Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Электростатика и постоянный ток. Руководство по решению задач. Учебное пособие
.pdf
1.4. ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
F
В диэлектрике отсутствуют свободные носители зарядов. Все электрические заряды диэлектрика входят в состав его молекул и могут смещаться лишь на очень малые расстояния: в пределах молекулы или атома.
Диэлектрик уменьшает силу взаимодействия зарядов. Смещение зарядов внутри молекул диэлектрика приводит к поляризации диэлектрика: атом, попадая во внешнее электрическое
поле, превращается
в электрический диполь, который создает свое электрическое поле.
Поле внутри диэлектрика, созданное его поляризационными зарядами, направлено навстречу внешнему полю, т. е. ослабляет внешнее
поле, но полностью его не уничтожает.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1
Три одинаковых положительных заряда q =
910
Кл каждый распо-
ложены по вершинам равностороннего треугольника (рис. 1.1). Какой
отрицательный заряд нужно поместить в центр треугольника, чтобы
сила притяжения с его стороны уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах?
Решение
Все три заряда, расположенных по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому для решения задачи достаточно
выяснить, какой из трех зарядов следует поместить в центр треугольника,
чтобы один из них, например
,q
находился в равновесии.
1
В соответствии с принципом суперпозиции на заряд будет действовать каждый заряд независимо от действия остальных. Поэтому
заряд
q
будет находиться в равновесии, если сумма действующих на
1
него сил равна нулю
где
234
заряды
,,FFF
,,;qqq
234
234 4
– силы, с которыми на заряд
– равнодействующая сил
(1)
0,FFFFF
q
действуют соответственно
1
и
F
.
F
2
3
21
Рис. 1.1
Так как силы
F
и
направлены по одной прямой, то векторное ра-
F
4
венство (1) можно заменить скалярной суммой
0,FF
4
или
.FF
4
Выразив в последнем равенстве F через
,FF
32
получим
F
F
и
2
и учитывая, что
3
42
2(1 cos ).FF
Применяя закон Кулона и имея в виду, что
qq q
11
14 1
44
22
rr
00
1
2
отсюда
2
qr
11
qr
4
2(1 cos ).
2
22
(2)
,qqq
231
2(1 cos ),
найдем
(3)
Из геометрических построений в равностороннем треугольнике сле-
дует, что
/2 1
rrr
r
1
cos 30 2cos 30
;cos cos60 .
3
2
С учетом этого формула (3) примет вид
q
1
Подставив сюда числовое значение
9
10
q
4
3
q
4
Кл 5,8 10 Кл.
.
3
,q
получим
1
10
Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.
Задача 2
На шелковых нитях длиной 50 см подвешены в одной точке в воздухе два маленьких одинаковых шарика массой по 0,2 г каждый, заряженных одинаково. Определить заряд каждого шарика, если они отошли друг от друга на 8 см. Весом нитей пренебречь.
Решение
На каждый шарик действуют силы: сила тяжести
mg
, сила кулонов-
ского отталкивания
и сила натяжения нити
F
k
T
.
Выберем систему отсчета, как показано на рис. 1.2. Так как шарики
находятся в равновесии, сумма действующих на них сил равна нулю,
т. е. условие равновесия запишем в виде
mg F T
k
(1)
0.
Или в проекциях на оси:
:sin .
OX T F
OY T mg
k
:cos .
23
(2)
Разделим одно равенство (2) на другое:
tg .
По закону Кулона
Fk
Подставим (4) в (3):
22
tg ; .
qrmg
kq
2
rmg
Найдем
F
k
(3)
mg
2
q
.
(4)
2
r
tg
2
(5)
k
tg .
r
2
l
2
(6)
2
r
4
Подставив (6) в (5):
2
rmgr rmg
qr
22
rr
22
22
kl kl
;
44
4
0,08 1,06 10 Кл.
q
0,08 2 10 10
9
9 10 2 (0, 25 0,0016)
8
Задача 3
Тонкий стержень длиной l = 30 см (рис. 1.2) несет равномерно распределенный по длине заряд линейной плотностью τ = 1 мкКл/м. На рас-
стоянии
r
= 20 см от стержня находится заряд
0
q
= 10 нКл. Заряд рав-
1
ноудален от концов стержня. Определить силу взаимодействия точечного заряда с заряженным стержнем.
24
Решение
Закон Кулона позволяет вычислить силу взаимодействия точечных
зарядов. По условию задачи один из зарядов не является точечным,
а представляет собой заряд, равномерно распределенный по длине
стержня. Однако если выделить на стержне дифференциально малый
участок, то находящийся на нем заряд dq = τdl можно рассматривать как
точечный, и тогда по
q
дами
и dq вычислим по формуле
1
где r – расстояние от выделенного элемента до заряда
закону Кулона силу взаимодействия между заря-
qdl
1
dF
4
1
,
(1)
2
r
0
.q
1
Из рис. 1.2 следует, что
r
cos
r
0
Рис. 1.2
и
25
rddl
cos
,
r
где
– расстояние от заряда q1 до стержня. Подставив эти выражения
0
в формулу (1), получим
q
dF d
1
4
r
00
.
