Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая математика. Процентные ставки и потоки платежей. Учебное пособие к практическим занятиям
.pdf
Контрольные вопросы:
1. В каких случаях из жизни используются потоки плате-
жей?
2.
В чем отличие между платежами постнумерандо и пре-
нумерандо?
3.
Каким образом определяется срок платежа?
4.
Каким образом определяется сумма платежа ?
Задания для самостоятельного решения
1. Фирма решила создать резервный фонд в размере 600
млн. тг. Взносы в размере 66,834 млн. тг. вносятся в конце каждого года под годовую процентную ставку 15%. Сколько времени будет формироваться фонд?
2.
На счет в банке вносится ежегодно постнумерандо
сумма в 5000 долларов под 5% годовых. Какая сумма окажется
на счете через 10 лет?
3.
Сколько денег можно накопить в банке в течение года,
внося ежеквартально по 200 $ во вклад под 14% годовых?
4.
Сколько денег можно накопить в банке в течение двух
лет, внося ежемесячно по 150 $ во вклад под 12% годовых?
5.
Рассматриваются две схемы вложения денег на 5 лет: в
начале каждого года под 14% годовых или в конце каждого года
под 18% годовых. Какая схема выгоднее?
6.
Рассматриваются два варианта покупки квартиры: за-
платить сразу 120 тыс. $ или платить ежемесячно по 400 $. в течение 10 лет при ставке 8% годовых?
7.
За какой срок сумма в 50 тыс. тг. достигнет 100 тыс. тг.
при начислении процентов два раза в году по годовой процентной ставке 16%?
8.
Ссуда 60 тыс. долларов, выданная под 6% годовых по-
гашается ежеквартальными платежами по 8 тыс. долларов. Рассчитайте срок погашения ссуды.
9.
Пенсионер накопил в банке к моменту выхода на пен-
сию 300000 тг. В конце каждого месяца ему начисляют пенсию в
размере 20000 тг. Банк обеспечивает по пенсионному вкладу
14% годовых. Сколько лет пенсионер сможет снимать со своего
вклада в конце каждого месяца по 30000 тг.?
51
51
10. Вы берете в банке ипотечную ссуду на покупку кварти-
ры 750000 тг. Первый взнос составляет 15% от стоимости квартиры. Годовая ставка банка 6%. Срок погашения 10 лет. Каковы
должны быть ежемесячные взносы в банк, общая сумма, которую Вам придется заплатить, и Ваша переплата банку?
Пенсия начисляется пенсионеру в начале каждого ме-
11.
сяца в размере 10000 тг. в банке. Какая сумма накопится через 5
лет, если банк обеспечивает14,5% годовых? Какая сумма накопилась бы у пенсионера, если бы он копил пенсию в укромном
уголке?
Сколько денег нужно положить в банк сегодня, чтобы
12.
при ежемесячных вложениях по 15000 тг. и процентной ставке
12% в год через 5 лет накопить сумму 500000 тг.?
Ваша фирма собирается дать кредит в размере 1 000
13.
000 тг. сроком на 5 лет с ежегодным погашением по 200 000 тг.
Под какой процент следует дать кредит, чтобы в конце срока
получить обратно в общей сложности 1 500 000 тг.?
У вас есть 50 000 тг. Вы решили через 3 года накопить
14.
на автомашину 100 000 тг. Вы вложили деньги в банк под 12%
годовых. Какую сумму Вам необходимо вносит ежемесячно?
Ансар решил купить катер, на данный момент у него
15.
есть 120000 тг., лодка стоит 1000000 тенге, какую сумму он
должен вносить в банк ежеквартально, если он вложил свои
деньги вложить в банк под 13% на 2 года?
Вы решили накопить в банке 3000 000 тг. на квартиру.
16.
Вначале Вы внесли 500 000 тг. и можете вкладывать в банк ежемесячно по 75000 тг. Банк имеет годовую процентную ставку
11%. Сколько времени Вам придется копить эти деньги? Сколько времени Вы копили бы деньги дома?
На счет в банке вносится ежегодно постнумерандо
17.
сумма в 15000 долларов под 8% годовых. Какая сумма окажется
на счете через 12 лет?
