Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономико-математические методы и модели. Курс лекций
.pdf
базисных переменных равно рангу системы (1.5.2) (количеству независимых
1lk
1lk
1lkkl
Поставщики
Ресурсы
поставщиков
Потребители и их спрос
1 2 3 4 5
85 65 80
75 70
1
100
4
2
3
1
2
2
125
6
5
3
4
3
3
75
1 2 5 6
5
4
75
6
4
5
2
3
3757575125100
3757075806585
4k
5l
2054
8154
12820
44
2575100
уравнений). Поскольку для закрытой транспортной задачи выполняется одно
дополнительное линейное соотношение между переменными (1.5.3), ранг системы (1.5.2) равен
практике при составлении таблиц заполняются только
, т.е. на единицу меньше, чем число уравнений. На
клеток, соот-
ветствующих положительным базисным переменным (базисные клетки),
остальные
клеток не заполняются (эти клетки соответствуют ну-
левым свободным переменным и называются незаполненными или пустыми
клетками).
Рассмотрим конкретный пример. Построим первоначальное распределение
поставок в следующей транспортной задаче (табл. 2).
Таблица 2
Легко убедиться, что табл. 2 соответствует закрытой транспортной задаче:
сумма ресурсов поставщиков
су потребителей
ков
, число потребителей
общее число клеток равно
свободных клеток
. В данном случае число поставщи-
. Таким образом, при составлении поставок
, число базисных клеток
.
равна суммарному спро-
, число
Рассмотрим один из методов получения начального распределения поста-
вок — метод «минимального элемента» или метод учета минимальных за-
трат. Его суть состоит в том, что поставки в первую очередь даются в те клетки, которые соответствуют самым низким затратам на перевозки.
Припишем каждой клетке таблицы двойной номер, в соответствии с ин-
дексами переменных (первый индекс — номер поставщика, второй — номер
потребителя). Сначала находим клетки, соответствующие минимальным затратам. Это клетки (1.4) и (3.1), в которых затраты на перевозку наименьшие (равны 1). Дадим поставку в клетку (1.4). Величина поставки определятся как
min(100;75)=75: ресурс поставщика 1 равен 100 ед. груза, а потребителю 4 требуется 75 ед. Потребитель 4 получил требуемые 75 ед., поэтому можно вычеркнуть столбец 4; таблица теперь имеет размер
уменьшается до
ед.
. Ресурс поставщика 1
31
Переходим к следующей клетке с минимальными затратами — клетке
107585
85
65
80 75
70
100
4
2
25
3 1
75
2
125
6
5
3
80
4
3
45
75
1
75
2 5 6 5
(3.1). Теперь min(75;85)=75, даем в эту клетку поставку 75 ед. Ресурс поставщика 3 полностью израсходован — вычеркиваем 3-ю строку таблицы. Спрос
потребителя 1 сокращается до
ед.
Следующий по величине показатель затрат, равный 2, находится в клетках
(1.2) и (1.5). Клетки (3.2) и (4.4) в расчет не берем, т.к. они находятся в вычеркнутых строке и столбце.
Заполняем клетку (1.2). Поскольку у поставщика 1 осталось только 25 ед.
груза, величина поставки в клетку (1.2) равна min(25;65)=25. Вычеркиваем 1-ю
строку, т.к. ресурс поставщика 1 исчерпан.
Показатель затрат, равный 3, имеется в клетках (2.3), (2.5) и (4.5). Дадим
поставку в клетку (2.3), равную min(80;125)=80 ед. Из таблицы вычеркиваем 3й столбец, а ресурс поставщика 2 сокращаем до 45 ед. Эти 45 ед. груза передадим в клетку (2.5) и вычеркнем 2-ю строку. Недостающие потребителю 5 25
ед. груза возьмем у поставщика 4 и вычеркнем 5-й столбец.
