Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Электростатика и постоянный ток. Руководство по решению задач. Учебное пособие
.pdf
Задача 4
Два конденсатора емкостью по 3 мкФ заряжены один до напряжения
100 В, а другой – до 200 В. Определить напряжение между обкладками
конденсатора, если они соединены параллельно одноименно заряженными обкладками, разноименно заряженными обкладками.
Решение
Напряжение U, заряд q и емкость C конденсаторов связаны соотношением
Q = CU,
тогда
1112 22
;.qCU q CU
При соединении конденсаторов одноименно заряженными обкладками заряд батареи
,qq q
12
емкость
2,CC C C
12 1
напряжение
UC U C C U U
q
U
22 2
CC C
11 1
U
11 2 2 1 1 2
100 200
()
150 В.
;
2
При соединении конденсаторов разноименно заряженными обкладками заряд батареи
,qq q
21
емкость
2CC C C
12 1
51
и напряжение
UC UC C U U
q
U
22 2
CC C
11 1
U
22 11 1 2 1
200 100
()
50 В.
,
2
Задача 5
7
Со скоростью
м/с электрон влетает в пространство между об-
210
кладками плоского конденсатора в середине зазора в направлении, параллельном обкладкам. При какой минимальной разности потенциалов
на обкладках электрон не вылетит из конденсатора, если длина конденсатора 10 см, а расстояние между его обкладками 1 см?
Решение
На электрон, влетающий в поле конденсатора, со стороны
поля бу-
дет действовать сила
,FqE
где q – заряд, E – напряженность поля конденсатора, U – разность потенциалов, d – зазор между обкладками конденсатора.
Под действием силы F электрон приобретает ускорение a, равное
F
am
, и, двигаясь с этим ускорением, пройдет путь
2
dat
.
22
Чтобы электрон не «упал» на нижнюю пластину конденсатора,
l
,
время его полета t между обкладками должно быть
tv
где l – длина
конденсатора.
Учитывая это и второй закон Ньютона, получим
22 2 2
dat Fl qEl qUl
22
22 2
m
22 2
vmvdmv
52
,
отсюда
22
dmv
U
43114
110 9,110 410
U
1, 6 10 1 10
19 2
ql
;
2
22,75 В.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Определите электроемкость коаксиального кабеля длиной 10 м,
если радиус его центральной жилы
r
= 1 см, радиус оболочки
1
r
= 1,5 см,
2
а изоляционным материалом служит резина (ε = 2,5).
2. Сферический конденсатор состоит из двух концентрических сфер
радиусами
r
= 5 см и
1
r
= 5,5 см. Пространство между обкладками кон-
2
денсатора заполнено маслом (ε = 2,2). Определите: 1) электроемкость
этого конденсатора; 2) радиус шара, помещенного в масло, который обладает такой электроемкостью.
3. Два плоских воздушных конденсатора одинаковой электроемкости соединены параллельно и заряжены до разности потенциалов
U = 300 В. Определите разность потенциалов этой системы, если пространство между пластинами одного
из конденсаторов заполнено слю-
дой (ε = 7).
4. Электроемкость батареи конденсаторов, образованной двумя
последовательно соединенными конденсаторами, С = 100 пФ, а заряд
q = 20 нКл. Определите электроемкость второго конденсатора, а также раз-
ности потенциалов на обкладках каждого конденсатора, если
С
= 200 пФ.
1
5. Какое количество электричества пройдет по проводам, соединяю-
щим обкладки плоского конденсатора с зажимами аккумулятора при погружении конденсатора в керосин? Площадь пластины конденсатора
S = 150 см², расстояние между пластинами d = 5 мм, ЭДС аккумулятора 9,42 В, диэлектрическая проницаемость керосина ε = 2.
6. Конденсатор емкостью
тенциалов
U
= 100 В, соединили параллельно с заряженным до разности
1
С
= 20 мкФ, заряженный до разности по-
1
53
потенциалов
Е
U
= 40 В конденсатором, емкость которого неизвестна.
