Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Электростатика и постоянный ток. Руководство по решению задач. Учебное пособие
.pdf
Направление силы совпадает с направлением напряженности, а бла-
Е
E
E
Е
годаря симметрии (цилиндр бесконечно длинный) сила направлена перпендикулярно цилиндру.
Задача 7
Определить поток вектора напряженности электрического поля
сквозь замкнутую шаровую поверхность, внутри которой находятся три
точечных заряда +2 нКл, –3 нКл и +5 нКл. Рассмотреть случаи, когда
система зарядов находится в вакууме и в воде.
Решение
Ф
В общем случае поток вектора напряженности
сквозь поверх-
ность S равен
ds
Ф ,
Е n
S
– проекция вектора E на нормаль n к поверхности,
где E
n
EE
cos .
n
Для шаровой поверхности, в центр которой помещен точечный за-
ряд,
= 0,
cos
= 1 и
= E. В каждой точке шаровой поверхности
n
Е – величина постоянная и определяется по формуле
q
Er
Тогда поток вектора напряженности
4
.
(1)
2
0
Ф
сквозь шаровую поверх-
ность будет иметь вид
2
EdS E dS ES r E
Е
SS
.Ф 4
(2)
Подставляя (1) в (2), после преобразований для одного точечного за-
ряда получим
Ф .
Е
На основе теоремы Остроградского – Гаусса
0
q
для системы зарядов полный поток вектора напряженности сквозь
замкнутую поверхность произвольной (в том числе шаровой) формы
равен
n
1
Е i
.Ф
q
(3)
i
1
0
31
Подставим в (3) числовые значения и получим следующее.
А
A
R
В случае, когда заряды находятся в вакууме:
9
Ф ();Ф 452 В/м.
1(235)10
qq q
ЕЕ
123
0
8,85 10
12
В случае, когда заряды находятся в воде:
9
(2 3 5)10
Е
81 8,85 10
5,6 В/м
12
.Ф
Задача 8
Заряд
9
110 Кл переносится из бесконечности в точку, находящу-
юся на расстоянии 1 см от поверхности заряженного шара радиусом 9 см.
42
110 Кл/м .
Поверхностная плотность заряда шара
Определить совер-
шаемую при этом работу. Какая работа совершается на последних 10 см
пути?
Решение
Работа внешней силы
с потенциалом
в другую точку с потенциалом φ2 равна по абсолют-
1
ной величине, но противоположна по знаку работе
ремещению заряда между этими точками поля, т. е.
сил электрического поля определяется по формуле
по перемещению заряда q из точки поля
1
сил поля по пе-
1
.AA
11
().Aq
112
Работа
Тогда
(),Aq
121
(1)
где
– потенциал в начальной точке;
1
– потенциал в конечной
2
точке.
Потенциал, создаваемый заряженным шаром радиусом R в точке на
расстоянии r от его поверхности, определяется по формуле
q
где
0
2
4qR – заряд шара.
0
4( )
0
32
,
(2)
r
Потенциал
R
R
R
R
А
А
Потенциал
в бесконечно удаленной точке будет равен нулю.
1
из (2) подставим в (1) и после преобразований получим
2
2
qR
A
1
()
01
(3)
.
r
Подставляя числовые значения в (3), получим
94 4
10 10 81 10
A
1
18,8510 110
12 1
9, 2 10 Дж.
4
Работу на последних 10 см пути можно определить по формуле
где
q
1
4( )
0
012
rr
(),Aq
221
– потенциал в точке на расстоянии
(4)
()
rr
12
от центра шара.
и
Подставляя выражение для
1
в (4), после преобразований по-
2
лучим
22
A
Первое слагаемое в (5) численно равно
Подставим числовые значения и вычислим
9, 2 10 4,6 10 Дж.
А
2
qR qR
2
1 10 1 10 81 10
44
18,8510 210
rRrr
() ( )
01012
.
1
94 4
12 1
(5)
.
:
2
Задача 9
Заряд 1 нКл переносится в воздухе из точки, находящейся на расстоянии 1 м от бесконечно длинной, равномерно заряженной нити, в точку
на расстоянии 10 см от нее. Определить работу, совершаемую против
сил поля, если линейная плотность заряда нити 1 мкКл/м. Какая работа
совершается на последних 20 см пути?
