Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономико-математические методы и модели. Учебное пособие
.pdf
1.3.3. Нахождение опорного плана
Опорным планом называются любые значения переменных
x1, x2, ... , xn, y1, y2, ... , ym, которые удовлетворяют всем ограничениям. На этапе
нахождения опорного плана будет найден такой план или доказано, что задача
не имеет решений. Здесь нас не будет интересовать целевая функция, хотя все
преобразования таблиц будут проводиться и для первой строки таблицы (кроме
выбора разрешающего элемента). Рассмотрим схему нахождения опорного
плана.
1. Если все элементы первого столбца, начиная со второй строки, неотрица-
тельны, то опорный план найден. Можно переходить к нахождению оптимального плана.
2. Для отрицательного элемента в первом столбце (начиная со второй стро-
ки) находим отрицательный элемент в этой же строке, начиная со второго
столбца. Столбец, в котором он находится, может быть взят в качестве разрешающего.
3. Если отрицательных элементов в строке нет, то область допустимых ре-
шений пуста и задача не имеет решений. В самом деле, тогда имеется ограничение вида yi= b
(ai1x1+ ... + ainxn). Поскольку bi < 0, a
i
0 и xj 0 для всех j,
ij
получаем yi < 0, что противоречит условию неотрицательности.
4. Рассмотрим отношения элементов первого столбца к разрешающему для
всех строк, начиная со второй. Та строка, для которой это отношение минимально среди всех положительных, может быть взята в качестве разрешающей.
5. Берём разрешающий элемент на пересечении разрешающей строки и раз-
решающего столбца, делаем пересчёт таблицы и переходим к первому пункту
схемы.
Данная процедура повторяется до тех пор, пока не будет выполнено условие
опорного плана или условие третьего пункта.
11
1.3.4. Нахождение оптимального плана
Оптимальным планом называются значения переменных
x1, x2, ..., xn, y1, y2, ..., ym, которые удовлетворяют всем ограничениям и дают минимальное значение целевой функции. На этапе нахождения оптимального
плана будет найден такой план или доказано, что целевая функция неограниченна снизу и поэтому не достигает своего минимального значения. Рассмотрим схему нахождения оптимального плана.
1. Если все элементы первой строки, начиная со второго столбца, неполо-
жительны, то оптимальный план найден и задача решена.
2. Столбец, кроме первого, в первой строке которого находится положи-
тельный элемент, может быть взят в качестве разрешающего.
3. Рассмотрим отношение элементов первого столбца к элементам разре-
шающего столбца для всех строк, начиная со второй. Та строка, для которой это
отношение минимально из всех положительных и 0, у которой в разрешающей
строке положительный элемент, может быть взята в качестве разрешающей.
4. Если положительных элементов в столбце нет, то целевая функция не-
ограничена снизу и задача не имеет решений. В самом деле, тогда переменную
xj можно неограниченно увеличивать, при этом ограничения выполняются, а
целевая функция неограниченно убывает.
5. Берём разрешающий элемент на пересечении разрешающей строки и раз-
решающего столбца, делаем пересчёт таблицы и переходим к первому пункту
схемы.
Данная процедура повторяется до тех пор, пока не будет выполнено условие
оптимального плана или условие четвёртого пункта. Положив свободные переменные равными нулю, получаем значения целевой функции и базисных переменных. Если в верхней строке симплекс-таблицы все коэффициенты при переменных меньше нуля, то решение задачи единственно. В случае, когда в этой
строке есть коэффициенты при переменных равные нулю, задача имеет бесконечно много решений.
12
1.3.5. Пример
C x1
x2
x3
x4
L 4 –1
–1
–3
–4
y1
–1
–1
–1
–1 1 y2
–1 1 –4 1 4
y3
–1 4 –3 1 2
,0
1
1
0
1
1
0
4
1
,
1
1
3
1
4
1
,0
1
1
,0
1
1
,0
1
1
Дана следующая задача линейного программирования.
L = 4 – (x1 – x2 – 3x3 – 4x4) min,
y1 = – 1 – (– x1 – x2 – x3 + x4) 0,
y2 = – 1 – (x1 – 4x2 + x3 + 4x4) 0,
y3 = – 1 – (4x1 – 3x2 + x3 + 2x4) 0,
x1 0, x2 0, x3 0, x4 0,y1 0, y2 0, y3 0.
Запишем данные в таблицу.
В первом столбце все числа отрицательны (числа в первой строке не берутся в расчёт). Поскольку во всех столбцах, кроме последнего, есть отрицательные коэффициенты, разрешающий элемент может быть выбран из второго, третьего или четвёртого столбца. Рассмотрим отношения свободных коэффициен-
тов из первого столбца к элементам второго столбца. Так как
и
, то в качестве разрешающего элемента из второго столбца может быть
взято только число – 1. Для третьего столбца все отношения положительны и
поэтому разрешающим элементом из третьего столбца может
быть выбрано только число – 4. В четвёртом столбце имеем
значит, разрешающий элемент равен – 1. Подчеркнём найденные числа
в таблице, в качестве разрешающего элемента можно выбрать любой из них.