2
Определить емкость второго конденсатора, если разность потенциалов
после соединения оказалась U = 80 В (соединяются обкладки, имеющие
одноименные заряды).
r
7. Два проводящих шара с радиусами
до потенциалов
= 20 В и
1
= 10 В и соединяются тонким провод-
2
= 10 см и r2 = 5 см заряжены
1
ником. Найти поверхностные плотности электрических зарядов шаров
после их соединения. Расстояние между шарами велико по сравнению с
их радиусами.
8. В заряженном плоском конденсаторе, отсоединенном от источ-
.
ника, напряженность электростатического поля равна
Половину
0
пространства между пластинами конденсатора заполнили диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε (толщина диэлектрика равна
расстоянию между пластинами). Чему стала равна напряженность Е
электрического поля в пространстве между пластинами, свободном от
диэлектрика?
9. Найти емкость плоского конденсатора, имеющего три электрические прокладки равной толщины d = 2 мм из стекла
(6)
2
и парафина
ками. Площадь обкладки конденсатора 200
()2,
3
заполняющих весь объем между обклад-
2
см .
()7,
слюды
1
10. Плоский воздушный конденсатор заряжен до разности потенциа-
лов U = 50 В и отключен от источника. В конденсатор параллельно об-
d
кладкам вносится металлический лист толщиной
= 1 мм. Найти раз-
1
ность потенциалов между обкладками конденсатора, если расстояние
между обкладками d = 5 мм. Площади обкладок и металлического листа
равны.
54
4. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Энергия W заряженного проводника определяется величиной работы внешних сил, которую необходимо совершить для того, чтобы зарядить данный проводник (или величиной работы, которую может совершить электрическое поле заряженного проводника при его разрядке).
Энергия W может быть выражена через заряд q проводника, его потенциал φ и электроемкость C
следующими соотношениями:
1
2
WC
,
(4.1)
2
2
1
q
(4.2)
WC
Wq
,
2
1
.
(4.3)
2
Энергия заряженного конденсатора
1
2
WCU
,
(4.4)
2
2
1
WC
WqU
q
(4.5)
,
2
1
.
(4.6)
2
где C – емкость конденсатора, U – разность потенциалов на его пластинах.
55
В случае если конденсатор не отключается от источника питания по-
E
сле зарядки, его энергия определяется по формуле (4.4), если отключается – по формуле (4.5).
Энергия W однородного электрического поля, сосредоточенного
в объеме V изотропной среды:
2
V
W
0
.
(4.7)
2
Объемная плотность энергии – энергия электрического поля, приходящаяся на единицу объема, выражается формулами:
1
2
wE
2
wED
,
(4.8)
0
1
,
(4.9)
2
где E – напряженность электрического поля в среде с диэлектрической
проницаемостью ε; D – индукция электрического поля.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1
Конденсатор емкостью
С
= 3 мкФ был заряжен до разности потен-
1
циалов 40 В. После отключения от источника тока конденсатор был соединен параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью
С
= 5 мкФ. Какое количество энергии первого конденсатора израсхо-
2
дуются на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?
Решение
Количество энергии ΔW, израсходованное на образование искры,
равно
–,WW W
12
56
(1)
W
где
рого конденсатора;
– энергия первого конденсатора до присоединения к нему вто-
1
W
– энергия, которую имеет батарея, составленная
2
из первого и второго конденсаторов.
Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле
2
CU
W
(2)
,
2
где C – емкость конденсатора или батареи конденсаторов; U – разность
потенциалов на обкладках конденсаторов.
W
W
и
Выразив в формуле (1) энергии
1
по формуле (2) и принимая
2
во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим
22
CU C C U
11 1 2 2
W
()
,
(3)
22
C
где
C
и
1
– емкости первого и второго конденсаторов;
2
потенциалов, до которой был заряжен первый конденсатор;
U
– разность
1
U
2
– раз-
ность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.
Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора
U
остался прежний, выразим разность потенциалов
следующим обра-
2
зом:
U
Q
2
CC CC
12 12
CU
11
.
Подставив это выражение в формулу (3), получим
222
CU C C C U
W
()
11 1 2 1 1
2
2( )
CC
12
2
.
После простых преобразований найдем
CCU
1
W
2
57
2
121
CC
12
.
В полученное выражение подставим числовые значения и вычис-
A
лим ΔW:
66
1310 510
W
2
66
310 510
1600 1,5 мДж.
Задача 2
Плоский воздушный конденсатор с площадью пластины 500
2
см
подключен к батарее, ЭДС которой 300 В. Определить работу внешних
сил по раздвижению пластин от
d
= 1 см до
1
d
= 3 см в двух случаях:
2
1) перед раздвижением пластины отключаются от батареи; 2) в процессе
раздвижения пластины остаются подключенными к батарее.
Решение
1. В первом случае систему двух заряженных и отключенных от источника тока пластин можно рассматривать как изолированную систему, по отношению к которой справедлив закон сохранения энергии.
В этом случае
W
где
– энергия поля конденсатора в конечном состоянии (пластины
2
находятся на расстоянии
(пластины находятся на расстоянии
работа внешних сил равна изменению энергии системы
–,WW W
21
);d
W
2
– энергия поля в начальном состоянии
1
WW
21
:)d
1
–,
(1)
W
Энергию
W
и
2
в данном случае удобно выразить через заряд q
1
на пластинах, так как заряды пластин, отключенных от источника при
их раздвижении, не изменяется.
Подставив в равенство (1) выражения
WC
2
2
q
и
2
WC
2
2
q
1
,
2
1
получим
22
qq
A
22
CC
21
58
,
или
2
11
q
A
CC
2
21
.
Выразив в этой формуле заряд q через ЭДС батареи и начальную
электроемкость
11
,()ЕCq C
найдем
A
22
11
Е
C
1
2
CC
21
.
(2)
Подставляя в формулу (2) выражения емкостей плоского конденса-
тора, получим
2
2
dd
Е
S
0
A
21
2
2
d
1
SS
0
0
.
После сокращения на
S формула примет вид
0
2
Е2S
0
Add
(3)
().
21
2
d
1
Подставим числовые значения величин и выполним вычисления:
12 2 2
8,85 10 5 10 300
A
22
2(10 )
26
210 3,910 Дж =3,9мкДж.
2. Во втором случае пластины остаются подключенными к батарее
и система двух пластин уже не является изолированной (заряд с пластин
при их раздвижении будет перемещаться к клеммам батареи). Поэтому
воспользоваться законом сохранения энергии в этом случае нельзя.
Заметим, что при раздвижении пластин конденсатора разность их
потенциалов остается неизменной и
емкость будет убывать. Будут убы-
вать также заряд на пластинах и напряженность электрического поля.
Так как величины E и q, необходимые для определения работы, изменяются, то вычисление работы выполним с применением интегрирования.
59
Напишем выражение для элементарной работы:
E
E
x
где
– напряженность поля, создаваемого зарядом одной пластины.
1
Выразим напряженность поля E
,dA qE dx
(4)
1
и заряд q через переменную вели-
1
чину x, выражающую расстояние между пластинами:
1
Е
EE qC
1
22
,
x
,
(5)
или
S
Подставляя выражения
qx
по формуле (5) и q по формуле (6) в ра-
1
Е.
(6)
0
венство (4), получим
222
1
dA dx
Е2S
.
0
Проинтегрировав полученное выражение в пределах от
найдем выражение искомой работы
d
2
1
AS
ЕЕ,
S
2
d
11
dx
xx
1
00
2
d
2
2
d
1
d
1
до
,d
2
или
1
AS
0
2
11
2
Е .
dd
12
После упрощений формула примет вид
2
Е
12S
Ad
().
0
dd
1
2
60
21
d
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]