Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовая математика. Процентные ставки и потоки платежей. Учебное пособие к практическим занятиям
.pdf
2. Рассчитать, через сколько лет вклад размеров 1
млн.тенге достигнет 1 млрд., если годовая ставка процента по
вкладу 15,79% и начисление процентов производится 1) ежеквартально, 2) ежемесячно.
Первоначально цену товара снизили на 10%, затем - на
3.
20%, потом еще на 25%. На сколько всего процентов снизили
цену?
На срочный вклад в банке зачислено 100$ по ставке 6 %
4.
годовых. Найдите накопленные на счете суммы через 0.5; 1; 5
лет при условии начисления а) простых и б) сложных процентов. Постройте соответствующие графики.
Найдите сложные проценты за полтора года, начислен-
5.
ные на 55 тыс. тенге по ставке 15 % в квартал.
Кредит размером 600 тыс.тенге на 1 год можно взять
6.
под сложные проценты 12% или простые 13% в год. При каком
условии выплата является выгодной для заемщика, при каком –
для кредитора.
Найдите современное значение инвестиции, если нара-
7.
щенная к концу пятого года сумма составляет 150 тыс.тенге.
Проценты начисляются по следующим ставкам (проценты
сложные): а) 120% в конце каждого года; б) 60 % в конце каждого полугодия.
Через сколько лет сумма в 500$ вырастет до 700$,
8.
если проценты начисляются по сложной процентной ставке:
а) 16 % годовых в конце каждого квартала; б) 14,5 % годовых в
конце каждого полугодия ?
Клиент взял кредит размером 100 000 тенге под сложные
9.
проценты на 2 год по ставке 10 % в месяц. Найдите полную
сумму долга к концу срока.
Найдите современное значение инвестиции, если нара-
10.
щенная к концу пятого года сумма составляет 25 000 тыс.тенге.
Проценты начисляются по следующим ставкам (проценты
сложные): а) 120 % в конце каждого года; б) 50 % в конце каждого полугодия.
Банк начисляет сложные проценты по ставке 15% годо-
11.
вых. вычислить наращенную сумму и полученный доход за 2 года, если на счете 100 тыс.тенге.
Вычислите сложные проценты за 2,5 года, начисляемые
12.
на 15 тыс.тенге по ставке 12% за каждое полугодие.
31
31
13. Сравните величины дохода, если на сумму 2000
тыс.тенге, инвестированную на 3 года, начисляются сложные
проценты по ставке 9% годовых: а) ежемесячно; б) по полугодиям; в) ежеквартально; г) ежегодно.
Определить число лет, за которые первоначальная сумма
14.
увеличится в 3 раза при годовой ставке 5%.
Финансовая компания обещает, что вложенная сумма
15.
удвоится за квартал. Определите годовую ставку при вложении
средств на 9 месяцев, полгода, год.
По договору предусматривается возмещение долга 200
16.
тыс.тенге через 2 гола. Какова ставка сложных процентов, если
первоначальная сумма долга составляет 100 тыс.тенге.
Фирме нужно накопить 2 млн.долларов, чтобы через 10
17.
лет приобрести здание под офис. Наиболее безопасным способом накопления является приобретение безрисковых государственных ценных бумаг, генерирующих годовой доход по ставке
8% при полугодовом начислении процентов. Каким должен
быть первоначальный вклад фирмы?
Определить, какое помещение денег на срок 6 месяцев
18.
выгоднее: а) под простую ставку процентов в 30% годовых; б)
под сложную ставку в 29% годовых при ежеквартальном начислении процентов.
В банк положено 15 000 тенге, через 1 год и 3 месяца на
19.
счету оказалось 16 351 тенге. Сколько сложных процентов выплачивает банк?
На бирже ценных бумаг акции од
20.
На бирже ценных бумаг акции одой фирмы продавались
21.
по цене 40 000 тенге. После непредвиденных осложнений фирма
вынуждена была дважды понизить цену на свои акции на один и
тот же процент. В результате акции начали продаваться по цене
282240 тенге. Найти процент уценки.
Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%. На
22.
сколько процентов теперь необходимо увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть первоначального уровня?
На опытном участке ежегодный прирост древесины со-
23.
ставляет 10%. Какое количество древесины будет через четыре
года, если первоначальное количество древесины 20000 м.
После двух последовательных повышений зарплата со-
24.
ставила 5/2 первоначальной. На сколько процентов повысилась
32
32
зарплата в первый раз, если второе повышение было в четыре
раза больше первого, в процентном отношении?
В букинистическом магазине собрание сочинений стои-
25.
мостью 100000 тенге уценивали дважды на одно и тоже число
процентов. После уценки книги стали стоить 25 000 тенге.
Найдите процент уценки.
Коммерческие банки С и В начисляют доход один раз в
26.
полгода, причем банк С по простой ставке, а банк В по сложной
ставке процентов. Через год в этих банках средства инвестора
увеличиваются на 60 %. В какой банк выгоднее положить деньги
на полгода и в какой на полтора года?
Инвестор хочет поместить 100 000 $ на десять с полови-
27.
ной лет под сложную процентную ставку в 15 % годовых
Есть вложение в 1 000 $ США под процентную ставку в
28.
6 % годовых. Проценты начисляются ежеквартально. Какая
сумма денег будет на счете через 5 лет.
На срочный вклад в банке зачислено 200 $ по ставке 10
29.
% годовых. Найдите накопленные на счете суммы через 0.5; 1;
5 лет при условии начисления а) простых и б) сложных процентов. Постройте соответствующие графики.
На срочный вклад в банке зачислено 200 $ по ставке 12
30.
% годовых. Найдите накопленные на счете суммы через 0.5; 2;
5 лет при условии начисления а) простых и б) сложных процентов. Постройте соответствующие графики.
33
33
5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК
5.1. Краткие сведения
Эквивалентные процентные ставки – такие ставки, значения,
которых в конкретных условиях приводят к одинаковым финансовым результатам, т.е. замена одного вида ставки на другой при
соблюдении принципа эквивалентности не изменяет финансовых отношений сторон в рамках одной операции.
Рассмотрим эквивалентность номинальной и эффективной
процентных ставок.
Эффективная процентная ставка – годовая ставка
процентов, которая дает тот же результат, что и m – разовое
начисление процентов по ставке j/m.
Обозначим эффективную ставку через i. По определению
множители наращения по двум видам ставок (эффективной и
номинальной при m-разовом начислении) должны быть равны
друг другу.
mn
j
n
i
откуда
j
i (5.2)
m
или
В общем случае для нахождения эквивалентной ставки необходимо приравнять соответствующие множители наращения и
из этого равенства определить нужную ставку.
5.2. Решение типовых примеров
11 (5.1)
m
m
11
m
11
imj (5.3)
сложных
34
34
Пример 1:
торая обеспечивала бы годовую доходность в 26 %, если начисление процентов происходит ежемесячно (проценты сложные).
Дано:
m
Найти:
j=?
Ответ: 23%
Пример 2: Для номинальной ставки 20 % с начислением
процентов 2 раза в год найдите эквивалентную ставку, проценты
по которой выплачиваются ежемесячно (проценты сложные).
Дано:
12
m
i
2
m
1
Найти:
j=?
Ответ: 19%
Определить номинальную ставку процентов, ко-
Решение:
26.0%2612i
2.0%20
из формулы (5.3) получим
12
Решение:
обозначим через j номинальную ставку
с начислением процентов m раз в год,
через j
лением процентов m
Приравняем соответствующие множители наращения
В таком случае наша искомая ставка
номинальную ставку с начис-
1
nm
j
m
mj
1260112
,j 0,23, или 23 %.
раз в год.
1
nm
1
m
1
j
1
11
m
1
m
1
j
1
1
m
1
, тогда
.
35
35
12
j или %19 .
Пример 3: Каковы будут эквивалентные номинальные про-
центные ставки с полугодовым начислением процентов и ежемесячным начислением процентов, если соответствующая им
эффективная ставка должна быть равна 25%?