Возьмём число – 4.
13
C
x1
x2
x3
x4 L 4
–1
–1
–3
–4
y1
–1
–1
–1
–1
1
y2
–1 1 –4 1 4
y3
–1 4 –3 1 2
Переведём переменную x2 из свободных в базисные, а переменную y2 из
.
4
1
4
11
22
22
a
a
,
4
1
4
1
22
2
2
a
b
b
,
4
1
4
1
22
21
21
a
a
a
,
4
1
4
1
22
23
23
a
a
a
.1
4
4
22
24
24
a
a
a
,
4
1
4
1
22
2
2
a
c
c
,
4
1
4
1
22
12
12
a
a
a
.
4
3
4
3
22
32
32
a
a
a
,
4
17
4
)1()1(
4
22
22
00
a
bc
cc
,
4
5
4
1)1(
1
22
212
11
a
ac
cc
,
4
13
4
1)1(
3
22
232
33
a
ac
cc
,5
4
4)1(
4
22
242
44
a
ac
cc
,
4
3
4
)1()1(
1
22
212
11
a
ba
bb
,
4
5
4
1)1(
1
22
2112
1111
a
aa
aa
,
4
5
4
1)1(
1
22
2312
1313
a
aa
aa
,0
4
4)1(
1
22
2412
1414
a
aa
aa
базисных в свободные, для этого применим правила пересчёта таблицы.
1.
2.
3.
4.
14
,
4
1
4
)3()1(
1
22
232
33
a
ba
bb
,
4
13
4
1)3(
4
22
2132
3131
a
aa
aa
,
4
1
4
1)3(
1
22
2332
3333
a
aa
aa
.1
4
4)3(
2
22
2432
3434
a
aa
aa
C x1
y2
x3
x4
L
4
17
4
5
4
1
4
13
–5
y1
4
3
4
5
4
1
4
5
0
x2
4
1
4
1
4
1
4
1
–1
y3
4
1
4
13
4
3
4
1
–1
C x1
y2
x3
y3
L
2
11
2
35
2
7
2
9
–5
y1
4
3
4
5
4
1
4
5
0
x2
2
1
2
7
2
1
2
1
–1
x4
4
1
4
13
4
3
4
1
–1
В результате получим следующую таблицу.
Поскольку в первом столбце при переменных есть отрицательные коэффициенты, опорный план не достигнут. В качестве разрешающего элемента на
этом шаге так же, как и ранее можно взять любой из подчёркнутых элементов.
Пусть это будет обведённое число – 1. В результате пересчёта получим следующую таблицу.
15
Опорный план ещё не достигнут. Выбираем обведённый элемент в качестве
C x1
y2
y1
y3
L
5
41
–13
5
22
5
18
–5
x3
5
3
1
5
1
5
4
0
x2
5
4
–3
5
3
5
2
–1
x4
5
2
–3
5
4
5
1
–1
5
22
.
5
4
C x1
x4
y1
y3
L
6
2
7
2
11
2
5
2
1
x3
2
1
4
7
4
1
4
3
4
1
x2
2
1
4
3
4
3
4
1
4
1
y2
2
1
4
15
4
5
4
1
4
5
разрешающего и совершаем очередное преобразование таблицы.
Теперь все коэффициенты первого столбца второй, третьей и четвёртой строк
неотрицательны, поэтому опорный план достигнут. Для нахождения оптимального плана находим положительные коэффициенты в первой строке (кроме пер-
вого столбца). Такой коэффициент в таблице только один – число
шающим элементом является
Осуществив пересчёт таблицы, получаем сле-
и разре-
дующую таблицу.
16
Несмотря на то, что теперь у нас два положительных коэффициента при не-
5
41
4
1
C x1
x4
y1
x3
L 5 0
–5
–1
–2
y3 2 7
–1
–3
4
x2 1 1
–1
–1 1 y2 3 5 0 –4
5
.0,,0
,
,
max,
1
11
11111
110
n
mnmnm
nn
nn
xx
bxaxa
bxaxa
xcxccL
известных в первой строке вместо одного, значение целевой функции умень-
шено с
до 6. Взяв
в качестве разрешающего элемента, приходим к следу-
ющей таблице.
Все коэффициенты при неизвестных в первой строке неположительны, оптимальный план найден. Минимальное значение целевой функции равно 5 при
значениях переменных x1 = 0, x4 = 0, y1 = 0, x3 = 0, y3 = 2, x2 = 1, y2 = 3. Задача решена. Заметим, что найдено только одно из решений задачи.