Рассматриваются две схемы вложения денег на 7 лет: в
18.
начале каждого года под 13% годовых или в конце каждого года
под 15% годовых. Какая схема выгоднее?
Рассматриваются два варианта покупки квартиры: за-
19.
платить сразу 80 тыс. $ или платить ежемесячно по 350 $. в течение 10 лет при ставке 8% годовых? Какой вариант выгоднее?
52
52
20. За какой срок мы получим сумма в 10 раз больше чем
100 тыс. тг. при начислении процентов два раза в году по годовой процентной ставке 14%?
21.
Ссуда 12 тыс. долларов, выданная под 10% годовых по-
гашается ежеквартальными платежами по 3 тыс. долларов. Рассчитайте срок погашения ссуды.
22.
Фирма должна выплатить кредит 100 млн. тг. ежегод-
ными платежами по 6 млн. тг. Процентная ставка согласно договору между кредитором и фирмой установлена 10% годовых.
Нужно определить срок платежа.
23.
Сколько денег надо вложить, чтобы через 2 года
получить 500 тыс.тенге при ежеквартальных вложениях в 30000
тенге, при ставках 10%, 12%, 14% годовых.
24.
Сколько получи студент, если за 4 года учебы будет
один раз в 4 месяца будет вкладывать стипендию в размере
15000 тг. в банк под 14% годовых (рента пренумерандо и постнумерандо)
25.
В начале каждого месяца начисляется сумма в размере
100000 тг. в банке. Какая сумма накопится через 5 лет, если банк
обеспечивает14,5% годовых? Какая сумма накопилась эти деньги копить дома?
26.
Сколько денег нужно положить в банк сегодня, чтобы
при ежемесячных вложениях по 25000 тг. и процентной ставке
11% в год через 5 лет накопить сумму 250000 тг.?
27.
Фирма собирается дать кредит в размере 2 000 000 тг.
сроком на 5 лет с ежегодным погашением по 150 000 тг. Под какой процент следует дать кредит, чтобы в конце срока получить
обратно в общей сложности 2 500 000 тг.?
28.
У Мадины есть 150 000 тг. Она решила через 3 года
накопить на автомашину 1000 000 тг., вложила деньги в банк
под 12% годовых. Какую сумму необходимо вносить ежемесячно?
29.
Необходимо накопить в банке 2000 000 тг. Вначале
внесли 500 000 тг. и вкладывают в банк ежемесячно по 35000 тг.
Банк имеет годовую процентную ставку 12%. Сколько времени
придется копить эти деньги?
30.
Необходимо накопить в банке 2500 000 тг. Каждый ме-
сяц вкладывают в банк 135000 тг. Банк имеет годовую процентную ставку 12%. Сколько времени придется копить эти деньги?
53
53
7. ВЫПЛАТЫ p РАЗ В ГОДУ, А НАЧИСЛЕНИЕ ПРО-
ЦЕНТОВ m РАЗ В ГОДУ
7.1. Краткие сведения
Определим абсолютное значение наращенной суммы для
наиболее общего случая: р - срочная рента с начислением процентов m раз в году.
Пусть С - это постоянная рента, начисляемая р раз в году.
Число выплат ренты за k лет равно k·p. Количество начислений процентов в году равно m.
За период m/p года на каждую выплату
i
m/p
)
ты в размере (1+
Если выплаты идут пренумерандо, то к концу k·p-ого пе-
1)
.
m
С нарастают процен-
риода сумма выплат составит
S=C·(1+i/m)
=C· (1+i/m)
m/p
+ C· (1+i/m)
m/p
· [1+ (1+i/m)
2m/p
+···+ C· (1+i/m)
m/p
+···+ (1+i/m)
k·p·m/p
(kp-1)·m/p
=
].
Это сумма геометрической прогрессии с первым членом
а C·(1+i/m)
m/p
и частным q= (1+i/m)
m/p
.
Она равна:
kpm/p
(1 /m) 1
/
·
· (1 / )
SC im
mp
(1 /m) 1
i
m/p
i
При p=m эта формула плавно переходит в (6.1).
