Экономико-математические методы и модели. Учебное пособие

B1

B2

B3

a

~

A1

2

2

2

-1 4

1

20 – 

1

0

A2

6 2

3

20

3

5  5

4

A3

3

20 – 2

3

0 2

2 4

1

b

~

2

–1

1

B1

B2

B3

a

~

A1

2  2

3 4

1

20 1 0

A2

2  2

3

20

3

1 5

0

A3

3

20 – 2

3

4 2

2 4

1

b

~

2

3

1

B1

B2

B3

a

~

A1

2  2

3 4

1

20 1 0

A2

2

20 – 

2

3

2

3

1 5

0

A3

1 3

2

20 – 2

2

0 4

–1

b

~

2

3

1

B1

B2

B3

a

~

A1

2

4

20 1 20

A2

20

2

3

5

20

A3

3

20

2

4

20

Всего

20

20 60

41

В последней таблице удалим фиктивные величины и найдём значение целе-







n

j

m

i

ba

11







n

j

m

i

ba

11

.

11

ф







n

j

m

i

bab

B1

B2 Всего

A1

2

3

20

A2

4

1

18

A3

1

5

12

A4

3

4

15

Всего

25

30

65

55

вой функции: L = 20 + 40 + 40 = 100.

Заметим, что для ускорения решения транспортной задачи опорный план можно находить не методом «северо-западного» угла, а заполнять таблицу, начиная с клеток, имеющих минимальную стоимость. Имеются специальные методы, такие как метод Фогеля, позволяющие получать опорные планы близкие к оптимальным.

1.8. Открытые транспортные задачи

Задачи, в которых

, называют открытыми задачами или задачами с

неправильным балансом. Их также можно решать методом потенциалов. Если

, то вводим фиктивный пункт назначения Вф. Для Вф считаем заявку

равной разности

Стоимости перевозок единиц груза в пункт

назначения Вф полагаются равными нулю. После введения Вф получаем закрытую задачу или задачу с правильным балансом.

Пример.

Вводим фиктивный пункт назначения Bф.

42

B1

B2

Bф Всего

A1

8 2

12

3

0

20

A2

4

18

1

0

18

A3

12

1

5

0

12

A4

5

3

4

10 0 15

Всего

25

30

10 65

Получаем закрытую задачу и решаем её методом потенциалов, как было

B1

B2

Bф

a

~

A1

2 8 2

3

12

3

-1 0

0

A2

0 4

1

18

1

-3 0

–2

A3

1

12

1

2 5

-2 0

–1

A4

3 5 3 4 4 0

10 0 1

b

~

2

3

–1

B1

B2 Всего

A1

8 2

12 3 20

A2

4

18 1 18

A3

12

1

5

12

A4

5

3

4

15

Всего

25

30

65

55

описано выше.

Удаляем из таблицы фиктивный пункт назначения. Груз из пункта отправления A4 будет вывезен частично.

43

Получаем L = 16 + 36 + 18 + 12 + 15 = 97. Задача решена.







n

j

m

i

ba

11







m

i

n

j

aba

11

ф

0ф

j

c

i

a

j

b







n

j

m

i

ba

11

ij

t

min,max0

ijx

tL

ij

 

 





,...

...

,...

21

111211

mmnmm

n

axxx

 

 





,...

...

,...

21

112111

nmnnn

m

bxxx

.0...,,0

11



mn

xx

ij

t

В случае, когда

ления Аф. При этом полагаем

аналогично вводится фиктивный пункт отправ-

и

для j = 1, 2, ..., n.

1.9. Транспортная задача с минимизацией времени

Пусть имеются пункты отправления груза A1, A2, . . ., Am и пункты назначения груза B1, B2, ..., Bn. Запасы груза на пунктах отправления Ai составляют

единиц, а заявки пунктов назначения Bj составляют

. Известно время

перевозки груза из пункта отправления Ai в

единиц. Полагаем, что

пункт назначения Bj (не зависит от количества груза).

Ставится задача найти минимальное время перевозок. Считается, что все перевозки начинаются одновременно.

