Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономико-математические методы и модели. Учебное пособие
.pdf
01
nj
jj
wx
и
01
mi
ii
zy
0
jj
wx
.0
ii
yz
i
B
i
z
.min...
11
nn
zbzbF
.0...,,0
,...
...
,...
1
2211
11221111
m
nmmnnn
mm
zz
czazaza
czazaza
max,34
321
xxxL
.0,0,0
,1444
,15233
,1624
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
min,141516
321
zzzF
.0,0,0
,142
,3432
,434
321
321
321
321
zzz
zzz
zzz
zzz
. Поскольку слагаемые неотрицательны, то для любого j
имеем
и любого i имеем
Если исходная задача является задачей о ресурсах, то двойственную задачу
можно интерпретировать следующим образом: некоторая другая сторона хочет
купить ресурсы по наиболее низким ценам. Обозначим оценки (объективно
обусловленные оценки) цены единицы ресурса
щей стоимости ресурсов
через
. Тогда оценка об-
Ограничения выражают то,
что производитель продает ресурсы не ниже цены продукции.
Пример.
Рассмотрим исходную задачу.
Тогда двойственная задача имеет вид.
Решаем исходную задачу симплекс-методом.
21
C
x1
x2
x3
–L 0 4 3 1
y1
16 4 2 1 y2
15 3 3
2
y3
14 1 4
4
C y1
x2
x3
–L
–16
–1 1 0
x1
4
4
1
2
1
4
1
y2
3
4
3
2
3
4
5
y3
10
4
1
2
7
4
15
C y1
y2
x3
L
–18
2
1
3
2
6
5
x1
3
2
1
3
1
6
1
x2
2
2
1
3
2
6
5
y3
3
2
3
3
7
6
5
22
.y,y,y,x,x,xLL 300023 при 18
321321maxmin
, z,w,wF 000 ,18
321min
zz
zz
.332
,434
21
21
.
3
2
2
1
12
211
z,z,z
18
min
F
w,z,z,z,w,w .6/53/22/1000
321321
1
B
2
B
4
3
3
2
:
2
1
2
B
3
4
4
A
1
B
2
B
3
B
....
4343141
czaza
.402
3
2
3
2
1
4
4
A
....,,
1
n
xx
Решение двойственной задачи на основе теоремы о дополняющей нежёсткости
Отсюда
тогда
Кроме того, решение двойственной задачи можно получить на основе второй теоремы двойственности. Переменные двойственной задачи, соответствующие базисным переменным основной задачи, будут равны нулю, а переменные, соответствующие свободным переменным основной задачи, будут равны
коэффициентам целевой функции с противоположным знаком. Получаем,
при
Выводы.
1. Дефицитные ресурсы
в
раза).
и
. Их отношение
(ресурс
важнее
2. Включение нового вида продукции в производство. Предположим, что
имеется вид продукции
ницы ресурса
, 2 единицы ресурса
, на который требуется 4 единицы ресурса
. При какой цене его можно включить в
, 3 еди-
план? Для включения вида продукции в план необходимо выполнение условия
ная цена на продукт
Отсюда,
должна быть 4 единицы.
Таким образом, минималь-
1.5. Целочисленная задача линейного программирования
1.5.1. Метод отсечения
Пусть имеется задача линейного программирования, в которой наложены
дополнительные условия:
То есть требуется, чтобы все пере-
менные были целыми. Для решения такой задачи сначала можно решить задачу
без условия целочисленности. Если полученное решение является целочислен-
23
ным, то оно же является решением и целочисленной задачи. Если задача не
C x1
x2
...
xn L c0
–c1
–c2
...
–cn
...
...
...
...
...
...
yi
bi
a
i1 ai2
...
ain
...
...
...
...
...
...
i
b
i
y
i
b
y
m+1
–{bi}
–{ai1}
–{ai2}
...
–{ain}
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
A B C
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O
имеет решений, то целочисленная задача также не имеет решений. Для решения
задачи в других случаях можно применять метод отсечения, метод ветвей и
границ или другие методы.
Рассмотрим метод отсечения. Правильным отсечением называется прямая,
которая отсекает от ОДР точку
с оптимальным нецелочисленным значением, не отсекая при
этом ни одной точки с целочисленными координатами.
Для построения отсекающих
прямых имеются различные методы. Мы рассмотрим метод
Гомори.
Если мы получили оптимальный план нецелочисленной
задачи в виде симплекстаблицы.
Если
(то есть,
) и
– максимальное среди всех таких чисел, то
к симплекс-таблице добавится строка, имеющая вид:
24
Здесь {x} – дробная часть числа x, которая может быть вычислена по фор-
,3
3
2
2
.
3
1
3
2
2
.3,2,1i
.min
321
xxxL
.,,,0,0,0
,8132
,502
321321
32
21
xxxxxx
xx
xx
C x1
x2
x3 L 0
–1
–1
–1
y1
–50
–2
–1
0
муле {x} = x – [x], где [x] – целая часть числа x. Например,
После добавления к симплекс-таблице написанной строки, план не будет
опорным и поэтому надо найти опорный и оптимальный планы для новой таблицы. Описанная процедура повторяется до тех пор, пока не будет получен оптимальный целочисленный план или не показано, что ОДР пуста.
