Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Экономико-математические методы и модели. Курс лекций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

n отраслей такого объёма производства, который бы удовлетворял все потреб-

n,...,1i 

iji

yxx 





n,...,1j,xxa

jijij



n,...,1j,i,xax

jijij









ijiji

n,...,1i,yxax















...















...

ности в продукции этой отрасли. При этом каждая отрасль выступает и как производитель, и как потребитель продукции, произведенной в этой же отрасли и в других отраслях производства.

Предположим, что рассматривается n отраслей экономики, каждая из которых производит свой однородный продукт. Часть произведенной каждой отраслью продукции идет на производственное потребление во всех отраслях, другая часть (так называемый конечный продукт) предназначена для непроизводственного потребления (личное потребление граждан, удовлетворение общественных потребностей, содержание государственных институтов и т.д.).

Введем следующие обозначения: производства,

;

— объем продукции, произведенной i-й отраслью и

потребляемойj-й отраслью;

— объем конечного продукта i-ой отрасли.

— общий (валовой объем) i-й отрасли

Так как валовой объем продукцииi-ой отрасли равен суммарному объёму продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то

Данное уравнение называется соотношением баланса.

Поскольку продукция разных отраслей измеряется в разных единицах, будем иметь в виду стоимостный баланс.

Введем коэффициенты прямых затрат:

. В Леонтье-

вым на основании анализа экономики США в период перед второй мировой войной был установлен важный факт: эти величины при постоянном уровне технологии мало изменяются и могут считаться константами. Коэффициенты прямых затрат показывают затраты i-й отрасли на производство единицы продукции j-й отрасли. Если уровень технологии не меняется, то материальные

затраты и валовой выпуск имеют линейную зависимость:

а соотношение баланса примет вид:

Введем обозначения:

— вектор (вектор-столбец) валового выпуска;

— век-

тор конечного продукта.

Коэффициенты

образуют квадратную матрицу















nn2n1n

n11211

a...aa

............

a...aa

YAXX 

YX)AE( 

AE 

 

0EAEAdet 

Y)AE(X

1



)AE(S





0xi

0yi

n,...,1j,i,0a



 

1AE



так называемую матрицу прямых затрат. Тогда систему соотношений баланса можно записать в матричном виде:

. Это уравнение называют мо-

делью Леонтьева или уравнением линейного межотраслевого баланса.

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который, при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y; попросту говоря, задача состоит в решении приведенного уравнения.

Перепишем уравнение в виде:

Если определитель матрицы

не равен нулю (

то существует обратная матрица и

Обратная матрица Каждый элемент матрицы

показывает величину валового выпуска продук-

называется матрицей полных затрат.

ции i-ой отрасли, необходимую для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-ой отрасли.

В соответствии с экономическим смыслом задачи

Матрица с неотрицательными элементами называется неотрицательной матрицей. Неотрицательная матрица называется продуктивной, если для любого неотрицательного столбца конечного продукта Y существует неотрицательное решение X матричного уравнения. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы A. Приведем два из них.

1. Матрица A продуктивна тогда и только тогда, когда существует матри-

ца

и ее элементы неотрицательны.

2. Матрица A с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма

ее элементов по любой строке (столбцу) не превосходит единицы, причем хотя бы для одной строки (столбца) эта сумма строго меньше единицы.

Пример. В таблице приведены коэффициенты прямых затрат и конечная продукция двух отраслей: промышленности и сельского хозяйства (в условных единицах).

Таблица

Отрасль

Потребление

Конечный

продукт

Промышлен-

ность

Сельское хоз-во

Промышленность

0,4

0,25

300 2 Сельское хоз-во

0,5

0,4

200

4,05,0

25,04,0



 





 





200

300



 





 





6,05,0

25,06,0



 





 







   

 

553,2128,2

064,1553,2

6,05,0

25,06,0

235,0

,235,025,05,06,06,0AE



 





 







 





 









 

1149

7,978

200

300

553,2128,2

064,1553,2

YAEX



 





 







 





 







 





 







Найти:

1. Плановые объемы валовой продукции отраслей и межотраслевые поставки.