Теперь у поставщика 4 осталось 50 ед. груза. Его надо передать потребителям 1 или 2. Следуя общей логике распределения, обеспечим сначала потребителя 2, т.к. в клетке (4.2) показатель затрат меньше, чем в клетке (4.1). Но потребителю 2 требуются не все 50 ед. груза, а только 40. Поэтому в клетку (4.2)
записываем 40 ед. и вычеркиваем 2-й столбец, а остальные 10 ед. помещаем в
клетку (4.1). Это была последняя операция, т.к. все ресурсы исчерпаны и все
потребители получили требуемые поставки. После этой операции вычеркиваем
1-й столбец и 4-ю строку. На практике вычеркивание строк и столбцов производится только мысленно — после небольшой тренировки.
Распределение поставок, проведенное методом наименьших затрат, приведено в табл. 3.
Таблица 3
32
75
6
10
4
40
5
2
3
25
870253404106751453803751252L
k,...,1i,ui
l,...,1j,v
j
lk
ijji
avu
1lk
lk
0u1
jiijij
vua
0ij
0ij
Как и ожидалось, заполненных клеток оказалось 8, а свободных 12.
Подсчитаем суммарные затраты на перевозки, соответствующие полученному распределению поставок. Суммируя произведения показателя затрат на
величины поставок в заполненных клетках табл. 3, находим
.
Возникает естественный вопрос: является ли полученное распределение
оптимальным?
Вообще говоря, от начального распределения трудно ожидать оптимальности. Достижению этой цели служат последующие этапы.
1.5.3. Оптимальный план транспортной задачи. Метод потенциалов
Для нахождения оптимального плана перевозок необходимо уметь оценивать полученный план на оптимальность. Это осуществляется с помощью ме-
тода потенциалов.
Суть метода такова. Каждому поставщику (каждой строке таблицы поставок) приписывается потенциал
столбцу) — потенциал
. Всего, таким образом, имеется
, а каждому потребителю (каждому
потен-
циалов, соответствующих общему числу клеток таблицы. В теории транспортной задачи доказывается, что все потенциалы могут быть вычислены через затраты в заполненных клетках таблицы, а именно, из уравнений
.
Поскольку общее число базисных клеток равно
лов равно
(как правило, считается, что
, один из потенциалов (неважно какой) выбирается произвольно
).
, а число потенциа-
После того, как все потенциалы вычислены, для свободных клеток вычисляются оценки
тимальности плана поставок: если для всех свободных клеток
тимален и задача решена. Если же хотя бы в одной из этих клеток
, на основании которых решается вопрос об оп-
, план оп-
, план
оптимальным не является и требуется перераспределение поставок. При этом
свободная клетка с отрицательной оценкой переводится в разряд базисных
(точнее говоря, свободная переменная, соответствующая этой клетке, переводится из свободных в базисные). Если имеется несколько клеток с отрицательными оценками, то обычно пересчет поставок начинают с той клетки, где отрицательная оценка наибольшая по абсолютной величине). Сам алгоритм пере-
33
счета поставок осуществляется с помощью цикла. Мы его продемонстрируем,
0u1
.1v1avu
,2v2avu
41441
21221
.3u1avu
,4v6avu
,1v3avu
,2u3avu
,1v3avu
,2u4avu
33113
14114
32332
22552
54554
44224
,1124vua
,1225vua
,0426vua
,1102vua
,2103vua
,0404vua
422424
222222
122121
511515
311313
111111
.1122vua
,2125vua
,7135vua
,8136vua
,7135vua
,3232vua
444444
344343
533535
433434
333333
233232
используя план поставок табл. 3.
Сначала вычислим все потенциалы для этой таблицы.
Полагаем
. Тогда из заполненных клеток первой строки табл. 3 (это
клетки (1.2) и (1.4)) находим:
Теперь используем последовательно клетки (4.2), (4.5), (2.5), (2.3), (4.1) и (3.1):
Порядок обхода клеток может быть и другим: важно только на каждом шаге использовать ту клетку, для которой один из потенциалов уже найден.
