Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономико-математические методы и модели. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Ю.В. Лубенец
Экономико-математические методы и модели
Учебное пособие
Липецк
Липецкий государственный технический университет
2013
1
УДК 517.9(07)
Л 821
Рецензенты:
Ж.В. Корнева – кандидат экон. наук, проректор по научно-исследовательской и
инновационной деятельности ЛЭГИ;
кафедра математических, естественнонаучных и экономических дисциплин
МИПЭ
Лубенец, Ю.В.
Л 821 Экономико-математические методы и модели [Текст]: учеб. пособие/
Ю.В. Лубенец. – Липецк: Изд-во ЛГТУ, 2013. – 64 с.
ISBN 978-5-88247-642-6
В пособии рассматриваются некоторые экономико-математические методы
и модели. В нем излагаются линейное программирование и сетевое планирование. Задачи сопровождаются числовыми примерами.
Пособие может быть полезно для преподавателей, аспирантов и студентов,
изучающих дисциплины «Экономико-математические методы и модели»,
«Экономико-математические и моделирование», «Исследование операций».
УДК 517.9(07)
Л 821
Библ.: 7 назв.
Печатается по решению Редакционно-издательского совета ЛГТУ
ISBN 978-5-88247-642-6
© ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный
технический университет», 2013
2
Содержание
1. Линейное программирование ....................................................................... 5
1.1. Геометрический метод решения задач линейного программирования .... 5
1.2. Задача о ресурсах ............................................................................................ 8
1.3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования ............. 9
1.3.1. Постановка задачи ....................................................................................... 9
1.3.2. Правила пересчёта таблицы ....................................................................... 10
1.3.3. Нахождение опорного плана ...................................................................... 11
1.3.4. Нахождение оптимального плана .............................................................. 12
1.3.5. Пример .......................................................................................................... 13
1.4. Двойственные задачи линейного программирования ................................ 17
1.5. Целочисленная задача линейного программирования ............................... 23
1.5.1. Метод отсечения .......................................................................................... 23
1.5.2. Метод ветвей и границ ................................................................................ 29
1.6. Транспортная задача ...................................................................................... 31
1.6.1. Постановка транспортной задачи .............................................................. 31
1.6.2. Нахождение опорного плана методом «северо-западного» угла ........... 32
1.6.3. Вычисление псевдоплатежей и псевдостоимостей ................................. 33
1.6.4. Проверка оптимальности плана ................................................................. 34
1.6.5. Нахождение цикла и пересчёт таблицы .................................................... 34
1.6.6. Пример .......................................................................................................... 35
1.7. Вырожденные случаи метода потенциалов ................................................. 39
1.8. Открытые транспортные задачи ................................................................... 42
1.9. Транспортная задача с минимизацией времени .......................................... 44
3
2. Сетевое планирование .................................................................................... 48
2.1. Основные понятия .......................................................................................... 48
2.2. Схема решения задачи ................................................................................... 50
2.3. Задача сетевого планирования с перераспределением ресурсов .............. 51
2.4. Задача сетевого планирования с вложением средств ................................. 54
3. Библиографический список .......................................................................... 63
4
1. Линейное программирование
,...
110 nn
xcxccL
n
ccc ,...,,
10
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
xcxccL
...
...
,...
max,...
2211
11212111
110
.0...,,0,0
21
n
xxx
minL
max L
.
maxmin
LL
,...
11 inini
bxaxa
....
11 inini
bxaxa
,...
11 inini
bxaxa
inini
bxaxa ...
11
....
11 inini
bxaxa
,jx
,0
ij
a
1.1. Геометрический метод решения задач линейного программирования
Линейной функцией n переменных называется функция, имеющая вид
где
– некоторые коэффициенты. Задача ли-
нейного программирования может быть поставлена в следующем виде
Требуется найти максимум целевой функции L при выполнении системы
ограничений и условий неотрицательности переменных.
Другие постановки задачи линейного программирования могут быть сведе-
ны к данной.
1. Если
, то можно рассмотреть
. Значения переменных,
при которых – L максимальна, дают значения, при которых L минимальна. При
этом
2. Если имеются ограничения вида
его на – 1 и рассмотреть ограничение
3. Если имеется ограничение вида
то можно умножить
то возможны 2 спо-
соба перехода к неравенствам. Первый способ – заменить равенство на 2 неравенства:
Второй способ – выразить переменную
и
для которой
через
остальные переменные и подставить в целевую функцию и ограничения.
Первый способ проще для записи задачи, второй упрощает её решение.
5
Геометрический метод решения задачи линейного программирования с
.0,0
,
...
,
max,
21
2211
1212111
22110
xx
bxaxa
bxaxa
xcxccL
mmm
21
xOx
iii
bxaxa
2211
....,,2,1 mi
iii
bxaxa
2211
),(21ccn
двумя переменными и системой ограничений в виде линейных неравенств состоит из двух этапов:
1) построение на плоскости множества решений системы линейных нера-
венств, являющегося выпуклым многогранным множеством;
2) выбор в построенном множестве точки, доставляющей целевой функции
требуемое (минимальное или максимальное) значение.