2. Необходимый объем валовой продукции каждой отрасли, при условии,

что конечное потребление продукции сельского хозяйства увеличилось на 30%, а промышленности — на 40%.

Решение.

Для данной задачи матрица прямых затрат

а вектор-столбец конечного продукта

Найдем матрицу, обратную матрице

мышленности и 1149 для сельского хозяйства.

Тогда

Таким образом, плановый объем валовой продукции равен 978,7 для про-

Из формул для прямых затрат

2,1j,i,



.6,45911494,0xax

;25,287114925,0xax

;35,4897,9785,0xax

;48,3917,9784,0xax

22222

21212

12121

11111



280

390

4,1200

3,1300



 





 







 





 









 

8,1544

6,1293

280

390

553,2128,2

064,1553,2

YAEX



 





 







 





 







 





 













получаем величины поставок отраслей:

Если конечное потребление продукции сельского хозяйства увеличится на 30%, а промышленности — на 40%, то новый вектор

Ему соответствует новый валовой продукт

III. ЭЛЕМЕНТЫ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ

4 8

4 8 4

0 3 4 6 5 7

Сетевое планирование служит для составления рационального плана решения производственной задачи в кратчайший срок и с минимальными затратами. Мето- ды сетевого планирования дают возможность своевременно оценивать «узкие» места и вносить необходимые коррективы в организацию решения.

Все мероприятия решаемой задачи в их взаимосвязи образуют специальную схему — сетевой график (см. рис. 1). Основными понятиями сетевого графика являются работы, события и пути.

Рис. 1

Событиями называют начальные и конечные точки работы (начало или окончание производственной операции). События не являются процессами, не сопровождаются затратами ресурсов или времени. Обозначаются события кружком с номером.

Работа представляет собой выполнение некоторого мероприятия (техно- логическая, транспортная, складская операция и пр.). Работа связана с расходом ресурсов и затратами времени, она должна иметь начало и окончание. На графике работа обозначается стрелкой, соединяющей события. Ей приписывается номер (прописная буква с двойным индексом) и указывается (над стрелкой или

под стрелкой) ее продолжительность. Например, работа

совершается в

промежуток времени между событиями 1 и 2 и длится 8 единиц времени. На сетевом графике нумерацию работ иногда не приводят.

Путь — это последовательная цепочка работ. Например, путь 1-3-4-6-7 на приведенном рисунке. Продолжительность пути определяется суммой про- должительностей работ вдоль этого пути. Путь, имеющий максимальную длину, называется критическим. Работы вдоль этого пути также называются кри-

тическими.

Относительно данной работы события могут быть предшествующими (непосредственно перед ней) и последующими (непосредственно за ней). Относительно данной работы другие работы могут быть предшествующими и последующими. Каждая входящая в данное событие работа является предшествующей каждой выходящей работе, каждая выходящая работа — последующей для каждой входящей.

Сетевой график должен обладать следующими основными свойствами:

       

.341519420t

,2440t

,23158410t

,2791084310t









 

420 

34tкр

 ни одно событие не может произойти до тех пор, пока не закончены все

входящие в него работы;

 ни одна работа, выходящая из данного события, не может начаться, пока

не произойдет данное событие;

 ни одна работа не может начаться раньше, чем будут закончены все

предшествующие ей работы.

Пример

Для сетевого графика рис. 2 определить критический путь и критические работы.

Рассчитаем длины всех путей из начального события 0 в конечное 4:

Самый протяженный (по времени) путь и работы вдоль этого пути являются критическими. Таким образом, критическим путем является путь

При построении сетевого графика сначала составляют перечень событий, которые определяют планируемый процесс. Затем предусматривают все работы, без выполнения которых производственная задача не может быть решена.

Рассмотрим конкретный пример построения сетевого графика.