Если выплаты поступают постнумерандо, то к концу k-ого
2)
года сумма выплат составит
/1··/
SC C im C im
1/ ··· 1/
mp kp mp
В этом случае
54
54
(1 /m) 1
SC
(1 /m) 1
i
m/p
.
kpm/p
i
При p=m эта формула переходит в (6.2).
Обе формулы объединим в одну
kpm/p
(1 r/m) 1
SC imтип
·
(1 r/m) 1
m/p
1(/·)
/
mp
тип=1 для выплат пренумерандо и тип=0 для выплат постнумерандо.
Уравнение эквивалентности приобретает вид
km
i
(1 /m) 1
·
SP im C imтип
1/ ·1/·()0
mk
(1 i/m) 1
m/p
/
mp
Из него можно определить любые из восьми величин S, P, c,
i, k, m, p через остальные семь.
7.2. Решение типовых примеров
Пример 1:
Создается страховой фонд фирмы общей суммой
10 млн. тг. Фонд должен быть создан в течение 5 лет. Взносы в
фонд производятся ежемесячно пренумерандо. Проценты начисляются ежеквартально по процентной ставке 18% годовых.
Определите размер платежа и сумму, накопленную через 3 года.
Дано: Решение:
pm
P=0
S=10 млн.тг
k=5
С=
FV
mr
/
mr
/1
km
1
mr
/11/1
pm
/
p=12
m=4
i=0.18
55
55
Найти:
C-?
S (k=3)-?
Ответ:
C=-0.103174 млн.
S=4,929337 млн.
54
4/18,01
тгмлн
С=
10
Через 3 года сумма фонда составит
S
=
3
)103174,0(
12/4
4/18,01
..174103,0
1
4/18,01
4/18,01
4/18,011
34
1
12/4
1
тгмлн
12/4
..929337,4
12/4
4/18,01
Пример 2:
Фирма дала дочерней фирме в кредит 3 млн. тг.. с
условием возвращения долга в течение 5 лет равномерными
платежами по 0,2 млн. тг.. ежеквартально постнумерандо при
условии начисления процентов раз в полгода. Какова эффективность этой сделки?
Дано:
P=3 млн. тенге
S=0
С=-0,2 млн. тенге
Решение:
i
эфф.=
52
r
2/13
11,8%
2,0
52
r
2/1
4/2
r
2/1
1
0
1
k=5
m=2
р=4
Найти:
i-?
Ответ:
i=11,8%
Пример 3:
Есть несколько вариантов для покупки квартиры
в новом доме стоимостью 300 тыс. усл.ден.ед..:
Для молодых семей – 15%-ый первый взнос авансом, а
1)
остаток стоимости выплачивается по льготному государственному кредиту в течение 20-ти лет по 5% годовых. Платежи осуществляются равными годовыми суммами в конце каждого года.
56
56
2) Аванс – 15%. Остальная сумма выплачивается в кредит
сроком на 2 года по номинальной процентной ставке 20% годовых. Проценты начисляются 4 раза в год, а платежи происходят
ежемесячно.
Аванс – 10%. Предусмотрена отсрочка платежей на один
3)
год. Оставшаяся сумма выплачивается в течение трех лет равными месячными платежами с ежемесячным начислением процентов. Номинальная процентная ставка кредита 18%.
Требуется рассчитать периодические выплаты и общую
сумму выплат во всех трех случаях.
Условия и финансовые последствия вариантов 1 - 3 приведе-
ны в таблице.
Принятые обозначения:
Р – стоимость квартир;
q% - проценты от стоимости квартиры, отчисляемые в каче-
стве аванса;
i – номинальная процентная ставка;
k – срок кредита;
t – продолжительность отсрочки;
m – число периодов начисления процентов;
p – число периодов начисления платежей;
C– величина годового платежа;
FV – общая наращенная стоимость финансовой ренты;
S - общая сумма выплат по ипотечной ссуде, включая
– будущая сумма кредита к концу срока кредита во всех
FV
к
аванс.
трех случаях равна 0.
Таблица 2.4
№ P q % K t m p i% C PV FV S
1 300 15 20 0 1 1 5 20,462 255 676,591 721,
2 300 15 2 0 4 12 20 155,257 255 375,751 421,
3 300 10 3 1 12 12 18 140,047 270 551,739 581,
Вариант 1
591
751
739
57
57
Дано: Решение:
km
//1
k=20
i=0,05
t=0
m=1
p=1
тип=0
Найти:
C-?