Пусть имеется задача:
На плоскости
строим прямые
для
Далее
определяем полуплоскости, удовлетворяющие неравенствам
Для этого берем точку, не лежащую на прямой, и подставляем ее координаты в
неравенство. Если неравенство верно, то берётся полуплоскость, в которой лежит эта точка. Если неравенство не верно, то берётся другая полуплоскость. Затем берём пересечение всех полуплоскостей, лежащее в первой координатной
четверти. Полученное множество является областью допустимых решений.
Область допустимых решений (ОДР) – множество всех наборов значений
переменных, удовлетворяющее всем ограничениям и условиям неотрицательности.
Далее строим вектор нормали
. После этого через начало вектора
проводим перпендикулярную к нему прямую, которая называется линией уров-
.
ня. Затем перемещаем линию уровня в направлении, которое указывает вектор
нормали, до последних точек пересечения с ОДР. Эти точки и дают решение
задачи. L
Возможны следующие случаи.
равно значению функции L в этих точках.
max
6
B
x2
x1
O C A
1. ОДР ограничена, решение
единственно.
B
x2
x1
O C A
2. ОДР ограничена, решений
бесконечно много.
B
x2
x1
O
A
3. ОДР не ограничена, решение
единственно.
B
x2
x1
O
A
4. ОДР не ограничена, решений
бесконечно много.
5. ОДР не ограничена, решений
нет (на рисунке справа).
6. ОДР пуста, решений нет.
B
x2
x1
O
A
7
1.2. Задача о ресурсах
.0,0
,213
,9
,244
max2
21
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
xxL
).2,1(n
921 xx
.24421 xx
B
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
1
+ 4x
2
= 24
x
1
+ x
2
= 9
3x
1
+ x
2
= 21
A C D
x2
x1
O
Предприятие выпускает 2 вида продукции A1 и A2, для выпуска которых
требуется три вида ресурсов В1, В2, В3. Для выпуска единицы продукции A1 требуется 1 единица ресурса B1, 1 единица ресурса B2 и 3 единица ресурса B3, а для
выпуска единицы продукции A2 4 единицы ресурса B1, 1 единица ресурса B2 и
1 единица ресурса B3. Запасы ресурсов составляют 24 единицы ресурса B1, 9
единиц ресурса B2, 21 единица ресурса B3. Производство единицы продукции A1
дает прибыль 1 единицу, а единицы A2 2 единицы. Требуется найти план производства, дающий максимальную прибыль.
Обозначим: х1 – количество единиц продукции A1, х2 – количество единиц
продукции A2.
ОДР – пятиугольник
OABCD. Координаты вектора нормали соответствуют
коэффициентам перед переменными в целевой функции
Перемещая линию уров-
ня, получаем решение в точке B.
Для нахождения координат точки B используем тот факт, что она является
точкой пересечения прямых
Решаем систему уравнений.
и
8
.244
,9
21
21
xx
xx
.14524
max
L
.14)5,4(
max
LL
max,22
21
xxL
).2,2(n
.213
,9
21
21
xx
xx
).3,6(C
.183262
max
L
).3,6(),5,4(,18,
max
CBCBLL
.0...,,0
,...
...
,...
min,)...(
1
11
11111
110
n
nnmnm
nn
nn
xx
bxaxa
bxaxa
xcxccL
Решение системы дает координаты точки B(4,5).
Ответ:
Замечание. Если в условиях рассмотренной задачи целевая функция имеет
вид
то вектор нормали –
Получаем решение на от-
резке BC. Находим координаты точки С из системы уравнений.
Получаем
Ответ:
1.3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования
1.3.1. Постановка задачи
Рассмотрим следующую задачу линейного программирования:
Переменные x1, x2, ..., x
нительные переменные y1, y2, ..., y
будем называть основными. Введем теперь допол-
n
по следующим формулам:
m
y1= b
(a11x1+ ... + a1nxn),
1
...
ym= b
(am1x1+ ... + amnxn).
m
Заметим, что введенные переменные должны быть неотрицательными. За-
пишем данные задачи в симплекс-таблицу следующего вида.
9
C x1
x2
...
xn
L
c0
c1
c2
...
cn
y1
b1
a11
a12
...
a1n
...
...
...
...
...
...
ym
bm
am1
am2
...
amn
Переменные, записанные в верхней строке симплекс-таблицы, будем назы-
.
1
ij
ij
a
a
ij
ik
ik
a
a
a
.jk
ij
lj
lj
a
a
a
.il
ij
ljik
lklk
a
aaaa
jk
.il
вать свободными. Они могут принимать любые допустимые значения. Переменные, записанные в левом столбце симплекс-таблицы, будем называть базисными. Их значения вычисляются по значениям свободных переменных.
Рассмотрим теперь основные моменты решения задачи линейного програм-
мирования симплекс-методом.
1.3.2. Правила пересчёта таблицы
Пусть в симплекс-таблице выделен некоторый элемент aij, который называется разрешающим. Назовём разрешающей строкой i-ю строку, а разрешающим
столбцом – j-й столбец. Тогда можно сформулировать следующие четыре правила пересчёта таблицы (штрихами отмечены элементы новой таблицы).
1. К разрешающему элементу берётся обратный:
2. Элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент:
для
3. Элементы разрешающего столбца делятся на противоположный элемент к
разрешающему:
4. Остальные элементы вычисляются по правилу:
и
для
для
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]