Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Электростатика и постоянный ток. Руководство по решению задач. Учебное пособие
.pdf
E
E
F
F
F
1. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
Если в какой-то точке поля имеется точечный электрический заряд,
то любой пробный заряд, помещенный в каждую точку окружающей
среды, будет действовать электрическая сила. Поле вокруг заряда называется
женность и энергетическая – потенциал.
напряженности поля.
действующей на положительный пробный заряд
ную точку поля, к этому заряду:
силовым полем.
У электростатического поля две характеристики: силовая – напря-
1.1. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Силовой характеристикой электрического поля является вектор
Напряженность
электрического поля равна отношению силы ,
q, помещенный в дан-
Eq
(1.1)
.
Сила, действующая на точечный заряд
ское поле, выражается формулой
.
Для графического изображения поля вводится понятие силовой линии, то есть линии, в каждой точке которой касательная совпадает
НВ
[] .
E
Кл м
qE
(1.2)
11
q, помещенный в электриче-
с направлением вектора напряженности поля. Линии начинаются на по-
E
Е
N
Е
N
ложительном заряде, а заканчиваются на отрицательном или в бесконечности, где поля нет. Линии, потенциал которых одинаков, называются эквипотенциальными. Эквипотенциальные линии перпендикулярны линиям напряженности.
Условно принято силовые линии проводить с такой густотой, чтобы
число силовых линий, пронизывающих единицу площади нормальной
к силовым линиям плоскости, равнялось напряженности поля. При таком условии число силовых линий, пронизывающих элементарную площадку
, выражается формулой
dS
dN E dS E dS
где
– угол, образуемый силовой линией с нормалью к площадке;
– составляющая напряженности
n
cos ,
n
по направлению нормали.
Интегрируя это выражение по всей поверхности S, получим число
силовых линий N, пронизывающих всю поверхность:
EdS
.
S
(1.3)
n
Из выражения (1.3) получим формулу числа линий, пронизывающих
плоскость, помещенную в однородное поле:
(1.4)
cos .NES
Однородное электрическое поле – это поле, числовое значение
и направление напряженности которого одинаково в любой точке
этого поля.
Потоком вектора напряженности
через поверхность S называется
выражение
EdS
.
En
S
(1.5)
Сравнение формул (1.5) и (1.4) показывает, что поток вектора через
некоторую поверхность, помещенную в поле, численно равен числу силовых линий, пронизывающих данную поверхность.
12
В случае замкнутой поверхности
N
E
E
R
En
(1.6)
,
EdS
где интегрирование ведется по всей замкнутой поверхности.
N
Теорема Остроградского – Гаусса: поток
вектора напряженно-
сти E через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды
qq
1,q2
q
где
i
,,...,
вычисляется по формуле
n
n
1
0
Nq
,
(1.7)
i
1
i
– заряд, заключенный внутри поверхности (со своим знаком);
n – число зарядов.
Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r от заряда, выражается формулой
1
q
Er
4
.
(1.8)
2
0
Напряженность электрического поля, создаваемого металлической
заряженной сферой радиусом R на расстоянии r от центра сферы:
а) внутри сферы (r < R) E = 0;
б) на поверхности сферы (r = R)
1
q
E
4
;
(1.9)
2
0
в) вне сферы (r > R)
1
q
Er
4
,
(1.10)
2
0
где q – заряд сферы.
Если электрическое поле создано двумя и более точечными зарядами,
то для нахождения напряженности поля и других его характеристик следует использовать принцип суперпозиции (наложения) электрических
полей, согласно которому напряженность результирующего поля равна
13
векторной (геометрической) сумме напряженностей складываемых
E
Е
Е
полей:
EE E
12
... .
(1.11)
n
Для двух электрических полей с напряженностями E
и E2 абсолют-
1
ное значение вектора напряженности
где
– угол между векторами
22
12 12
2cos,EEE EE
и
1
.
