Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономико-математические методы и модели. Курс лекций
.pdf
Таким образом, в модели Кобба-Дугласа параметры и являются ко-
LfQ
QTPL
L
Q
L
TP
AP
L
L
.
dL
dQ
MPL
5,05,0
LK3Q
.100L,16K
.
L
K5,1
L5,0K3
L
Q
M
5,05,0
L
100L,16K
.6,0
100
165,1
M
L
Q4,020C
.10Q
эффициентами эластичности по труду и капиталу. Параметр A определяет общую эффективность производства, связанную с используемыми технологиями.
Если деятельность предприятия рассматривать за краткосрочный период,
то капитал является постоянным ресурсом, а труд — переменным. Тогда можно рассматривать производственную функцию как объем выпуска продукции,
зависящий только от количества используемого труда:
.
В теории производства используют следующие показатели его эффективности:
– общий продукт труда — это общий объем выпуска
;
– средний продукт труда — это количество общего продукта в расчете на
единицу труда
;
– предельный продукт труда — это изменение общего продукта труда в
результате изменения количества труда на одну единицу:
Пример 1. Задана производственная функция
дельный продукт труда при
. Найти пре-
Решение. Находим частную производную
В точке
Пример 2. Дана зависимость между себестоимостью продукции С и объ-
емом производства:
Найти коэффициент эластичности себестоимости при объеме производства
получаем
.
41
Решение. Т.к.
dQ4,0dC
.
Q4,020
Q4,0
C
Q4,0
CdQ
QdQ4,0
Q
dQ
C
dC
E
10Q
.25,0E
Q
P
, то
При
получаем
Знак «минус» понятен: с ростом себесто-
имости продукции ее объем имеет тенденцию снижаться.
2.2. Математическая модель рынка. Функция спроса и предложения
Спрос на рынке можно определить как желание и возможность потребите-
лей купить данный товар по заданной цене и в данный момент времени. Спрос
определяют также как потребность, подтвержденную денежными средствами,
т.е. платежеспособную потребность.
Если рассмотреть ситуацию, складывающуюся на рынке какого-либо това-
ра, то можно заметить, что между ценой и количеством проданного товара существует вполне определенная связь: чем ниже цена, тем большее количество
товара готовы покупать, т.е. тем выше на него спрос. Таким образом, законом
спроса является обратная зависимость между ценой и величиной спроса. Графически это изображается кривой спроса:
По вертикали отложена цена (P — price), по горизонтали — объем приоб-
ретенного товара (блага) (Q — quantity). Наклон (производная) этой функции
отрицательный, что отражает желание потребителя купить большее количество
товара при меньшей цене.
42
Если ситуацию на рынке рассматривать со стороны продавца (производи-
Q
P
Q*
P*
Q
P
теля), то зависимость величины предложения от цены прямая: чем выше цена,
тем большее количества товара готовы предложить продавцы. Типичный график кривой предложения имеет вид:
Если на одном графике изобразить кривые спроса и предложения, то точка пе-
ресечения этих кривых характеризует рыночное равновесие: это ситуация, когда
нет тенденции к изменению рыночной цены и объема продаваемого товара.
P* и Q* — установившиеся рыночная цена и количество продаваемого товара.
Можно привести простые рассуждения, подтверждающие, что точка (P* ,
Q*) является устойчивой. Например: пусть продавцы попытаются продавать
товар по цене P>P*; При этой цене величина предложения окажется выше, чем
величина спроса. На рынке возникнет избыток товара, производители не смогут
этот избыток реализовать, и между ними возникнет конкуренция. Придется
производителям снижать цену до P*.
Если же продавать по цене P<P*, то величина предложения окажется ниже
величины спроса. Покупатели будут конкурировать за возможность купить то-
43
вар, т.к. налицо дефицит товара. Производители обязаны повысить цену до P*,
.
PdP
QdQ
E
D
P
1E
D
P
1E
D
P
yy
xx
D
y,x
PdP
QdQ
E
0E
D
y,x
0E
D
y,x
.
YdY
QdQ
E
D
Y
1E0
D
Y
1E
D
Y
.
PdP
QdQ
E
S
P
пока дефицит не исчезнет.
Как и для производственной функции, в рыночной экономике используются понятия эластичности: эластичности спроса и предложения (иногда слово
«коэффициент» опускают и говорят просто об эластичности).
Эластичность спроса по цене :
Верхний индекс связан со словом demand — спрос. Если
, спрос
называют эластичным (спрос растет или уменьшается быстрее цены). Если же
, спрос неэластичный (жесткий). Как правило, спрос неэластичен (0,1-
0,2) для цены товаров первой необходимости (хлеб, картофель, соль, одежда,
обувь и т.д.). Для предметов роскоши (фарфор, автомобили, дачи) спрос эластичен (1,5–2,0 и более).
