Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономико-математические методы и модели. Курс лекций
.pdf
Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных: пер-
1
x
1
x
2
x
.
11320
23112
1
1
1
2
1320
1320
1320
3112
3
1
3
2
2432
1320
7104
3112
2
1
1
x
,04
20
12
M
2
2rr
BA
1
x
2
x
13
Cx
24
Cx
2
x
1
x
2
x
212432
C
2
1
C
2
3
2
1
x,xx31x2
,C
2
7
C
2
1
2
3
C3CC
2
1
C
2
3
2
1
2x3xx2x2
2121214321
.C
4
7
C
4
1
4
3
x
211
вая строка матрицы B (первое уравнение системы) остается без изменений, из
второго исключается
, из третьего
и
, и т.д. Преобразования матрицы B
выглядят так:
Сначала в первом столбце во второй и четвертых строках сформированы
нулевые элементы. Для этого используется первая строка: умножая ее на
прибавим ее ко второй, а умножая на
, прибавим к четвертой (в третьей
строке первый элемент уже нулевой — эта строка переписывается без изменения). Теперь неизвестная
исключена из всех уравнений, кроме первого. Уже
сейчас видно, что третья и четвертая строки новой матрицы пропорциональны
второй строке. Это означает, что третье и четвертое уравнения являются следствием второго и их из системы можно просто исключить — в матрице остаются только две строки. Поскольку минор
,
то, очевидно,
и
, а
и
, система совместна, базисными переменными являются
– свободные переменные.
Проделанные преобразования матрицы B — это прямой ход метода Гаусса.
Теперь предстоит провести обратный ход — начиная с последнего уравнения
найти неизвестные
и
. Второе уравнение (вторая строка) позволяет найти
:
,
а из первого уравнения (первой строки) получаем:
так что
11
Таким образом, мы получили то же самое общее решение (*) системы
.1x2xxx
,0xxx
,18x2x2xx3
4321
421
4321
.
10100
158140
12111
158140
10100
12111
182213
02011
12111
12111
02011
182213
3
1
x
1
x
2
x
04141
321
x,x,x
Cx4
1x3
C24x,C816C8115x8x15x4
2432
4C21C241x2xx1x
4321
уравнений.
В самом общем случае число уравнений m не равно числу неизвестных n.
Система уравнений может быть неоднородной или однородной. Теория Кронекера-Капелли и метод Гаусса применимы в любой ситуации.
Рассмотрим еще два примера.
Пример 2. Решить систему уравнений
Решение.
Преобразуем матрицу B:
Пояснения. Сначала мы переставили первую и третью строки — так удоб-
нее формировать нулевые элементы в первом столбце. Затем ко второй строке
прибавили первую, а к третьей — первую, умноженную на
. Затем переста-
вили вторую и третью строки. В результате из второго уравнения системы исключена неизвестная
, а из третьего —
и
. Прямой ход метода Гаусса
завершен. Двигаясь от последней строки к первой, находим все неизвестные —
это обратный ход. Поскольку самый левый минор 3-го порядка имеет треугольный вид, он равен произведению диагональных элементов
Выбирая его в качестве базисного, считаем
— свободной. Последовательно получаем:
базисными переменными, а
;
;
.
.
Общее решение найдено
12
C
1
C24
4
CX
.
3
1
2
231
321
112
B
4
0
1
550
550
321
3
2
1
231
112
321
3
1
2
231
321
112
4
0
1
000
550
321
40
3r,2r
BA
1
x
2
x
.0bxaxa
2211
1
x
2
x
.0bxaxa
2211
Система имеет бесконечное число решений.
Пример 3. Исследовать систему уравнений, расширенная матрица которой
имеет вид:
.
Решение.
.
В результате преобразований в матрице появилась строка (третья), которой
соответствует противоречивое уравнение
же очевидно, что
, поэтому система несовместна.