2
(1.12)
Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью или цилиндром на расстоянии r от его оси:
12
E
4
,
(1.13)
r
0
где τ – линейная плотность заряда.
Линейная плотность заряда – физическая величина, численно равная заряду, приходящемуся на единицу длины нити (цилиндра):
ql
(1.14)
.
Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью:
1
E
,
(1.15)
2
0
где σ – поверхностная плотность заряда.
Поверхностная плотность заряда – физическая величина, численно
равная заряду, приходящемуся на единицу площади:
qS
(1.16)
.
Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными бесконечными равномерно и разноименно заряженными плоскостями
14
с одинаковой по абсолютной величине поверхностной плотностью за-
F
F
p
ряда σ (поле плоского конденсатора)
.E
(1.17)
0
Приведенная формула справедлива для вычисления напряженности
поля между пластинами плоского конденсатора (в средней его части)
только в том случае, если расстояние между пластинами много меньше
линейных размеров пластин конденсатора.
Сила притяжения пластин плоского конденсатора
1
FS
2
(1.18)
ES
,
0
2
2
1
2
1
2
(1.19)
S
,
0
2
q
(1.20)
.
0
Давление, возникающее в диэлектрике, находящемся в электрическом поле:
1
2
2
(1.21)
E
,
0
где E – напряженность поля в диэлектрике.
Индукция D электрического поля связана с напряженностью электрического поля соотношением
.DE
(1.22)
0
Поток вектора электрической индукции выражается аналогично потоку вектора электрической напряженности:
а) в случае однородного поля
NDS
D
cos ;
(1.23)
15
б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности
N
D
D
E
E
Е
A
Dn
(1.24)
,
DdS
где
D
– проекция вектора
n
D
на направление нормали к элементу по-
верхности, площадь которой равна dS.
Теорема Остроградского – Гаусса для вектора индукции: поток век-
N
тора индукции
щую заряды
qq q
через любую замкнутую поверхность, охватываю-
,, , ...,
12
равен
n
n
Nq
,
(1.25)
i
1
i
где n – число зарядов ( со своим знаком), заключенных внутри замкнутой
поверхности.
Циркуляция вектора напряженности электрического поля – физическая величина, численно равная работе по перемещению единичного
точечного положительного заряда вдоль замкнутого контура:
,
dl
l
где
– проекция вектора напряженности
l
в данной точке контура
направлена по касательной к контуру в той же точке. Кружок на знаке
интеграла означает, что интеграл вычисляется вдоль замкнутого контура.
В электростатическом поле циркуляция вектора напряженности
равна нулю:
0.
Edl
l
1.2. ПОТЕНЦИАЛ. РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ
Потенциал электростатического поля численно равен работе по
перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля
в бесконечность, где поля нет:
.
(1.26)
q
16
Следует отметить, что при перемещении заряда в электрическом
R
поле работа внешних сил равна абсолютной величине работы сил поля
и противоположна ей по знаку:
внеш.сил сил поля
–.АА
Работа по перемещению заряда не зависит от формы пути, а определяется только начальной и конечной точками. Силы электростатического поля являются консервативными, а работа консервативных сил по
замкнутому контуру равна нулю. Таким образом, работа сил электро-
статического поля по замкнутому контуру равно нулю.
Потенциал φ электрического поля, создаваемый точечным
зарядом q
на расстоянии r от заряда, выражается формулой
q
.
(1.27)
r
0
4
Потенциал поля положительного заряда уменьшается при удалении от заряда, а потенциал поля отрицательного заряда – увеличива-
ется.
В проводниках положительные заряды перемещаются от потенциала
12
;
к
отрицательные заряды – от
2
к
2
.
12
Принцип суперпозиции полей: поскольку потенциал является скаляр-
ной величиной, то в случае, когда поле создано несколькими зарядами,
потенциал в любой точке равен алгебраической сумме потенциалов,
созданных в этой точке каждым зарядом в отдельности:
n
.