(2)
Следует иметь в виду, что dF – вектор, и поэтому, прежде чем интегрировать, разложим его на две составляющие: перпендикулярную
длине стержня
dF
Из рис. 1.2 видно, что
и параллельную –
1
1
cos ,dF dF
.dF
2
2
sin .dF dF
Подставляя значение dF из выражения (2) в эти формулы, получим
dF d dF d
12
44
00 00
;.
rr
qq
cos sin
11
Интегрируя эти выражения в пределах от –β до +β, получим
cos
qq q
Fd d
1
11 1
44 4
rr r
00 00 00
qq
11
F
1
44
sin sin ( ) 2sin .
rr
00 00
cos sin ,
В силу симметрии расположения заряда q
относительно стержня
1
интегрирование второго выражения дает нуль:
sin
qq q
Fd d
2
11 1
44 4
rr r
00 00 00
q
F
2
1
4
00
Таким образом, сила, действующая на заряд
FF
1
sin cos ,
cos cos 0.
r
q
:
1
q
1
sin .
2
26
r
00
(3)
Из рис. 1.2 следует, что
ll
sin .
/2
22 22
rl rl
/4 4
00
Подставив выражение sinβ в формулу (3), получим
q
F
1
2
r
00
l
22
4
rl
0
.
(4)
Подставим числовые значения величин в выражение (4) и выполним
вычисление:
86
10 10 0,3
F Н
20,2
1
4910
9
4
5,4 10 540 мкН.
Н
22
4(0, 2) (0,3)
Задача 4
Электрон движется по направлению силовых линий однородного
поля напряженностью 2,4 В/м. Какое расстояние он пролетит в вакууме
до полной остановки, если его начальная скорость
6
210 м/с? Сколько
времени будет длиться полет?
Решение
На электрон в электрическом поле действует сила F = qE, направленная навстречу его движению. По второму закону Ньютона ускорение
электрона под действием силы F равно
FqE
a
.
(1)
mm
С другой стороны, ускорение a равно
vv
k
a
v
0
0
(2)
.
tt
27
Приравнивая выражения (1) и (2), определим время до полной остановки электрона:
31 6
vmv
qE
00
;; 4,710с.
tt
tm qE
9,1 10 2 10
1, 6 10 2 , 4
19
6
За это время электрон пройдет путь s, равный
2
svt vt
s
at
00
222
66
210 4,710
2
vt vt
00
t
4,7 м.
;
2
Задача 5
Две параллельные металлические пластины, расположенные в диэлектрике с диэлектрической проницаемостью 2,2, обладают поверх-
ностной плотностью заряда 3
мкКл/м и 2 2мкКл/м . Определить
2
напряженность и индукцию электрического поля между пластинами и
вне пластин.
Решение
Напряженность поля, создаваемого каждой из пластин с поверхностной плотностью зарядов σ, определяется по формуле
E
Рис. 1.3
.
(1)
2
0
28
Направления векторов напряженности полей, создаваемых пласти-
E
Е
Е
нами, показаны на рис. 1.3. С учетом направления векторов напряженность поля
в зазоре между пластинами равна
м
–,
ЕЕ
м 12
а в пространстве вне пластин
ЕЕ
в 12
Е
Е
м
Е
Е
в
12
м 12
222
000
6
(3 2) 10
2 2,2 8,85 10
12
в 12
222
(3 2) 10
2 2,2 8,85 10
000
;
1
();
2,57 10 В/м;
12
1
();
6
1, 2 8 1 0 В/м.
12
4
5
Индукция D и напряженность E электрического поля связаны соотношением
DD
м 12 м
222
,DE
тогда
0
6
0
() ; 510Кл/м ;
0
DD
12
вв
22
12
6
510
;2,510Кл/м .
10
62
72
Задача 6. Точечный заряд q = 25 нКл находится в поле, созданном
прямым бесконечным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью σ = 0,2
нКл/см . Определить
2
силу, действующую на заряд, если его расстояние от оси цилиндра
r = 10 см.
29
Решение
R
R
Численное значение силы, действующей на точечный заряд, находящийся в поле, определяется по формуле
F = qE, (1)
где E – напряженность поля.
Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра
2Er
0
,
(2)
где τ – линейная плотность заряда.
Выразим линейную плотность τ через поверхностную плотность σ.
Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящийся
на нем заряд Q двумя способами:
2, .QS RlQl
Приравняв правые части этих равенств, получим
2.lRl
После сокращения на l получим
2.
С учетом этого формула (1) примет вид
E
.
r
0
Подставив это выражение в формулу (1), получим искомую силу
qR
F
.
(3)
r
0
Подставим в формулу (3) числовые значения величин:
86
2,5 10 2 10 1
F Н
8,85 10 10
12
0,565 10 0,565 мН.
30
3
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]