. Из полученной структуры так-
1.2. Линейные неравенства и область решений
системы линейных неравенств
Рассмотрим линейное неравенство с двумя переменными
(1.2.1)
и
:
Если рассматривать
и
как координаты точки на плоскости, то мно-
жество всех точек плоскости, удовлетворяющих неравенству (1.2.1), называется
областью решений неравенства. Очевидно, это точки полуплоскости, находя-
щиеся выше или ниже прямой
(1.2.2)
13
lkxx
12
lkxx
12
0a2
hx1
hx1
hx1
,0bxaxa
.................................
,0bxaxa
,0bxaxa
m22m11m
2222121
1212111
D
AB
.042x7x6
,03xx
,01x
,01x
21
21
2
1
,01x
1
,01x
2
,03xx
21
.042x7x6
21
Чтобы понять, какая из двух полуплоскостей удовлетворяет неравенству
(1.2.1), его приводят к виду
или
. В первом случае полу-
плоскость находится выше прямой (1.2.2), во втором — ниже ее. Если же
, то неравенство приводится к виду
или
и полуплоскость
находится справа или слева от прямой
.
Если задана система m неравенств
(1.2.3)
то областью решений является пересечение (общая часть) полуплоскостей, образующее некоторую многоугольную область
. Эта область может быть
ограниченной, неограниченной и даже пустой (например, в случае, если система неравенств (1.2.3) противоречива).
Область решений обладает важным свойством — она является выпуклой.
Это означает, что если какие-либо две точки A и B принадлежат области, то
в область входит и весь отрезок
.
Пример. Найти область решений системы неравенств
Решение. Заменим знаки неравенств на знаки равенств и получим уравне-
ния четырех прямых:
(1)
(2)
(3)
(4)
Эти прямые изображены на рис. 1. Чтобы найти область решений, задан-
ные неравенства приведем к виду
14
.6x
7
6
x
,3xx
,1x
,1x
12
12
2
1
.0bxaxaxa
.............................................
,0bxaxaxa
,0bxaxaxa
m33m22m11m
2323222121
1313212111
2
x
Рис. 1.
D
0 4 2 6 4
2
(4)
(3)
(2)
(1)
1
x
Штриховка показывает те из полуплоскостей, которые являются решени-
ями соответствующих неравенств: область решений D всей системы неравенств находится справа от прямой (1), выше прямых (2) и (3), ниже прямой (4)
и является выпуклым четырехугольником.
Аналогично истолковывается геометрически и система неравенств с тремя
переменными:
(1.2.4)
Здесь каждое из неравенств выполняется для одного из полупространств,
на которые разбивает трехмерное пространство соответствующая плоскость.
Решение системы неравенств (1.2.4) представляет собой пересечение полупространств, т.е. некоторую многогранную область в трехмерном пространстве.
1.3. Основная задача линейного программирования.
Графический метод решения
К линейному программированию относятся задачи математического про-
граммирования, в которых все зависимости между переменными, характеризу-
15
ющими состояние объекта, являются линейными. Практика показывает, что
Вид ресурса
Запас ресурса
Число единиц ресурсов, необходимое для
изготовления единицы продукции
П1 П2 Р1
18 1 3
Р2
16 2 1
Р3 5 - 1 Р4
21 3 -
большинство экономических процессов достаточно полно описывается линейными моделями. Так, по оценкам более 70% от общего числа применяемых оптимизационных методов приходится на линейное программирование. Примерно четверть компьютерного времени, затраченного в последние годы на проведение научных исследований, была отведена решению задач линейного программирования и их многочисленных модификаций.
Главная особенность задачи линейного программирования заключается в
том, что экстремум всегда находится на границе множества. Основные вычислительные проблемы решения задач линейного программирования состоят в
определении границы множества допустимых решений и вычисления значений
целевой функции в точках границы для нахождения оптимума. Поэтому применение классических методов математического анализа и линейной алгебры
для решения задач линейного программирования оказывается неэффективным:
развит специальный аппарат линейного программирования, который позволяет
находить условный экстремум на множестве решений, заданном линейными
уравнениями и неравенствами.