Решение

, ему соответствует

; критическими являются работы

Пример

Номер

события

Наименование события

Плановый срок начала работ

Подготовительные мероприятия в цехах закончены

Выполнены предварительные технологические операции в цехе I

Выполнены предварительные технологические операции в цехе II

Выполнены последующие технологические операции в цехе II. Цех II готов к выполнению завершающих операций

Выполнены последующие технологические операции в цехе I. Цех I готов к выполнению завершающих операций

Закончены завершающие технологические операции в цехах I и II

Изделие готово

Заводу поставлена задача – изготовление нового вида продукции. Задача должна решаться двумя цехами (цехи I и II).

Прежде всего, в цехах одновременно проводят необходимые подготовительные мероприятия. Затем цехи выполняют первоначальные технологические операции независимо друг от друга. После окончания этих предварительных операций предусматривается, что цех II продолжает работу, а цех I, прежде чем ее продолжить, передает цеху II часть изготовленных узлов. В цехе II они соединяются с узлами, подготовленными здесь к этому времени. После соединения узлов часть из них передают цеху I, где производятся завершающие работы. Цех II в это время выполняет завершающие работы с оставшимися у него узлами. По завершении работ в цехах изготовленные узлы доставляются к месту сборки и соединяются в готовое изделие. Необходимо составить сетевой график выполнения всех работ и найти время выполнения этой производственной задачи.

Решение

Сначала составляется перечень событий (табл. 1).

Таблица 1

После этого составляется таблица работ, необходимых для выпуска новой продукции.

В таблице работ устанавливают временные продолжительности как производственных, так и транспортных операций (цехи расположены в отдалении друг от друга).

События, не имеющие входящих в них работ, называются событиями первого ранга; с них начинается нумерация (в нашем случае это событие 0). Затем из графика вычеркиваются все работы (все стрелки), выходящие из событий первого ранга, и находят события, не имеющих входящих работ. Это события второго ранга. Если их несколько, то им (в произвольном порядке) присваиваются следующие номера, и т.д.

Поскольку в процессе нумерации движение осуществляется в направлении

Номер работы

Наименование работы

Продожительность работы, ч.

Предшествующие работы

Последующие работы

Выполнение подготовительных мероприятий в цехах I и II

–

, А13

А12

Выполнение предварительных технологических операций в цехе I

А01

, А25

А13

Выполнение предварительных технологических операций в цехе II

А01

А34

А24

Передача части изготовленных узлов изделия из цеха I в цех II

А12

, А46

А25

Выполнение последующих технологических операций в цехе I

А12

А56

А34

Выполнение последующих технологических операций в цехе II

А13

, А46

А45

Передача части изготовленных узлов изделия из цеха I в цех II

, А34

А56

А46

Выполнение завершающих технологических операций в цехе I

, А34

А67

А56

Выполнение завершающих технологических операций в цехе II

, А45

А67

Доставка изготовленных узлов изделия к месту сборки. Сборка и проверка изделия

, А56

–

 

7654310 

.ч48ttttttt

675645341301кр



 

764210 

ч32

стрелок (работ), никакое предшествующее событие не может получить номер больший, чем любое последующее.

С учетом сделанных замечаний и составлена таблица работ (табл. 2).

Таблица 2

Сетевой график для этого примера приведен на рис. 1. Критический путь на нем изображен жирными стрелками: это путь

Его длина равна

Один из других (ненапряженных) путей, например, путь

Таким образом, составленный сетевой график показывает, что сокращение сроков выполнения поставленной задачи может быть достигнуто путем перераспределения ресурсов: часть ресурсов может быть снята с ненапряженного пути и переведена на критический. Тем самым продолжительность критического пути и время решения задачи в целом будут сокращены.

имеет длину

IV. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР

4.1. Основные понятия

На практике часто возникают ситуации, в которых надо принимать решения в условиях, когда, например, две стороны (или более) преследуют различные цели, а результаты действий каждой из сторон зависят от ходов партнера. Так, например, игры в шашки, шахматы или карты относятся к конфликтным играм, в которых цель – выигрыш одного из партнеров, а результат каждого хода игрока зависит от ответного хода партнёра по игре.