Эта задача является задачей нелинейного программирования, так как L нелинейна. Для её решения можно применить метод «вычёркивания клеток». Вычёркиваем из таблицы клетки, в которых

максимально. Пытаемся найти

план, не использующий этих клеток. Если план найти удается, то вычеркиваем следующие клетки. Если нет, то предыдущий полученный план является оптимальным.

44

Отметим некоторые случаи, когда таблицу заполнить нельзя.

B1

B2

B3

B4

B5 Всего

A1

4

3

5

1

2

22

A2

2

4

1

3

5

18

A3

5

1

2

3

5

17

A4

4

3 3

2

1

19

A5

2

1

6

2

4

21

A6

3

1

3

1

5

23

Всего

27

21

22

24

26 120

1. В строке (столбце) вычеркнуты все клетки.

2. В строке (столбце) остается одна невычеркнутая клетка и сумма

в строке (столбце) больше суммы столбца (строки).

При заполнении таблицы надо рассмотреть все возможные способы заполнения. Можно ограничиться только невырожденными в смысле метода потенциалов планами, если они есть, хотя для такой задачи это не имеет значения.

Проще найти план, если начинать заполнение таблицы со строк и столбцов с наименьшим количеством невычеркнутых клеток. Можно также применять поиск циклов, для которых при пересчёте могут быть освобождены клетки с максимальным временем перевозок.

Пример.

Учитывая, что в таблице только одна клетка со временем перевозок 6, вычеркнем сразу и все клетки со временем перевозок 5, хотя заполнение такой таблицы и не составит труда.

45

B1

B2

B3

B4

B5 Всего

A1

22

4

3

5

1

2

22

A2

5 2

13

4

1

3

5

18

A3

5

8 1

9 2

3

5

17

A4

4

3

13

3

2

6 1

19

A5

2

1

6

1

2

20

4

21

A6

3

1

3

23

1

5

23

Всего

27

21

22

24

26 120

План перевозок с максимальным временем 4 найден. Теперь вычеркиваем

B1

B2

B3

B4

B5 Всего

A1

4

3

5

1

22 2 22

A2

12

2

4

6 1

3

5

18

A3

5

1

2

17

3

5

17

A4

4

15

3 3

2

4 1

19

A5

15

2

6

1

6

2

4

21

A6

3

1

16

3

7

1

5

23

Всего

27

21

22

24

26 120

из таблицы клетки со временем перевозок 4 и пытаемся найти план перевозок, для которого время равно 3.

Заметим, что можно было бы рассмотреть поиск циклов, освобождающих клетки со временем перевозок 4. Например, пересчёт по циклу из клеток на пересечении первой и второй строки и первого и второго столбца сделал бы клетку на пересечении второй строки и второго столбца пустой.

46

План перевозок с максимальным временем 3 найден. Теперь пробуем найти

B1

B2

B3

B4

B5 Всего

A1

4

3

5

1

22 2 22

A2

6 2

4

12

1

3

5

18

A3

5

7 1

10

2

3

5

17

A4

4

3 3

15

2

4 1

19

A5

21

2

1

6

2

4

21

A6

3

14

1

3

9

1

5

23

Всего

27

21

22

24

26 120

B1

B2

B3

B4

B5 Всего

A1

4

3

5

1

2

22

A2

2

4

1

3

5

18

A3

5

1

2

3

5

17

A4

4

3 3

2

1

19

A5

2

1

6

2

4

21

A6

3

1

3

1

5

23

Всего

27

21

22

24

26 120

.2

min

T

план перевозок, для которого время равно 2.

План перевозок с максимальным временем 2 получен. Вычёркиваем, наконец, клетки со временем 2.

Видим, что, например, нельзя заполнить первый столбец. Следовательно, таблицу заполнить нельзя и время перевозок

47

2. Сетевое планирование

2.1. Основные понятия

Пусть имеется некоторое количество видов работ A1, … , An . Некоторые из этих работ опираются на другие работы. Известна продолжительность выполнения каждой работы. Будем обозначать время выполнения работы Ai через ti. Работы, которые не опираются друг на друга, могут выполняться одновременно. Требуется определить минимальное время выполнения всех работ.

Будем называть работу работой первого ранга, если она не опирается ни на какие другие работы. Выполнение всех работ первого ранга может начинаться в начальный момент времени (начальный момент времени считаем равным нулю), тогда время завершения последней работы определяет время выполнения комплекса работ. Работа называется работой ранга k, если она опирается на работы рангов меньше k и опирается, по крайней мере, на одну работу ранга k – 1.