Теперь вычисляем оценки для всех незаполненных клеток:
Результаты приведенного расчета говорят о том, что план в табл. 3 не является оптимальным, т.к. оценка в ячейке (4.4) отрицательна. Эту ячейку следует перевести в разряд базисных с помощью цикла пересчета. Циклом называется за-
мкнутый многоугольник (вообще говоря, не обязательно выпуклый), сторонами
которого являются горизонтальные и вертикальные отрезки, его одна вершина
совпадает со свободной клеткой, для которой образуется цикл, а все остальные —
с заполненными клетками. Если ломаная линия пересекается в какой-либо клетке,
то эта клетка в цикл не входит. Для любой свободной клетки распределительной
34
таблицы существует только один цикл. Иногда ломаная линия цикла имеет при-
4040;75min
4
2
65
3 1
35
2
6
5
3
80
4
3
45
1
75
2 5 6 5
6
10
4
5
2
40
3
25
ji
v,u
ij
0u1
.4u1vu
,2v3vu
,1u3vu
,2v3vu
,5v6vu
,1u2vu
,1v1vu
,2v2vu
313
332
252
554
114
444
441
221
чудливую форму, иногда это простой прямоугольник; общего правила нет. Умение найти цикл появляется в процессе решения транспортных задач.
Для удобства пересчета все ячейки цикла снабжаются знаками + и –, причем начальная клетка цикла (свободная) всегда имеет знак +. Далее знаки чередуются независимо от направления обхода. Перераспределение поставок состоит в том, что во все положительные клетки добавляется некоторый груз (поставка), а из отрицательных этот же груз вычитается. Величина груза, перемещаемого в цикле, равна наименьшей из величин, расположенных в отрицательных клетках цикла. Построим цикл для ячейки (4.4). Он включает клетки (см.
табл. 3): +(4.4), –(1.4), +(1.2), –(2.4), а величина перемещаемого груза
. Этот груз добавляется в ячейки (4.4) и (1.2) и вычитается из
поставок клеток (1.4) и (4.2). Клетка (4.2) становится свободной, а клетка (4.4)
становится базисной. Поставки в остальных клетках таблицы 3 не изменятся.
Новый план распределения поставок приводится в табл. 4.
Таблица 4
лов
рядке (1.2), (1.4), (4.4), (4.1), (4.5), (2.5), (2.3), (3.1), определим все потенциалы:
Проверим новый план на оптимальность. Произведем перерасчет потенциа-
и оценок
. Полагая
и осуществляя обход базисных клеток в по-
35
Оценки свободных клеток:
,2114vua
,2125vua
,0156vua
,0202vua
,1023vua
,1054vua
422424
222222
122121
511515
311313
111111
.2125vua
,1124vua
,7425vua
,9416vua
,7425vua
,4422vua
344343
244242
533535
433434
333333
233232
011
1035;10min
4
10
2
65
3 1
25
2
6
5
3
80
4
3
45
1
75
2 5 6 5
6
4
5
2
50
3
25
0u1
План опять неоптимальный: оценка
. Нужен новый цикл пересчета
поставок по циклу +(1.1), —(1.4), +(4.4), —(4.1) с перемещением груза
. Новый план представлен в табл. 5.
Табл. 5
Проверяем на оптимальность новый план. Считая
, для базисных
ячеек составляем систему уравнений для потенциалов и решаем ее:
36
.2v3vu
,1u3vu
,2v3vu
,1u2vu
,3u1vu
,1v1vu
,2v2vu
,4v4vu
332
252
554
444
313
441
221
111
Вычисляем оценки для свободных клеток.