(1.28)
i
i
1
Потенциал электрического поля, создаваемого металлической заряженной сферой радиусом R на расстоянии r от центра сферы:
а) внутри сферы (r < R)
q
17
;
(1.29)
0
4
б) на поверхности сферы (r = R)
R
в) вне сферы (r > R)
4
q
;
(1.30)
0
,
(1.31)
0
4qr
где q – заряд сферы.
Во всех приведенных для потенциала заряженной сферы формулах ε –
диэлектрическая проницаемость среды, окружающей сферу. Заполнение внутренней части сферы диэлектриком не изменяет потенциала ни
внутри, ни на поверхности, ни вне сферы
Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотношениями:
а) в общем случае
grad ,E
(1.32)
или
d
E
(1.33)
,
dn
ddn
где
grad
Производная
– градиент потенциала.
ddn
берется вдоль направления нормали n к эквипо-
тенциальной поверхности (т. е. вдоль касательной к электрической силовой линии);
б) в случае однородного поля
12
(1.34)
,E
d
где
и
1
– потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхно-
2
стей; d – расстояние между этими эквипотенциальными поверхностями,
взятое вдоль электрической силовой линии.
18
Условия статического распределения снарядов требуют, чтобы
А
внутри сферы напряженность поля равнялась нулю (на этом основана
электростатическая защита: если прибор поместить внутрь металлической сетки, то внешние электрические поля не будут проникать внутрь
сетки).
Потенциал в любой точке внутри сферы одинаков и равен потенциалу на поверхности сферы.
Линии напряженности направлены в
сторону убывания потенциала.
Поскольку сила, действующая на заряд q в электрическом поле,
прямо пропорциональна величине заряда q, то работа силы поля при перемещении заряда также прямо пропорциональна величине заряда q.
Следовательно, и потенциальная энергия заряда в произвольной точке
электрического поля прямо пропорциональна величине этого заряда:
П
.
q
Потенциал измеряется потенциальной энергией единичного положительного заряда, находящегося в данной точке поля.
1.3. РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Работа сил электростатического поля при перемещении заряда q
между двумя точками поля равна сумме элементарных работ:
n
АА A
12
... ,
i
1
(1.35)
i
где
П, ПП П,А
21
П
П
и
2
– потенциальная энергия заряда
1
соответственно в конечной и начальной точках его траектории.
Потенциальная энергия равна работе по перемещению заряда из одной точки в другую:
qq
k
11
Aq q
rr
12
11 11
kq q qq
11
rr rr
12 12
19
4
0
(1.36)
.
Когда поле создано несколькими зарядами, то потенциальная энер-
Е
Е
гия заряда q, помещенного в любую точку такого поля, равна алгебраической сумме энергий, обусловленных полем каждого заряда в отдельности в этой точке.
Если два одинаково заряженных шарика находятся на расстоянии r
друг от друга, то потенциальная энергия электрического поля этих двух
зарядов будет равна
22
kq q
П .
4
rr
0
(1.37)
Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точеч-
,
ного заряда q из одной точки поля, имеющей потенциал
имеющую потенциал
:
2
(),Aq
12
(1.38)
в другую,
1
или
,
AqEdl
(1.39)
l
L
– проекция вектора напряженности ,
где E
l
который направлен по век-
тору перемещения; dl – величина перемещения.
Для однородного поля формула (1.39) принимает вид
где l – величина перемещения;
тора
и направлением перемещения l.
Энергия W системы точечных зарядов
cos ,AqEl
(1.40)
– угол между направлением век-
, , ...,
qq q
12
определяется ра-
n
ботой, которую эта система зарядов может совершить при удалении их
относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой
n
где
1
Wq
2
i
– потенциал поля, создаваемого всеми n – 1 зарядами (за исклю-
i
,
(1.41)
ii
1
чением i-го) в точке, где расположен заряд q.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]