Перекрестная эластичность характеризует степень влияния спроса на товар x изменения цены на другой (сопряженный) товар y:
.
Если
вочное масло), если
, то товары взаимозаменяемые (например, маргарин и сли-
, то товары взаимодополняемые (автомобиль и
бензин).
Эластичность спроса по доходу. Используется для определения степени
влияния на величину спроса на данный товар изменения дохода потребителя:
Здесь Y — доход потребителя. Если
вой необходимости, если
, то говорят о предметах роскоши.
, речь идет о товарах пер-
Эластичность предложения показывает степень изменения предложения
под воздействием цены:
44
Верхний индекс связан со словом supply – предложение.
1E
S
P
1E
S
P
dQ
TUd
MU
Для значения эластичности предложения по цене значение имеет временной интервал, на котором производится оценка. В краткосрочном периоде, как
правило, предложение по цене не эластично (
), так как производители не
могут мгновенно отреагировать на изменение цены. По мере увеличения временного интервала степень эластичности предложения увеличивается, а в дол-
госрочном периоде предложение по цене всегда эластично (
).
2.3. Математическая модель поведения потребителя.
Функция полезности. Оптимальное потребление, предельная
полезность благ. Кривая безразличия
Для описания поведения потребителя вводится понятие полезности блага.
Полезность блага — это способность экономического блага удовлетворять од-
ну или несколько потребностей потребителя.
Различают общую полезность — TU (total utility) и предельную полезность
— MU (marginal utility), которая является производной общей полезности по
спросу Q:
и является скоростью изменения общей полезности при изменении спроса. В
результате исследований XIX века была выявлена закономерность: с увеличением спроса общая полезность также возрастает, достигает максимума и даже
может начать уменьшаться. При этом предельная полезность неуклонно
уменьшается, становится равной нулю (общая потребность полностью удовлетворяется) и далее становится отрицательной. Типичные графики зависимостей
приведены ниже:
45
QTU
QMU
.xyU
.16y,25x
max
4 3 2 1 Q
TU
4 3 2 1 Q
MU
На графике видно, что максимум общей полезности TU имеет место при
потреблении третьей единицы блага, при этом предельная полезность MU равна нулю. Дальнейшее потребление приносит вред (благо превращается в антиблаго), общая полезность начинает уменьшаться.
Чем большим количеством блага обладает потребитель, тем меньшую ценность имеет для него каждая дополнительная единица этого блага. Это значит,
что цена блага определяется не общей, а предельной полезностью.
Функцию
ство экономистов сходятся во мнении, что более важна функция
иногда называют функцией полезности, хотя большин-
. Как
бы то ни было, эти функции связаны между собой: вторая является производной от первой. Если рассматривать несколько благ (набор благ), то предельные
полезности каждого блага определяются частными производными.
Пример. Функция полезности потребителя имеет вид
Потребле-
ние:
Определить предельную полезность блага y.
46
Решение. В данной задаче речь идет о двух благах: x и y. Точка
16,25y,x
y
x
2
1
y2
1
xy
y
x
y
U
M
y
16,25
625,0
8
5
16
25
2
1
M
y
U
3
U
2
U
1
6 5 4
3 2 1 5 4 3 2 1 0
Y X
соответствует некоторому уровню потребления. Предельная по-
лезность блага y определяется частной производной:
.
В точке
.
Вместе с тем, экономисты, введя предельную полезность, так и не смогли
на ее основании сформулировать общее понятие об абсолютных величинах полезности (кардиналисты) и об оптимальном выборе благ потребителем. Представители другого направления (ординалисты) считают более плодотворным
анализ относительный, а именно: необходимо определить предпочтение потребителя одних комбинаций товаров другим. Инструментом такого анализа являются так называемые кривые безразличия.
Для простоты предположим, что потребитель покупает только два вида
товара: Xи Y.
Будем исходить из того, что имеются некоторые комбинации этих товаров,
которые для потребителя представляют одинаковую полезность (к примеру, два
товара X и три товара Y имеют такую же полезность, как три товара X и два
товара Y и т.д.). Отказ от одного товара компенсируется получением другого
товара в большем количестве. К таким комбинациям товаров потребитель без-
различен (это не равнодушие, это одинаковая полезность).
Если эти комбинации изобразить графически, то получим некоторую
плавную кривую безразличия:
наково желательны, ему все равно, какую комбинацию он получит. Кривая U
— это одна из бесконечного семейства кривых. Если выбрать более высокий
Все точки на одной кривой (например, на кривой U2) для потребителя оди-
47
2
или более низкий уровень удовлетворения потребностей, кривая примет другое
CY,XU
MRS
,
X
Y
MRS
xy
Y
.
Y
X
MRS
yx
.