33
Решение
Работа внешней силы по перемещению заряда Q из точки поля с потенциалом φ
в точку поля с потенциалом
1
0
равна
().AQ
01
(1)
Бесконечная, равномерно заряженная нить с линейной плотностью
заряда τ создает аксиально симметричное поле напряженностью
E
.
Напряженность и потенциал этого поля связаны соотноше-
r
0
d
,
откуда
.dEdr
E
нием
2
dr
Разность потенциалов точек поля на расстоянии r
rr
00
01
01 0 2
Edr
rr
11
ln ; ln .
22
00 00
dr
22
rr
12
rr
000
rr
и r0 от нити
1
r
1
ln ;
(2)
Подставляя в формулу (1) найденное выражение для разности потенциалов из (2), определим работу, совершаемую внешними силами по
перемещению заряда из точки, находящейся на расстоянии 1 м, до
точки, расположенной на расстоянии 0,1 м от нити:
96
Q
AA
11
2
r
1
ln ; 4,1 10 Дж.
r
00
10 10 ln10
23,148,8510
5
12
Работа по перемещению заряда на последних 20 см пути равна
96
Q
AA
11
2
r
2
ln ; 1,24 10 Дж.
r
00
10 10 ln 2
23,148,8510
5
12
Задача 10
Заряд –1 нКл переместился в поле заряда +1,5 нКл из точки с потенциалом 100 В в точку с потенциалом 600 В. Определить работу сил поля
и расстояние между точками.
34
Решение
Потенциал φ поля, созданного точечным зарядом q, равен
,
0
4qr
где r – расстояние от заряда до данной точки поля;
2
01
,
1
4qr
отсюда
q
2
01
.
r
1
4
Следовательно,
9
1, 5 1 0
r
1
4 3,14 8,85 10 100
2
2
4qr
02
,
12
r
2
4
13,5 10 м,
q
2
02
отсюда
9
1, 5 1 0
r
2
43,148,8510 600
12
2,25 10 м,
2
,
2
Работа сил поля
2
12
( ); 10 (100 600) 5 10 Дж.А qA
11 2
11,25 10 м.rr r
97
35
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Е
1. Сила гравитационного притяжения двух водяных одинаково заря-
женных капель радиусами 0,1 мм уравновешивается кулоновской силой
отталкивания. Определите заряд капель. Плотность воды равна 1
3
г/см .
2. В вершинах равностороннего треугольника находятся одинако-
вые положительные заряды q = 2нКл. Какой отрицательный заряд
q
1
необходимо поместить в центр треугольника, чтобы сила притяжения
со стороны заряда
q
уравновесила силы отталкивания положительных
1
зарядов?
3. На некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряжен-
ной плоскости с поверхностной плотностью σ = 0,1
нКл/см располо-
2
жена круглая пластинка. Нормаль к плоскости пластинки составляет с
линиями напряженности угол 30°. Определите поток вектора напряжен-
ности
Ф
через эту пластинку, если ее радиус r равен 15 см.
4. Определите напряженность электростатического поля в точке А,
расположенной вдоль прямой, соединяющей заряды
q
и
= –8 нКл и находящейся на расстоянии r = 8 см от отрицательного
2
q
= 10 нКл
1
заряда. Расстояние между зарядами l = 20 см.
5. Два одинаковых шарика имеют массы m = 10 г и находятся на рас-
стоянии r = 10 см друг от друга. Какой величины равные заряды q необходимо придать шарикам, чтобы их взаимодействие уравновешивало
силы всемирного тяготения?
6. Электростатическое
поле создается двумя бесконечными парал-
лельными плоскостями, заряженными равномерно одноименными зарядами с поверхностной плотностью соответственно
и
4 нКл/м . Определите напряженность электростатического поля
2
2
= 2
1
2
нКл/м
1) между плоскостями, 2) за пределами плоскостей. Постройте график
изменения напряженности поля вдоль линии, перпендикулярной плоскостям.
7. Электростатическое поле создается положительно заряженной
бесконечной нитью с постоянной линейной плотностью τ =1 нКл/см.
36
Какую скорость приобретет электрон, приблизившись под действием
r
внешних сил к нити вдоль линии напряженности с расстояния
r
до
= 1 см от нити?