Линейное программирование представляет собой наиболее часто исполь-
зуемый метод оптимизации. Этим методом решаются задачи:
рационального использования сырья и материалов;
оптимизации раскроя;
оптимизации производственной программы предприятий;
оптимального размещения и концентрации производства;
оптимального плана перевозок,
управления производственными запасами.
Важно отметить широкое использование специального компьютерного
обеспечения для решения задач линейного программирования (среда MS Excel).
Рассмотрим два примера.
Пример 1. Продукция двух видов П1 и П2 изготавливается с использованием
четырех видов ресурсов Р1, Р2, Р3, Р4. Число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, и запасы ресурсов приведены в таблице.
Таблица
Прибыль, получаемая от единиц продукции Р1 и Р2, равна соответственно 2
и 3 у.е. Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.
16
Математическая формулировка задачи
.21x3
,5x
,16xx2
,18x3x
1
2
21
21
0x,0x
21
maxx3x2L
21
Питательные
Вещества
Необходимый ми-
нимум питательных
веществ
Количество питательных
веществ в единице корма
К1 К2
В1 9 3 1 В2 8 1 2 В3
12 1 6
Обозначим через х1 и х2 число единиц продукции П1 и П2 соответственно,
запланированных к производству. Для их изготовления потребуется (1х1+3х2)
единиц ресурса Р1, (2х1+1х2) единиц ресурса Р2, (1х2) единиц ресурса Р3 и (3х1)
единиц ресурса Р4. Потребление ресурсов Р1, Р2, Р3, Р4 не должно превышать
величин запасов (18, 16, 5 и 21 единиц соответственно). Поэтому взаимосвязь
между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:
(1.3.1)
Переменные х1 и х2 задачи не могут отрицательными:
. (1.3.2)
Общая прибыль L составит 2х1 у.е. для продукции П1 и 3х2 у.е. для про-
дукции П
и должна быть максимизирована:
2
(1.3.3)
Таким образом экономико-математическая модель задачи заключается в
нахождении плана выпуска продукции Х=(х1, х2), при котором общая прибыль
L принимает максимальное значение при условиях (1.3.1) и (1.3.2).
Пример 2.
Два вида корма К1 и К2 содержат питательные вещества В1, В2, В3. Необходимый минимум питательных веществ и количество питательных веществ в
единице каждого вида корма приведены в таблице.
Таблица
Стоимость единицы корма К1 и К2 равна 4 и 6 у.е. соответственно. Необходимо составить рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содер-
17
жание каждого вида питательных веществ было бы не меньше необходимого
.12x6x
,8x2x
,9xx3
21
21
21
.0x,0x
21
minx6x4L
21
минимума.
Математическая формулировка задачи
Обозначим через х1 и х2 количество кормов К1 и К2 соответственно. Этот
рацион будет включать (3х1+1х2) единиц питательного вещества В1, (1х1+2х2)
единиц питательного вещества В2 и (1х1+6х2) единиц питательного вещества
В3. Содержание питательных веществ В1, В2, В3, в рационе должно быть не менее 9, 8, 12 единиц соответственно. Поэтому имеем следующую систему неравенств:
(1.3.4)
По-прежнему
(1.3.5)
Общая стоимость рациона (в у.е.) должна быть минимизирована:
(1.3.6)
Таким образом экономико-математическая модель задачи заключается в
нахождении рациона Х=(х1, х2), при котором общие затраты на корм L (1.3.6) ми-
нимальны при условиях полноценного питания (1.3.4) и ограничениях (1.3.5).