Работа называется критической, если при задержке начала её выполнения увеличивается время выполнения всего комплекса работ. Максимальный промежуток времени, на который мы можем отложить выполнение некритической работы без увеличения времени выполнения всех работ, называется резервом времени. У критических работ резерва времени нет. Минимальное время выполнения комплекса работ называется критическим временем.

Будем говорить, что работа Ak существенно опирается на работу Ai, если работа Ai завершается позже всех остальных работ, на которые опирается работа

Ak. Последовательность критических работ называется критическим путём.

Критический путь может быть найден следующим образом. Для работ, которые заканчиваются последними, надо взять работы, на которые они опираются существенно. Для этих работ тоже взять работы, на которые они опираются существенно и так далее. Пройдя таким образом по цепочке от конца к началу, можно найти все критические пути.

Для комплекса работ можно построить схему – временной график.

48

Пример.

Работы

A1 A2 A3 A4 A

5

Опираются на

A

1

A2

A

1

A2

A

3

A4

Время выполнения

10

12 8 14

11

542

AAA 

5421

: AA Ap 

.AA Ap

AA Ap

5414

5313

5322

:

,:



;37)(

1

pt

;3111812)(

2

pt

;2911810)(

3

pt

.35111410)(

4

pt

.2)2;8min( 

.6)8;6min( 

A2

A1

A3

A4

A5

10

12

20

26

37

t

0

Временной график имеет следующий вид.

Работы A2, A4 и A5 являются критическими, а работы A1 и A3 – некритическими. Критическим путём является последовательность работ

.

Определение резервов времени у работ можно произвести по следующей схеме. Надо найти все пути на временном графике.

– критический путь.

Запишем время выполнения всех путей:

Для каждого пути определяем

резервы времени, вычитая из критического времени (времени выполнения критического пути) время выполнения данного пути. В нашем примере для пути p2 имеем резерв времени 37 – 31 = 6, для p3 – 8, для p4 – 2.

Для некритических работ резерв времени можно определить как минимальный резерв времени путей, в которые они входят. Для A1 – резервы путей p3 и p4, в которые она входит, 8 и 2 соответственно. Тогда резерв времени A1 равен

этому резерв времени работы A3 равен

Для работы A3, резервы p2 и p3 равны 6 и 8 соответственно. По-

49

2.2. Схема решения задачи

Работы

A1 A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12

A13

A14

A15

Опираются на

A

9

A

4

A11

A1 A8

A2

A12

A14

A

6

A1

A4 A9

A

12

A5

A9

A11

A4

A14

A14 A13

A

8

A1 A6

A10 A5

A2

A12

Время

9

14

10 9 11 9 16

13

14

15

14 8 10

16

10

Новые

обозначения

B9 B10

B14

B4

B12

B7

B13

B8

B5

B1

B6

B11

B3

B2

B15

Работы

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

B10

B11

B12

B13

B14

B15

Опираются на

B1

B2

B2 B3 B4

B2 B3

B

4

B5

B

5

B6

B4 B

5

B6

B

8

B9

B

7

B

8

B9

B

7

B9

B11 B12

B

10

B11

B10 B

11

B12

Время

15

16

10 9 14

14 9 13 9 14 8 11

16

10

Общее время

15

16

25

39

48

52

48

66

60

59

76

Упорядочиваем все работы по возрастанию ранга, вводя при необходимости новые обозначения. Сначала вводим обозначения для работ, которые не опираются на другие работы. Затем обозначаем те работы, которые опираются на уже имеющие новые обозначения. Таких способов введения новых обозначений имеется несколько.

Определяем время завершения каждой работы, прибавляя к её продолжительности время работы, на которую она опирается существенно. Критическое время выполнения работ – это максимальное время завершения некоторой работы. Критический путь определяется по цепочке от конца к началу, беря на каждом шаге работы, на которые данная работа опирается существенно. Другими словами, берутся работы, которые завершаются последними из тех на которые опирается данная работа.

Для решения этой задачи воспользуемся таблицей.

Критическое время T

= 76.

кр

50