1.4. Двойственные задачи линейного программирования
Рассмотрим задачу линейного программирования.
Назовем эту задачу исходной. Двойственной задачей к ней будем называть
следующую задачу.
17
.0,,0
,
,
min,
1
2211
11221111
110
m
nmmnnn
mm
mm
zz
czazaza
czazaza
zbzbcF
max,L
minF
),,(),,(
11
mn
zzFxxL
.0)(
,0)(
1
1
1
1
111
1
nmnmmm
nn
xaxaby
xaxaby
.01
nj
jijii
xaby
В общем случае двойственная задача ставится следующим образом.
1. В исходной задаче
в двойственной
.
2. Коэффициенты при переменных функции F равны соответствующим
свободным коэффициентам ограничений исходной задачи.
3. Свободный коэффициент функции F равен свободному коэффициенту
функции L.
4. Свободные коэффициенты ограничений двойственной задачи равны ко-
эффициентам при переменных функции L.
5. Ограничения в исходной задаче имеют знак меньше или равно, а в двой-
ственной – больше или равно.
6. Матрица коэффициентов и переменных является транспонированной по
отношению к соответствующей матрице исходной задачи.
Между решениями исходной и двойственной задачи имеется связь, которая
будет рассмотрена в следующих утверждениях.
Лемма (основное неравенство)
Для любых допустимых значений переменных имеет место неравенство
.
Доказательство. Рассмотрим дополнительные переменные.
Таким образом,
18
Умножим каждое равенство на
i
z
.0)(
1 1 11
m
i
min
j
ij
ij
m
i
i
ii
i
zxazbzy
m
i
jiijj
czaw
1
0
0)(
1
mi
iijjj
zacw
j
x
n
j
min
j
n
j
j
j
ji
ijj
j
xcxzawx
1 1 1 1
0)(
).,,(),,(
1
1 1
0
1
0
1
m
min
j
ijij
n
j
jjn
zzFczxacxcxxL
),,(
00
1 n
xx
),,(
00
1 m
zz
),,(),,(
00
1
00
1 mn
zzFxxL
),,(
00
1 n
xx
),,(),,(
11
mn
zzFxxL
).,,(),,(),,(
00
1
00
1
1
nmn
xxLzzFxxL
),,(
00
1 n
xx
),,(),,(
00
1
00
1 mn
zzFxxL
L
L
minF
F
и просуммируем по i от 1 до m.
С другой стороны, в ограничениях двойственной задачи:
, так как
Умножим равенства на
и просуммируем по j от 1 до n.
.
.
Отсюда
Теорема (достаточное условие оптимальности)
Если наборы
, то
и
являются допустимыми и
является оптимальным решением ис-
ходной задачи.
Доказательство. Так как из леммы для любого допустимого набора
, то
То есть L принимает максимальное значение на
.
Теорема (о двойственных задачах)
Решение двойственной задачи является оптимальным тогда и только тогда,
когда
. Если L не ограничено (то есть
двойственная задача не имеет решения.
Доказательство. Необходимость первого условия примем без доказатель-
ства. Если
вого условия (поскольку
, то двойственная задача не может иметь решений в силу пер-
).
Обратное утверждение ко второму утверждению теоремы не верно. Из
условия, что исходная задача не имеет решений, не следует, что
19
), то
.
Между переменными исходной и двойственной задачи можно установить
mn
mn
zzww
yyxx
,,,,,
,,,,,
11
11
0
i
x
0
i
w
0
i
y
0
i
z
nj
jj
wx
1
m
i
jiijj
czaw
1
0
1 111
m
i
n
j
jj
n
j
jiij
n
j
jj
xcxzawx
mi
ii
zy
1
n
j
jijii
xaby
1
min
j
jiij
m
i
ii
m
i
ii
xzazbzy
1 111
.),...,,(),...,,(
1
021021
1
m
i
iimn
n
j
jj
zbcyyyFcxxxLxc
m
i
ii
n
j
jj
yzwx
11
следующее соответствие.
Переменные исходной задачи
Основные Дополнительные
Дополнительные Основные
Переменные двойственной задачи
Теорема (о дополняющей нежёсткости)
Если переменная оптимального решения основной задачи больше нуля, то
соответствующая ей переменная двойственной задачи равна нулю, то есть из
условия
следует
и из условия
следует
аналогичное утверждение для двойственной задачи.
Доказательство.
Рассмотрим
. Учитывая, что
.
Рассмотрим вторую сумму
. Учитывая, что
. Для оптимального решения выражения отличают-
. Верно также
, получим
, получим
ся знаком, поскольку
Таким образом,
. Так как оба выражения неотрицательны, то
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]