В экономике также встречаются конфликтные ситуации, например, взаимоотношения между продавцами и покупателями, поставщиками и потребителями, банком и клиентом.

Методы решения задач с конфликтной ситуацией разработаны в математической теории, которая называется теорией игр.

В теории игр формируется математическая модель конфликтной ситуации (игры), в которой участвуют противоборствующие стороны (игроки), стремящиеся к выигрышу (исходу конфликта).

Для любой формализованной игры вводятся правила, которые определяют варианты действия игроков; объем информации каждого игрока о поведении партнера; а также выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий.

Обычно выигрыш или проигрыш может быть задан количественно, например, выигрыш — 1; проигрыш — 0; ничья — 1/2. Если в игре участвуют 2 игрока, то игру называют парной, а если игроков больше двух, то игра называется множественной.

Пусть имеются два игрока А и В. Их интересы противоположны. Игра — это ряд действий игроков А и В. Игра называется игрой с нулевой суммой или антагонистической, если интересы игроков противоположны (выигрыш одного игрока равен проигрышу другого). В этом случае a = – b , где а — выигрыш игрока А, b — выигрыш игрока В.

Ходом игрока называют выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий. Если личный ход — это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматах), то случайный ход — это случайно выбранное действие (например, бросание игральной кости или выбор карты из колоды). Совокупность правил, определяющих выбор игрока в зависимости от ситуации, называют стратегией.

Когда все решения игрока в ответ на конкретную ситуацию можно сформулировать заранее, то это называется выбором определенной стратегии (например, в компьютерной игре). Игра называется конечной, если у игрока имеется конечное число стратегий. Решение игры — это выбор каждым игроком такой стратегии, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один игрок должен получить максимальный выигрыш, когда другой игрок придерживается своей стратегии. в то же время другой игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными.

Если игра повторяется много раз, то игроков интересует выигрыш или

m21

A,...,A,A

n21

B,...,B,B

ijij

ab 

n,...,1j,m,...,1i,aA





5a12

5a21

22



 





 







nm

m21

A,...,A,A

проигрыш в среднем.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии каждого игрока.

При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов. Важнейшее ограничение теории игр — единственность выигрыша, как показателя эффективности. Однако большинство экономических задач имеют более одного показателя эффективности. Кроме того, в экономике, как правило, возникают ситуации, где интересы партнеров не антагонистические.

Рассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок A имеет m стратегий

, а игрок B имеет n стратегий

Пусть в результате выбора игроками любой пары стратегий игры определяется однозначно: выигрыш игрока A равен рока B равен

Матрица рыши, соответствующие стратегиям

, элементами которой являются выиг-

, называется платежной матрицей

, размерность игры — mn.

исход

и проигрыш иг-

или матрицей игры.

Пример.

Игрок A может спрятаться в одном из убежищ I или II. Если игрок B найдет игрока A, то получает от игрока A 5 у.е., а если не найдет, то платит игроку A 5 у.е.

У игрока A имеются две стратегии: А1 — он прячется в убежище I и А2 — он прячется в убежище II.

У игрока B имеются также две стратегии: В1 — он ищет игрока A в убежище I и В2 — он ищет игрока A в убежище II.

Если игрок A спрятался в убежище I и игрок B его обнаружил (стратегия A1B1), то игрок A платит игроку B 5 у.е. (

). Аналогично для стратегии

A2B2 (

ЕслиA находится в убежище I, а B его не обнаружил (стратегия A1B2), то игрок A получает 5 у.е. (

мерность игры равна

). Аналогично для стратегии A2B1 (

). Раз-

Платежная матрица игры — это матрица

Рассмотрим теперь игру

Определим наилучшую стратегию игрока A среди стратегий

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]