Дано:
2
m
1
12
m
2
i
Найти:
j=?
Ответ: 23,6%
22,5%
эквивалентна 10 тыс.тенге, выплачиваемых через 10 лет от
настоящего момента, если норма процента равна 5% в год?
Дано:
1
3
n
i
Найти:
=?
S
2
Пример 4: Какая сумма при выплате через 3 года
05.0%5
25.0%25
._10000
тгS
Находим номинальную ставку для полугодового начисления процентов:
j = m[(1 + i)1 / m - 1] = 2[(1 + 0,25)1/2 1] = 0,23607.
Находим номинальную ставку для ежемесячного начисления процентов:
j = m[(1 + i)1 / m - 1] = 4[(1 + 0,25)1/12 1] = 0,22523.
Решение:
Эквивалентная процентная ставка:
j = (1+ i)m/n -1 =(1+ 0,05)10/3 -1;
(1+ i)m = (1+ j)n = (1 + 0,05)10
(1+ j)n = (1 + 0,05)10 = 1,6289
Отсюда:
(1+ i)3 =1,6289; (1+ i) = 1,1768; i =
0,1768 ≈ 17,7%
По ставке сложного процента:
112
Решение:
2
20,0
2
19,01
36
36
Ответ: 7139 тг.
Какие процентные ставки называются эквивалентными?
1.
Понятие номинальной процентной ставки.
2.
Понятие эффективной процентной ставки.
3.
Нахождение эквивалентной процентной ставки в общем
4.
случае.
Задания для самостоятельного решения
Годовая эффективная процентная ставка составляет
1.
25%. Вычислите полугодовую эффективную и соответствующую номинальную ставку.
При разработке условий контракта стороны договори-
2.
лись о том, что доходность кредита должна составлять 24% годовых. Каков должен быть размер номинальной ставки при
начислении процентов ежемесячно, поквартально?
Кредит предоставлен с начислением на первоначальную
3.
сумму 25% простых годовых. Какова должна быть эквивалентная ставка сложных процентов при сроке кредита а) 3 года; б) 3
месяца?
Банк начисляет сложные проценты на вклады по номи-
4.
нальной ставке 5% годовых. Определите доходность данной
операции по годовой ставке простых процентов, если проценты
начисляются ежемесячно.
Банк начисляет сложные проценты на вклады по номи-
5.
нальной ставке 5% годовых. Определите доходность данной
операции по номинальной ставке сложных процентов, если проценты начисляются ежеквартально.
Если номинальная ставка по вкладу равна 18%, и про-
6.
центы начисляются каждый месяц, то какова будет эффективная
ставка?
При n = 3 и 5 %
Будущая стоимость единицы: 1,1576
Sn = P(1+i)n
Р = 10000/1,6289 = 6139,11 тг.
Тогда: 6139,11*1,1576 = 7139,63 тг.
Контрольные вопросы:
37
37
7. На депозитный сертификат сроком на 3 года начисляются простые проценты по ставке 15% годовых. Определить эквивалентную ставку сложных процентов.
На вклад ежеквартально начисляются проценты по но-
8.
минальной годовой ставке 12%. Определить доходность по
сложной ставке процентов.
Вложенная сумма увеличивается на 0,46% ежедневно с
9.
начислением процентов на проценты. Определить эффективную
годовую ставку процентов за 3 месяца, полгода, год.
Определить номинальную ставку процентов, которая
10.
обеспечивала бы годовую доходность в 20 %, если начисление
процентов происходит ежемесячно (проценты сложные).
Найти наращенную на 450$ сумму, инвестированную на
11.
5 месяцев по номинальной ставке 20 % годовых (проценты
сложные).
Найти эффективную процентную ставку, эквивалентную
12.
номинальной ставке 50 % при ежеквартальном начислении процентов (проценты сложные).
Определить номинальную процентную ставку с начис-
13.
лением процентов по полугодиям, эквивалентную номинальной
ставке 55% с ежемесячным начислением процентов (проценты
сложные).
Найти эффективную процентную ставку, эквивалентную
14.