S-?
Ответ:
C=-20,462
S=721,591
C
mr
CFV
mi
/
С учетом аванса молодожены в течение 20-ти лет
должны будут выплатить сумму
S=676,591+45=721,591 тыс. усл.ден.ед.
что на 421,591 тыс.усл.ден.ед. превышает первоначальную стоимость их квартиры.
mrmrPV
km
km
mi
1/1
1/1
)462,20(
Вариант 2
Стоимость кредита PV=P(1–0,15)=255 тыс. усл.ден.ед.
Дано: Решение:
k=2
i=0,2
m=4
p=12
тип=0
Найти:
C-?
S-?
Ответ:
C=-155,257
S=421, 751
C
938,12
Величина годового платежа
С= - 12,938·12= - 155,257
Наращенная стоимость финансовой ренты
CFV
mi
/1
mi
i/m1
)938,12(
imiPV
km
1/1
24
14/2,01
km
1
/
pm
1
4/2,01
4/2,01
C учетом аванса владельцы квартиры
должны будут вернуть строительной
фирме сумму
S=367,751+45=421,751
20
05,005,01255
20
105,01
20
1
05,01
05,0
pm
/km
.1/m1/1
12/424
24
12/4
14/2,014/2,01255
1
1
462,20
591,676
751,376
58
58
Вариант 3
Стоимость кредита PV=P·(1-q)=300·(1-0,1)=270
тыс.усл.ден.ед
Дано: Решение:
k=3
t=1
m=12
p=12
i=0,18
Найти:
Ответ:
C=-11,671
S=581,739
За время отсрочки платежа t стоимость кредита
вырастет по формуле сложных процентов
=PV·(1+i/m)
PV
1
m·t
=270·(1+0,18/12)12=322,817
Поскольку m=p, то ежемесячные платежи со-
ставят
km
miPV
C
mi
12/18,01
mr
//1
km
12/18,01817,322
36
1/1
312
12/18,0
1
671,11
Выплаты за год
С=-11,671·12= - 140,047 тыс. тг..
Наращенная стоимость финансовой ренты
за три года
km
CFV
mi
/
)671,11(
1/1
mi
312
12/18,01
1
12/18,0
739,551
С учетом аванса владельцам квартиры придется выплатить строительной фирме
S=551,739+30=581,739
Анализ вариантов показывает, чем больше срок кредита, тем
большую сумму придется выплачивать владельцам квартир даже
при более низкой процентной ставке.
59
59
Контрольные вопросы:
1. Какими параметрами описывается рента?
2.
В чем отличие между платежами постнумерандо и пре-
нумерандо?
3. Почему при больших сроках переплата больше даже при
более низких процентах?
Задания для самостоятельного решения
1. Фирма собирается взять кредит в размере $100 000 сро-
ком на 7 лет на приобретение сырья. Требуется выбрать наиболее выгодный (эффективный) банк по минимальной величине
отношения выплачено/получено из трех банков, имеющих следующие характеристики.
Банк Выдача Плата за оформ-
1 0,96 $350 7
2 0,955 $280 7,2
3 0,95 $350 8
Какова переплата банку по возвращении кредита?
Фирма взяла в банке кредит в размере $250 000 сроком
2.
на 7 лет под 7,2% годовых. Определить ежегодные выплаты и
составить таблицу погашения основного долга, выплат по процентам и остатка долга по годам. Построить график.
Для обеспечения будущих расходов создается фонд,
3.
средства в который поступают в виде постоянной годовой ренты в течение 3 лет. Размер ренты 2 млн. тенге. На поступившие
взносы начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определите наращенную сумму.
Для обеспечения будущих расходов создается фонд,
4.
средства в который поступают в виде постоянной годовой ренты в течение 5 лет. Размер разового платежа 1,5 млн. тенге. На
поступившие взносы начисляются проценты по ставке16% годовых. Определите полученную сумму, пересчитанную к началу
платежей.
Создается страховой фонд фирмы общей суммой10 млн.
5.
ление
Ставка
(%)
60
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]