Пример. Имеются брёвна длиной 3 м. Требуется сделать не менее 50 загото-
вок длины 1,2 м и не менее 81 заготовки длины 0,9 м. Какое наименьшее количество брёвен и каким способом надо распилить?
Способы распилки брёвен следующие.
1) 1,2 м и 1,2 м;
2) 1,2 м, 0,9 м и 0,9 м;
3) 0,9 м, 0,9 м и 0,9 м.
Обозначим xi – число брёвен, распиленных i-м способом,
примет следующий вид.
Сначала решим нецелочисленную задачу симплекс-методом.
Задача
25
y2
–81
0
–2
–3 C y1
x2
x3
L
25
2
1
2
1
–1
x1
25
2
1
2
1
0
y2
–81
0
–2
–3
C y1
y2
x3
L
4
181
2
1
4
1
4
1
x1
4
19
2
1
4
1
4
3
x2
2
81
0
2
1
2
3
4
181
L
.
2
81
,
4
19
21
xx
C y1
y2
x3
L
4
181
2
1
4
1
4
1
x1
4
19
2
1
4
1
4
3
x2
2
81
0
2
1
2
3
Оптимальный план нецелочисленной задачи получен.
Добавим к симплекс-таблице строку.
26
при
y3
2
1
0
2
1
2
1
C y1
y3
x3
L
2
91
2
1
2
1
0
x1
2
9
2
1
2
1
–1
x2
41 0 –1 2 y2 1 0
–2
1
.
2
9
1
x
4
y
C
y1
y3
x3
L
2
91
2
1
2
1
0
x1
2
9
2
1
2
1
–1
x2
41 0 –1 2 y2 1 0
–2
1
y4
2
1
2
1
2
1
0
Оптимальный план найден, но целочисленным он также не является, по-
скольку
Заметим, что целочисленность дополнительных переменных не
требуется. Добавим к симплекс-таблице ещё одну строку, введя дополнительную переменную
по сформулированному ранее правилу.
27
Выберем в качестве разрешающего обведённый элемент и сделаем пересчёт
C y4
y3
x3 L 46
–1 0 0
x1 5 –1 1 –1
x2
41 0 –1
2
y2 1 0
–2
1
y1 1 –2 1 0
,01y
.13y
03y
.13y
03y
,02y
.13x
03x
.13x
13y
.33x
таблицы.
Оптимальный план целочисленной задачи найден. L
= 46, при x1 = 5, x2 =
min
41, x3 = 0.
Так как в L коэффициенты при y3 и x3 равны 0, решение не единственно. Из
последней строки конечной таблицы, учитывая условие
Далее рассмотрим 2 возможных случая
предпоследней строки таблицы с учётом условия
довательно,
или
При
из этого же условия получаем
и
получаем
получаем
При
Таким образом получаем еще пять решений, с учетом основного решения –
всего шесть.
2) при y3 = 0, x3 = 1 решение x1 = 6, x2 = 39, x3 = 1;
3) при y3 = 1, x3 = 0 решение x1 = 4, x2 = 42, x3 = 0;
4) при y3 = 1, x3 = 1 решение x1 = 5, x2 = 40, x3 = 1;
из
Сле-
5) при y3 = 1, x3 = 2 решение x1 = 6, x2 = 38, x3 = 2;
6) при y3 = 1, x3 = 3 решение x1 = 7, x2 = 36, x3 = 3.
28
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
A B C
3x
1
+ 8x
2
= 48
x
1
+ x
2
= 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O
O
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
A E C
1 2 3 4 5 6 7 8 9
D
Меньше всего отходов при выполнении условий задачи мы получаем при
,1
iii
bxb
i
x
O
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
A E C
1 2 3 4 5 6 7 8 9
G
F
O
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
A E C
1 2 3 4 5 6 7 8 9
G
H
третьем решении, поэтому оно является наилучшим. При решении подобного
рода задач могут приниматься в расчёт и другие доводы.
1.5.2. Метод ветвей и границ
Метод ветвей и границ состоит в удалении из ОДР множества, удовлетворяющего условию
где
– нецелочисленная координата опти-
мального решения задачи. Эта процедура повторяется до тех пор, пока не будет
получено целочисленное решение. На приведённых рисунках показана геометрическая иллюстрация метода ветвей и границ для случая двух переменных.
29
На последнем рисунке показана
.13245)4,5(
max
LL
54
1
x
C y1
y2
x3
L
4
181
2
1
4
1
4
1
x1
4
19
2
1
4
1
4
3
x2
2
81
0
2
1
2
3
2
81
2
x
40
2
x
41
2
x
.0
2
3
2
1
2
1
;40
2
3
2
1
2
81
323322
xyyxyx
O
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
A E C
1 2 3 4 5 6 7 8 9
G
I
окончательная область для целочисленной задачи и решение в точке E и
В этом примере можно было уже
после первого удаления полосы
увидеть, что максимальное
значение целевой функции будет достигаться в точке E и дальнейшие
удаления в левой области на втором
рисунке не проводить.
Покажем применение метода ветвей и границ для симплекс-таблиц. Рассмотрим пример из предыдущего параграфа. Запишем полученное ранее нецелочисленное решение.
Поскольку значение
является дробным, рассмотрим два случая: с
условиями
и
, соответственно. Тем самым мы исключим это
нецелочисленное решение, не удалив из ОДР ни одной точки с целыми координатами. В первом случае получаем
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]