Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Экономико-математические методы и модели. Курс лекций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Выбирая стратегию



amin



aminmaxmax 



amax



amaxmin



763

238



 





 



 

,max





, игрок A должен рассчитывать, что Bответит той

стратегией

Обозначим гии

для всех возможных стратегий B (

, для которой выигрыш

равный

, минимален.

– минимальный выигрыш игрока A при выборе им страте-

— минимальное число в

-й строке платежной матрицы). Далее, двигаясь по строкам платежной матрицы, среди всех возможных

выберем максимальное:

–

это нижняя цена игры (максимин) или максимальный гарантированный выигрыш игрока A. Число находится в определенной строке платежной матрицы; та стратегия, которая соответствует этой строке, называется максиминной стратегией. Суть ее для игрока A состоит в максимизации минимального выигрыша. При использовании этой стратегии игроку A при любом поведении противника гарантирован выигрыш, не меньший, чем . Именно поэтому величина  называется «нижней ценой игры». Это тот гарантированный минимум, который обеспечивает себе игрок

придерживаясь наиболее осторожной

(«перестраховочной») стратегии.

Аналогичные рассуждения можно привести и за другого игрока. Игрок B заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока A. Выбирая страте-

гию

, игрок B учитывает максимально возможный выигрыш игрока

старается его минимизировать. Обозначим

в столбце j. Тогда

— верхняя цена игры (минимакс). Игрок

— наибольший элемент

применяющий такую стратегию (минимаксную) гарантирует, что при любой стратегии противника его проигрыш не превысит величины .

В теории игр принцип, диктующий игрокам выбор "осторожных" минимаксных или максиминных стратегий, называется принципом минимакса.

Пример.

Задана платежная матрица игры

Определить диапазон возможных значений цены игры.

Решение.

Вычислим нижнюю цену игры

, где

   

.37,6,3min,22,3,8min





Тогда

.3



 

321

,,min





     

.77,2max,66,3max,83,8max

321





.6







 

6,3



















6,06,07,0

8,07,09,0

8,06,05,0

0,7





7,0



Найдем теперь верхнюю цену игры

, где

Очевидно,

Т.к.

, то цена игры заключена в интервале

Если верхняя цена игры равна нижней цене игры, т.е. в платежной матрице имеется элемент, который является одновременно максимальным в своей строке и минимальным в своем столбце, то

; величина

носит название

чистой цены игры. Минимаксные стратегии, соответствующие чистой цене игры, называются оптимальными, а их совокупность – оптимальным решением

или решением игры.

В геометрии точку на поверхности, в которой по одной координате имеется минимум, а по другой максимум, называют седловой. По аналогии этот термин применяется и в теории игр.

При наличии седловой точки решение игры оказывается устойчивым: если один из игроков придерживается оптимальной стратегии, то для другого невыгодно отклоняться от своей оптимальной стратегии.

Пример.

Найти верхнюю и нижнюю цену игры с платежной матрицей

Имеет ли игра седловую точку?

Решение.

Найдем минимумы по строкам и максимумы по столбцам. Среди минимумов найдем максимум max(0,5;0,7;0,6)=0,7 (Минимаксная стратегия А2). Среди максимумов найдем минимум min(0,9;0,7;0,8)=0,7 (Максиминная стратегия В2).

Таким образом

, следовательно, игра имеет седловую точку, со-

ответствующую стратегии А2В2 (решение игры) и чистая цена игры

4.2. Игры с природой

Ситуация, при которой либо ничего не известно об интересах другой стороны, либо такие интересы отсутствуют (другой игрок — «природа»), ха-

рактеризуется принятием решения в условиях полной неопределенности. Тер-

aminmax



amaxmax



 

 



 





amin1amaxmax



0



1



5,0

















mn2m1m

n22221

n11211

r...rr

............

r...rr

ijij

aamaxr 

rmaxmin

мин «природа» обозначает некую действительность, мотивы проявления которой неизвестны. Поэтому разумно рассматривать иные критерии, чем принцип минимакса. Рассмотрим некоторые из них. Будем считать, что для игрока задана матрица выигрышей размерности mn.

1. Максиминный критерий Вальда отражает «принцип гарантированного

результата», при котором выбирается такая стратегия, которая максимизирует

выигрыш в самой неблагоприятной ситуации. Этот критерий имеет другое название — критерий «крайнего пессимизма»:

2. Критерий максимакса — критерий «крайнего оптимизма». Оптималь-

ной считается стратегия, которая максимизирует выигрыш в самой благоприятной ситуации:

3. Критерий Гурвица является обобщением двух предыдущих критериев

и представляет собой целое семейство критериев, зависящих от параметра :

Параметр α позволяет выбрать баланс между подходами «крайнего пес-

симизма» и «крайнего оптимизма». Критерий Вальда получается как частный случай при либо предпочтений логично выбрать значение

, а критерий максимакса при

. При отсутствии каких-

4. Критерий Сэвиджа состоит в выборе такой стратегии, которая не до-

пускает чрезмерно высоких потерь. Этот критерий связан с понятием риска. Вводится матрица максимальных рисков (сожалений):

элементы которой находятся по формулам:

Оптимальной стратегией по Сэвиджу считается та, которая обеспечивает минимум риска:

5. Предыдущие критерии не использовали вероятности стратегий (состоя-

ний) природы, т.к. они считались неизвестными. Если эта информация имеется, игрок должен ее использовать. Например, пусть известны вероятности

n21

p,...,p,p

состояний природы (или вероятности «стратегий» природы). Кри-

 



 







n1j

ijj

apmax



 



 







n1j

max



4321

A,A,A,A

6,0

4,06,01p 

.8,104,0156,08a

;2,114,0136,010a

:4,114,096,013a

:2,114,046,016a



4,11

терий Байеса оперирует с понятием среднего риска и стратегия игрока выбирается из условия минимизации среднего риска или максимизации среднего вы-

игрыша

что вероятности

одинаковы и равны

. Критерий Лапласа опирается на предположение,

. Тогда

Пример.

Матрица выигрышей при игре с природой имеет вид

Какая из стратегий

является оптимальной по критерию Байеса?

Решение.

Из условия задачи следует, что природа имеет две «стратегии» (два состояния), их вероятности равны

и p. Поэтому

. Теперь вычис-

лим средние выигрыши игрока:

Т.к. наибольший средний выигрыш равен стратегия

, то оптимальной является

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Логинов В.А. Линейная алгебра, векторная алгебра и аналитическая

геометрия. Курс лекций по дисциплине «Математика» для студентов инженерных и экономических специальностей МГАВТ.— Изд-во «Альтаир», МГАВТ,2006.— 125с.

2. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики

для экономических вузов.— М. Высшая школа, 1982.— 320 с.

3. Банди Б. Основы линейного программирования. Перевод с англ.— М.

Радио и связь, 1989.— 176 с.

4. Нуреев Р.М. Курс микроэкономики.— М. НОРМА-ИНФРА, 2001.— 572с.

5. Абчук В.А. Экономико-математические методы.— С.Пб. Союз, 1999. —320с.

6. Вентцель Е.С. Элементы теории игр.— М. Физматгиз, 1961.— 67с.

Логинов Вениамин Анатольевич

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

Курс лекций

Компьютерная верстка: Михайлик Е.В.

Подписано в печать 2014 г.

Формат: 60х90/16. Объем п.л.

Заказ № . Тираж экз.

«Альтаир-МГАВТ»

Московская государственная академия водного транспорта

117105, г. Москва, Новоданиловская набережная, стр. 2, корп. 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]