,3322
,2114
,2125
,1146
,0022
,1023
32
24
22
21
15
13
.2125
,1124
,1146
,6325
,8316
,6325
43
42
41
35
34
33
.82075100751352402513040
253502751453803251652104L
min
Отрицательных оценок нет — план оптимальный. Задача решена. Величи-
ны поставок от каждого поставщика каждому потребителю зафиксированы в
таблице 5. Из нее же (по заполненным клеткам таблицы ) находим минимальную стоимость перевозок:
В заключение приведем некоторые соображения, связанные с решением
37
открытой транспортной задачи. Такая задача имеет место в том случае, если
суммарный ресурс поставщиков отличается от суммарного спроса потребителей, т.е.
l
1j
j
k
1i
i
.NM
l
1j
j
k
1i
i
NM
l
1j
j
k
1i
i
NM
l
1j
j
k
1i
i
NM
k
1i
i
l
1j
j
MN
1lk
Если
, то объем поставок превышает спрос. Задачу сводят к
закрытой, введя еще одного фиктивного потребителя, спрос которого равен
, а поскольку реально этого потребителя нет, то и перевозки к нему
не осуществляются, т.е. стоимости перевозок к нему считаются нулевыми.
Если же
, то спрос превышает предложение. Задачу замыкают
на закрытую путем введения фиктивного поставщика с ресурсом
а стоимости перевозок от него также считают нулевыми.
Следует только иметь в виду, что считая число базисных клеток равным
, надо включать в это число фиктивных поставщиков или потребителей.
После того, как добавлены фиктивные поставщики или потребители,
транспортная задача становится закрытой и решается стандартным способом,
который мы уже обсудили. Естественно, что при решении открытой транспортной задачи либо спрос потребителей не удовлетворяется полностью, либо используется не весь ресурс поставщиков. В любом случае можно найти оптимальный план, который минимизирует затраты на перевозки.
,
38
II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ
n21
F,...,F,FfQ
i
F
n,...,2,1ifi
L,KfQ
%вLизменение
%вQизменение
L
L
Q
Q
E
L
2.1. Производственная функция. Предельный продукт.
Коэффициент эластичности
Производство — это важнейшая сфера деятельности, в которой в результа-
те использования производственных факторов создаются продукты и услуги
для потребления.
Экономическую деятельность предприятия (фирмы) принято описывать
производственной функцией:
, (2.1.1)
где Q — объем производства при заданных затратах,
зованного фактора
. Основными факторами производства явля-
— количество исполь-
ются труд и капитал. Однако все чаще экономисты присоединяют к ним землю,
ресурсы (не только материальные, но и интеллектуальные), предпринимательство и т.д. и т.п., объединяя их термином ресурсы. В простейших экономических моделях
, (2.1.2)
где K — капитал, L — труд.
В этом случае Q является функцией двух переменных. Она описывает
связь между объемом выпускаемой продукции и произведенными затратами, а
также зависимость между затратами. Например, можно задаться вопросом: как
уменьшить затраты капитала за счет увеличения числа рабочих (или наоборот),
не изменяя общего объема производства? Если производственная функция уже
выбрана, ответы на такие вопросы легко находятся.
С производственной функцией связан ряд терминов. Один из них – коэф-
фициент эластичности. Вообще понятие эластичности в экономике характеризует зависимость относительного изменения одной величины от изменения какого-то фактора или другой величины. Применительно к функции (2.1.2) речь
может идти о коэффициентах эластичности по труду и капиталу.
Коэффициент эластичности по труду определяется так:
.
39
Речь, разумеется, идет о небольших изменениях
Q
L
L
dL
Q
dQ
EL
K
dK
Q
dQ
EK
.0,,A,KALQ
,
L
dL
KAL
dLLAK
L
dL
Q
dQ
E
1
L
.
K
dK
KAL
dKKAL
K
dK
Q
dQ
E
1
K
ращения можно заменить дифференциалами:
и
, поэтому при-
.
Попросту говоря, коэффициент эластичности по труду дает ответ на во-
прос: на сколько процентов увеличится объем производства, если затраты по
труду увеличить на 1%.
Аналогично определяется и трактуется коэффициент эластичности по ка-
питалу:
Иногда, чтобы подчеркнуть, что с увеличением одной величины другая
уменьшается, знак модуля не ставится, а коэффициент эластичности считается
отрицательным.
Пример. Для укрупненного анализа и прогноза в экономике используется
производственная функция Кобба-Дугласа
Найти для этой функции коэффициенты эластичности по труду и капиталу.
Решение.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]