В общем случае задача линейного программирования состоит в отыскании
наибольшего (наименьшего) значения линейной функции при наличии линейных ограничений. Знаки неравенств в ограничениях, как это видно из (1.3.1) и
(1.3.4), могут быть разными. Это совершенно не принципиально: умножением
всех членов неравенства на –1 можно изменить знак неравенства на противоположный. Поэтому знаки неравенств в ограничениях обычно выбирают одинаковыми (это не относится к условиям вида (1.3.2) или (1.3.5): переменные по
своему экономическому смыслу всегда неотрицательны).
Функция, наибольшее или наименьшее значение которой находится, называется целевой функцией, а совокупность значений переменных, при которых
достигается экстремум целевой функции, определяет так называемый опти-
мальный план. Любая другая совокупность значений переменных, удовлетворяющая ограничениям, называется допустимым планом (решением).
В общей постановке задачи линейного программирования ограничения задаются системой m линейных неравенств с n переменными:
18
.bxa...xaxa
.............................................
,bxa...xaxa
,bxa...xaxa
mnmn22m11m
2nn2222121
1nn1212111
nn2211
xc...xcxcL
2n
2n
1
x
2
x
2211
xcxcL
ConstLL
0
02211
Lxcxc
21
c,cN
21
Oxx
N
2211
xcxcL
21
x3x2L
.0x
,0x
,21x3
,5x
,16xx2
,18x3x
2
1
1
2
21
21
Среди неотрицательных решений этой системы необходимо найти такое,
при котором целевая функция
принимает наибольшее (наименьшее) значение.
В общем случае (если число переменных
) разработан аналитический
метод решения задачи линейного программирования (симплексный метод или
симплекс-метод). Если же
, задача решается графически. Изучение этого
метода в учебных целях позволяет лучше понять особенности таких задач.
Идея графического метода состоит в следующем. Мы уже знаем (см. п.
1.2), что системе ограничений в виде линейных неравенств относительно переменных
,
соответствует область решений в виде выпуклого многоуголь-
ника. Целевая функция
на прямой
нормальному вектору
ла координат системы
(его обычно изображают выходящим из нача-
). Если эту прямую передвигать параллельно са-
мой себе в положительном направлении вектора
принимает постоянное значение
; эта прямая перпендикулярна своему
, то целевая функция
будет возрастать, а в противоположном направлении — убывать.
Из геометрических соображений очевидно, что из всевозможных положений
прямой нас интересует либо самое левое, либо самое правое (в зависимости от
того, ищем мы минимум или максимум целевой функции). При этом либо прямая имеет одну общую точку с многоугольником решений (проходит через его
вершину), либо таких точек бесконечное количество (прямая проходит через
сторону многоугольника).
В качестве примера найдем решение графическим методом задачи из примера 1: максимизировать линейную функцию
при ограничениях:
19
Решение.
,18x3x
21
,16xx2
21
,5x2
,21x31
,0x1
.0x2
3;2N
Constx3x2L
21
.6Const
.16xx2
,18x3x
21
21
24LL
max
6L
(2)
(1)
2
x
N
E
D
C
B
A
1
x
8
12
10 8 6 6 0
4
4
2
2
Рис. 2.
Заменим знаки неравенств знаками точных равенств и построим область
решения, ограниченную прямыми:
(BC)
(CD)
(AB)
(DE)
(OA)
(OE)
В соответствии со знаками неравенств, задающих ограничения в данной
задаче, область решений находится справа от прямой OA, слева от DE, выше
прямой OE и ниже прямых AB, BC, CD. Она представляет собой многоугольник OABCDE, обведенный жирным контуром (рис.2).
На рис. 2 изображен вектор
мейства прямых
, являющийся нормальным для се-
, определяющих линии постоянного
уровня целевой функции. Одна из этих прямых (1) соответствует
Если передвигать эту прямую в положительном направлении вектора N, зна-
чения уровня будут возрастать, и в тот момент, когда прямая будет иметь одну
общую точку (точку С) с областью решений, целевая функция достигнет максимального значения. Координаты точки С легко найти как решения системы
уравнений, описывающих прямые BC и CD:
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]