номинальной ставке 120 % при ежемесячном начислении процентов (проценты сложные).
Определить номинальную ставку процентов, которая
15.
обеспечивала бы годовую доходность в 40 %, если начисление
процентов происходит ежеквартально (проценты сложные).
Требуется определить номинальную процентную ставку
16.
с начислением процентов по полугодиям, которая эквивалентна
номинальной ставке 50 % с ежемесячным начислением процентов (проценты сложные).
Найдите эффективную процентную ставку, эквивалент-
17.
ную номинальной ставке 150 % при ежемесячном начислении
процентов (проценты сложные).
Найдите наращенную на 150 $ сумму, инвестированную
18.
на 3 месяца по номинальной ставке 20 % годовых (проценты
сложные).
38
38
19. Для номинальной ставки 20 % с начислением процентов
2 раза в год найдите эквивалентную ставку, проценты по которой выплачиваются ежемесячно (проценты сложные).
Определить номинальную ставку процентов, которая
20.
обеспечивала бы годовую доходность в 26 %, если начисление
процентов происходит ежемесячно (проценты сложные).
Найдите наращенную на 350 $ сумму, инвестированную
21.
на 5 месяцев по номинальной ставке 25 % годовых (проценты
сложные).
Требуется определить номинальную процентную ставку
22.
с начислением процентов по полугодиям, которая эквивалентна
номинальной ставке 27 % с ежемесячным начислением процентов (проценты сложные).
Определить номинальную ставку процентов, которая
23.
обеспечивала бы годовую доходность в 21 %, если начисление
процентов происходит ежеквартально (проценты сложные).
Для номинальной ставки 30 % с начислением процентов
24.
4 раза в год найдите эквивалентную ставку, проценты по которой выплачиваются ежемесячно (проценты сложные).
Определить номинальную ставку процентов, которая
25.
обеспечивала бы годовую доходность в 40 %, если начисление
процентов происходит ежемесячно (проценты сложные).
Найдите эффективную процентную ставку, эквивалент-
26.
ную номинальной ставке 50 % при ежемесячном начислении
процентов (проценты сложные).
Найдите наращенную на 150 $ сумму, инвестированную
27.
на 5 месяцев по номинальной ставке 36 % годовых (проценты
сложные).
Найдите наращенную на 450 $ сумму, инвестированную
28.
на 3 месяца по номинальной ставке 20 % годовых (проценты
сложные).
Найдите наращенную на 350 $ сумму, инвестированную
29.
на 4 месяца по номинальной ставке 19 % годовых (проценты
сложные).
Определить номинальную ставку процентов, которая
30.
обеспечивала бы годовую доходность в 20 %, если начисление
процентов происходит ежемесячно (проценты сложные).
39
39
ТЕСТОВЫЕ ВОПРОСЫ
1. За какой срок вклад в 100 тыс. тенге увеличится вдвое
при начислении простых процентов по ставке 10% годовых?
A. 20,5 лет
B. 10 лет
C. 7,2 лет
D. 30,1 лет
E. 5 лет
2. Оценить приближенно за какой срок вклад в 100 тыс.
тенге увеличится вдвое при начислении сложных процентов по
ставке 10% годовых?
A. 20,5 лет
B. 10 лет
C. 7,2 лет
D. 30,1 лет
E. 5 лет
3. Hаращение первоначальной суммы (капитала) по слож-
ным процентам называется:
A. мотивацией
B. девальвацией
C. капитализацией
D. инфляцией
E. дефляцией
4. Текущая стоимость 100 $, получаемых через год: а) при
процентной ставке 12,5%; б) при учетной ставке 12,5% соотносится между собой:
A. (а) > (б)
B. (а) < (б)
C. (а) = (б)
D. (а)=0
E. (б)=0
5. Когда наращенное значение больше, Если 100 тыс. тенге
инвестированы на 5 лет по номинальной ставке 25% годовых,
наращенная сумма будет максимальна
A. при начислении один раз в год
B. при начислении два раза в год
C. при непрерывном начислении процентов по годовой
ставке 25%
40
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]