2
= 1,5 см
1
8. В вершинах острых углов ромба, составленного из двух равносто-
ронних треугольников со стороной а, помещены положительные заряды q. В вершину одного из тупых углов ромба помещен также положительный заряд Q. Определить напряженность электрического поля Е
в четвертой вершине ромба.
9. Математический маятник представляет собой шарик
массой
m = 1 г, подвешенный на шелковой нити длиной l = 36 см. Как изменится
период колебаний маятника, если, сообщив шарику положительный или
отрицательный заряд q = 6,7 нКл, поместить маятник в однородное элек-
трическое поле с напряженностью E = 0,3 МВ/м, силовые линии которого направлены вертикально вниз?
10. Пучок катодных лучей, направленный параллельно обкладкам
плоского
конденсатора, на пути l = 4 см отклоняется на расстояние
h = 2 мм от первоначального направления. Какую скорость v и энер-
гию T имеют электроны катодного луча? Напряженность электрического поля внутри конденсатора E = 22 500 В/м.
37
p
2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ
Диполь есть система двух точечных, равных по абсолютной величине и противоположных по знаку зарядов, находящихся на некотором
расстоянии друг от друга.
Электрический момент диполя (дипольный момент)
направленный от отрицательного заряда к положительному, численно
равный произведению заряда q на вектор
l
, проведенный от отрица-
тельного заряда к положительному и называемый плечом диполя:
.pql
(2.1)
Диполь называется точечным, если плечо диполя l много меньше
расстояния r от центра диполя до точки, в которой нас интересует действие диполя (l << r).
Напряженность поля точечного диполя:
1)
в общем случае
4
p
3
0
13cos ,
Er
2
(2.2)
– вектор,
где p – электрический момент диполя; r – величина радиуса-вектора,
проведенного от центра диполя к точке, напряженность поля в которой
необходимо определить;
l
чом
диполя;
– угол между радиусом-вектором
и пле-
r
2) в частных случаях:
2
38
p
():0
0
3
;
(2.3)
а) в точке, лежащей на оси диполя
Er
б) в точке, лежащей на перпендикуляре к плечу диполя, восстанов-
p
E
M
p
E
ленном из его середины
:
2
4
p
.
(2.4)
3
0
Er
Потенциал поля точечного диполя в общем случае
p
0
r
cos .
2
(2.5)
4
Потенциал поля точечного диполя в частных случаях:
а) в точке, лежащей на оси диполя
4
p
():0
r
0
2
;
(2.6)
б) в точке, лежащей на перпендикуляре к плечу диполя, восстанов-
ленном из его середины
:
2
φ = 0.
Напряженность и потенциал неточечного диполя определяются как
для системы зарядов.
Механический момент М, действующий на диполь с электрическим
моментом
, помещенный в однородное электрическое поле с напря-
женностью
:
(2.7)
[],
pE
или
sin ,MpE
где
– угол между направлением вектора электрического момента
(2.8)
и вектором
.
39
Если внешнее поле неоднородно, то помимо механического момента
E
F
p
(пары сил) на диполь действует сила
dE
(2.9)
dx
dE
и стремится переместить ди-
dx
dE
где
характеризует степень неоднородности поля и показывает изме-
dx
нение напряженности
Сила
направлена вдоль вектора
FgradpE p
[] ,
на единице длины, взятой вдоль оси диполя.
поль в область больших значений напряженности.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1
Диполь с электрическим моментом p = 2 нКл/м находится в однородном электрическом поле напряженностью Е = 30 кВ/м. Вектор
ставляет угол
= 60° с направлением силовых линий поля. Определить
со-
произведенную внешними силами работу поворота диполя на угол
β = 30°.
Решение
Из исходного положения (рис. 2.1, а) диполь можно повернуть на
угол β = 30° двумя способами: или по часовой стрелке до угла
10
20
(рис. 2.1, б), или против часовой стрелки до угла
366
362
(рис. 2.1, в).
В первом случае диполь будет поворачиваться под действием сил
поля. Следовательно, работа внешних сил при этом будет отрицательной.
Во втором случае поворот может быть выполнен только под действием
внешних сил, и, следовательно, работа внешних сил при этом будет
положительной.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]