:
.
Если
, система имеет единственное решение; это решение может
быть найдено по формулам Крамера:
, (1.1.3)
где
— определитель системы; определитель
получается из определителя
заменой i-го столбца на столбец b свободных членов. Если все правые части
системы (1.1.1) равны нулю,
родной и при
(
Если же
ее единственным решением является тривиальное решение
).
, формулы Крамера неприменимы, и для нахождения реше-
, такая система называется одно-
ний системы используются общая теория решений линейных систем, теория
Кронекера–Капелли. Впрочем, поскольку теория общая, она применима и для
случая
Теория Кронекера–Капелли оперирует с рангами
.
матрицы системы A и ее расширенной матрицы B. Рангом матрицы называется
максимальная размерность минора (определителя), порождаемого матрицей и
отличного от нуля. Порождаемый матрицей определитель – это любой опреде-
7
литель, составленный из произвольных ее строк и столбцов. Ранг матрицы ра-
AB
rr
AB
rr
rrr
AB
nr
0
nr
nr
rn
r
M
r
r
rn
rn
rn21
C,...,C,C
r
r
r
M
rn21
C,...,C,C
rn
вен числу ее независимых (линейно независимых) строк или столбцов.
Поскольку для любой системы уравнений матрица B получается расширением матрицы A (добавлением справа столбца свободных членов), то, очевидно,
. Поэтому возможны два случая.
1.
2.
щие два случая. Пусть
но,
но найти по формулам Крамера. Если же
. Система решений не имеет, она несовместна.
. Система совместна, она имеет решения. Возможны следую-
, т.е. ранг равен числу неизвестных. Тогда, очевид-
и система имеет единственное решение, которое, как мы знаем, мож-
, то система имеет бесконечное
количество решений. Схема их отыскания такова.
Ранг r для системы уравнений равен числу независимых (линейнонезависимых) уравнений. При
стемы независимы, а остальные
это означает, что только r уравнений си-
являются их следствием и из системы
могут быть исключены. В процессе нахождения ранга был найден некоторый
минор
порядка r, порожденный матрицей A и отличный от нуля. Его
называют базисным минором. Элементы этого минора находятся на пересечениях
строк и
столбцов матрицы A. Номера строк определяют те rуравне-
ний исходной системы, которые являются независимыми; остальные
уравнений исключаются (они удовлетворяются автоматически). Номера столбцов базисного минора определяют базисные (основные) переменные (базисные
неизвестные). Остальные
ными), т.е. могут принимать произвольные значения
неизвестные называются свободными (неоснов-
. Все свобод-
ные переменные переносятся в правые части уравнений; в результате получается укороченная система
шается по формулам Крамера, т.к. ее определитель
уравнений с
неизвестными. Эта система разре-
отличен от нуля. В ре-
зультате базисные переменные оказываются выраженными через свободные.
Система имеет бесконечное число решений, т.к. константы
могут
принимать произвольные значения.
Решение системы, содержащее
свободных переменных (произволь-
ных констант), называется общим решением системы: оно содержит все возможные ее решения.
Решения, полученные из общего при конкретных значениях свободных переменных, называются частными решениями. Из них выделяют также базис-
ные решения, полученные из общего при нулевых значениях всех свободных
переменных. Базисные решения широко используются в задаче линейного про-
граммирования и транспортной задаче.
Замечание. Поскольку существует некоторый произвол в выборе базисного
минора, то разделение всех переменных на базисные и свободные носит условный характер: возможны различные формы записи общих и базисных решений.
Рассмотрим пример.
8
Пример 1. Установить совместность и найти общее решение системы
.3x2x4x3x2
,1xx3x2
,3x7xx4
,2x3xxx2
4321
432
431
4321
.
3
1
3
2
2432
1320
7104
3112
B,
2432
1320
7104
3112
A
.41402
04
12
M
2
2
M
.
320
104
112
M
3
3
M
2
M
2
M
3
M
2
M
.2rA
2
M
Решение. Выпишем матрицы A и B системы:
Найдем ранг матрицы A. В левом верхнем углу имеется отличный от нуля
минор второго порядка:
Будем действовать методом «окаймляющих» миноров. Добавляя к минору
новые строки и столбцы матрицы, будем вычислять получающиеся миноры
третьего порядка. Добавив третью строку и третий столбец, получим минор
Этот минор равен нулю (проверить самостоятельно). Кроме минора
имеется еще три минора третьего порядка, «окаймляющие»
(в миноре
использованы первые две строки и первые два столбца; третьи и четвертые
строки и столбцы дают возможность составить 4 минора третьего порядка,
один из них (
миноры третьего порядка, «окаймляющие»
рить!). Это означает, что ранг матрицы A оказался равным 2:
числении ранга матрицы B снова «окаймляем» минор
) мы уже вычислили). Можно убедиться, что все остальные
, также равны нулю (прове-
При вы-
, при этом нет необ-
ходимости вычислять миноры, порожденные матрицей A, т.е. в качестве нового
столбца надо использовать только последний столбец матрицы B, состоящий из
свободных членов исходной системы. В нашем конкретном случае оказывается,
что и эти дополнительные миноры равны нулю (это тоже рекомендуется проде-
9
лать самостоятельно). Поэтому
2rB
2
M
1
x
2
x
13
Cx
24
Cx
.C7C3x4
,C3C2xx2
211
2121
.C
4
7
C
4
1
4
3
x
211
:x
2
2121212
C
2
1
C
2
3
2
1
C
4
7
C
4
1
4
3
2C3C2x
.
C
C
C
2
1
C
2
3
2
1
C
4
7
C
4
1
4
3
)C,C(X
2
1
21
21
21
1
C
2
C
, т.е. ранги матриц равны и система совместна. Если в качестве базисного минора выбрать
вестными являются
и
,
и
– свободные переменные. Уко-
роченная система уравнений имеет вид:
Из второго уравнения сразу находим:
После этого из первого уравнения найдем
Общее решение исходной системы имеет вид:
, то базисными неиз-
.
(*)
Предлагаю самостоятельно (подстановкой во все уравнения системы) убедиться, что найденное решение удовлетворяет уравнениям системы при произвольных значениях
и
.
Вычисление рангов может оказаться весьма трудоемкой операцией, особенно при больших размерностях матриц A и B. Существует более быстрый
способ решения систем – метод Гаусса. Этот метод основан на элементарных
преобразованиях матрицы B.
Элементарными преобразованиями матрицы B называются следующие
преобразования, не изменяющие ее ранга и решений соответствующей системы
уравнений:
1) Прибавление к строке матрицы любой другой строки, умноженной на
произвольное число;
2) Умножение любой строки на число, отличное от нуля;
3) Перестановка любых двух строк матрицы.
Для элементарных преобразований матриц будем использовать значок
(или ~).
Продемонстрируем метод Гаусса на уже рассмотренном примере 1.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]