X
U
Y
U
MRS,
Y
U
X
U
MRS,0Y
Y
U
X
X
U
U
yxxy
56XYU
.64Y,49X
.
Y
X
X
2
1
Y
Y
2
1
X
X
U
Y
U
MRS
2121
2121
yx
64Y,49X
.
64
49
MRSyx
положение (см. пунктирные линии, кривые U1,U3). Набор таких кривых для
двух видов товара называют картой безразличия.
Уравнения кривых безразличия можно записать в виде
, (*)
где C — уровень потребностей.
С кривыми безразличия связан еще один термин – предельная норма за-
мещения (
) одного товара другим:
где
— количество товара Y, от которого потребитель может отказаться,
чтобы получить дополнительную единицу товара X. Знак минус используется
для удобства: предельную норму замещения измеряют в положительных единицах. Аналогично
Из уравнения (*) кривой безразличия следует:
Пример. Кривая безразличия задана уравнением
благ потребителя
Найти предельную норму замещения блага Y
благом X.
Решение. Предельную норму замещения блага Y благом X найдем по
формуле
, а набор
В точке
получаем
48
Кривые безразличия позволяют выявить потребительские предпочтения.
Y,X
x
P
y
P
YPXPI
yx
.1
P
I
Y
P
I
X
yx
Y,X
x
P
I
y
P
I
x
P
I
y
P
I
**
Y,XZ
Z
U
3
U
2
U
1
6 5 4 3 2
1
5 4 3 2 1
0
Y X
Однако, они не определяют, какой именно набор товаров потребитель считает
для себя оптимальным (наиболее выгодным). Эту информацию можно получить, если учесть естественное условие: потребитель имеет ограниченный доход и может истратить на товары некоторую ограниченную сумму. В экономике учитывают бюджетное ограничение , которое показывает, какие наборы товаров доступны потребителю.
Если I — доход потребителя,
купленные товары по ценам
и
за
единицу товара, то уравнение бюджетного ограничения записывается в виде:
или
Таким образом, в системе координат
на координатных осях отрезки
и
. Смысл этих величин понятен: если
это прямая линия, отсекающая
потребитель весь свой доход истратит только на продукт X(Y), то он приобре-
тет
(
) единиц этого товара.
Изобразим теперь на одном графике кривую безразличия и бюджетную
прямую:
Напомним, что кривые безразличия представляют собою бесконечное семейство непересекающихся линий. Бюджетная прямая пересекает некоторые
кривые (например, U1). Эти точки пересечения соответствуют низким уровням
потребления и не соответствуют оптимуму. Некоторые кривые (например, U3 )
не пересекаются с бюджетной прямой – они для потребителя недостижимы по
его бюджету. И существует единственная кривая U2 , которая касается бюд-
жетной прямой в точке
потребителя.
. Эта точка и определяет наилучший выбор
49
Задачу оптимизации выбора потребителя можно сформулировать и на язы-
xyU
.100yx2
.100yx2
max,xyU
x2100y
x100x2x2100xxyU
2
.25x6252625625x50x2x50x2x100x2
2
222
25x
50;25y,x
.2255025U
max
ке «функция полезности — бюджетное ограничение» .
Пример. Функция полезности потребителя имеет вид
ное ограничение
Решение. Вообще говоря, надо решать оптимизационную задачу:
Но возможен и «школьный» способ решения. Из второго уравнения системы
подкоренного выражения легко находится:
Очевидно, максимум достигается при
В общем случае такие задачи являются задачами на условный экстремум
функций нескольких переменных и решаются методом множителей Лагранжа.
Одним из наиболее важных экономических объектов является производственный сектор экономики, функционирующий в сложной сети межотраслевых
взаимосвязей. Межотраслевые модели предназначены для получения информации
о производственном секторе экономики отдельного предприятия, региона страны
или всей страны с целью рационального планирования поставок по конечным потребителям. Межотраслевые модели, используемые во многих странах, позволяют
организовать рациональное управление производственным сектором.
В межотраслевых моделях предполагается, что производственный сектор
разделён на некоторое количество «отраслей». В «отрасль» объединяются все
процессы производства одного продукта. Чем больше число «отраслей», тем
адекватнее межотраслевые модели описывают производственный сектор. Число
«отраслей», рекомендуемых для включения в модель, составляет от сотен до тысяч.
Рассмотрим как пример модель многоотраслевой экономики, разработанную в 1936 г. американским экономистом лауреатом Нобелевской премии Василием Леонтьевым. Целью построения данной статической модели (не учитывающей динамику процесса производства) является определение для каждой из
. Тогда
2.4. Модель межотраслевого баланса.
Матрица коэффициентов прямых затрат
Найти максимум полезности потребления.
, т.е. в точке
, а бюджет-
. Максимум
и равен
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]