Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Продвинутый этап. В 2 частях. Ч.I. Учебное пособие для иностранных слушателей по курсу довузовской подготовки
.pdf
1.14. Закон сохранения импульса
Дано:
Решение. Из формулы (1.52) выразим массу:
Посчитаем величину скорости:
Ответ:
Найти:
Количество движения или импульс тела массой , движущегося
со скоростью , равен:
.
С помощью импульса можно найти кинетическую энергию:
Рассмотрим пример решения задачи.
Задача 1.29. Найти массу и скорость тела, если известны его импульс
и кинетическая энергия .
Алгоритм определения проекция вектора импульса
1. Выбрать направление оси, например, вправо.
2. Из начала и конца вектора опустить перпендикуляры на ось.
3. Найти величину получившегося на оси отрезка.
4. Если направление оси и направление вектора совпадают,
то величину проекции считать положительной, если нет –
отрицательной.
61
на ось
Пример 1.7. Найти проекции импульсов и
X
под разными углами к горизонтальной оси.
, направленных
Рис. 1.33. Рисунок для примера 1.7
Направим ось вправо. Покажем углы и между
горизонтальной линией и направлением векторов и
.
Из конца и начала векторов опустим перпендикуляры на ось .
По определению косинуса находим величины проекций и
ставим знак «–» для проекции , так как вектор
направлен
противоположно оси :
,
Система тел
Система тел – это N тел, выделенных для рассмотрения.
Импульс системы равен сумме импульсов всех N тел системы:
Проекция импульса системы равна алгебраической сумме
проекций импульсов всех N тел системы:
Для системы тел различают внутренние и внешние силы.
Внутренние силы — это силы, с которыми действуют друг
на друга тела системы.
Внешние силы — силы, с которыми действуют на тела системы
другие тела, которые не входят в эту систему.
62
Пример 1.8. Назовите внутренние и внешние силы для системы
двух шаров, движущихся по опоре и ударяющихся друг о друга.
В систему входят два шара, которые движутся по опоре. Опора,
воздух и Земля не входят в рассматриваемую систему.
Внутренние силы для системы двух шаров: силы взаимного
тяготения и сила удара шаров. Внешние силы для системы двух
шаров: сила сопротивления воздуха, силы тяжести, силы реакции
опоры, силы сухого трения о поверхность опоры.
Замкнутой (или изолированной) системой тел называют
систему, на которую не действуют внешние силы.
Если внешние силы в рассматриваемой системе пренебрежимо
малы или их действие скомпенсировано, то такую систему можно
считать замкнутой.
Закон сохранения импульса
Импульс замкнутой (изолированной) системы остается
постоянным в любой момент времени.
1. В векторном виде:
2. В проекциях импульса системы на ось:
В процессе соударения различают упругий и неупругий удары:
1. При упругом ударе тела системы не изменяют свою форму
и движутся раздельно.
2. При неупругом ударе тела изменяют форму; далее тела движутся
вместе или не движутся совсем – останавливаются.
В текстах задач динамики с системами тел в явном виде не
содержится информация о том, что системы являются замкнутыми.
63
При решении этих задач замкнутость систем взаимодействующих тел
будем подразумевать по умолчанию.
Алгоритм решения задач динамики на применение
закона сохранения импульса
1. Проанализировать систему тел на вид взаимодействия: упругое
или неупругое.
2. Сделать рисунок, выбрать направление оси.
3. На рисунке показать направления импульсов тел системы.
4. Найти сумму импульсов геометрически.
5. Записать закон сохранения импульса в векторном и в скалярном
виде для моментов времени:
и
– после взаимодействия тел.
6. Найти проекции импульсов в моменты времени и
– до взаимодействия тел системы
.
7. Провести математические преобразования и найти неизвестные
величины.
Рассмотрим пример решения задачи.
Задача 1.30. Маневровый тепловоз массой приближается
со скоростью к неподвижному составу массой . С какой
скоростью будет двигаться состав после сцепления с тепловозом?
Рис. 1.34. Рисунок к задаче 1.30
64
Дано:
Решение. Направим ось вправо. Скорость
тепловоза
в момент времени
и скорость
состава после сцепления с телом
в момент
времени направлены вправо по оси .
Система тел замкнута, поэтому импульс
системы в любой момент времени не изменяется.
По закону сохранения импульса (1.55) и (1.56):
Масса состава вместе с тепловозом равна:
Найти:
Посчитаем скорость состава с тепловозом после сцепления:
Ответ:
Решить задачи.
М-52. Импульс тела равен
, а кинетическая энергия равна
. Найти массу и скорость тела.
М-53. Шар 1, движущийся со скоростью , ударил
покоящийся шар 2. После удара шары разлетелись в стороны под
разными углами. Шар 1 стал двигаться под углом к начальному
направлению скорости, а шар 2 ‒ под углом . Найти скорости
шаров после удара, если их массы равны.
М-54. Два пластилиновых шара с массами 30 г и 40 г двигались
навстречу друг другу со скоростями и . После
65
соударения они стали двигаться вместе в одну сторону. Найти
скорость шаров после удара. Удар считать неупругим.
М-55. Железнодорожный вагон массой движется
по участку железнодорожного пути со скоростью . Его догоняет
второй вагон массой , движущийся со скоростью . Какой
будет скорость вагонов после их сцепления? Удар считать неупругим.
М-56. Вагон массой , движущийся со скоростью , нагоняет
вагон массой , движущийся со скоростью . Какой будет
скорость вагонов после их сцепления? Удар считать неупругим.
1.15. Закон сохранения механической энергии
Механической энергией называют сумму кинетической
и потенциальной
энергий тела:
Кинетическая энергия – это энергия движения тела массой
со скоростью
. По теореме о кинетической энергии работа любой
силы равна приращению кинетической энергии тела на отрезке пути.
Потенциальная энергия – это энергия положения тела в поле
потенциальных сил. К ним относятся сила всемирного тяготения
(сила тяжести в поле Земли) и сила Гука, препятствующая силе
деформации. Потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли
и потенциальная энергия деформированной пружины равны:
Работа потенциальной силы равна уменьшению потенциальной
энергии тела.
66
Механическая энергия системы N тел равна сумме
механических энергий всех тел системы:
Пример 1.9. Найти механическую энергию тела массой
в момент времени, когда оно находится на высоте от поверхности
Земли и движется со скоростью .
Пример 1.10. Найти механическую энергию груза массой ,
закреплѐнного на конце пружины жесткости , если
при движении, когда пружина была деформирована на , скорость
груза была равна .
Если на тела системы действуют только потенциальные силы,
то такую систему называют потенциальной или консервативной
системой.
Закон сохранения механической энергии
Механическая энергия консервативной системы не изменяется
с течением времени:
Докажем выражение (1.59). В природе тела взаимодействуют
с потенциальными и не потенциальными силами.
67
К не потенциальным силам относятся силы сопротивления,
трения, тяги, силы ударов и т.п.
Работа всех сил равна алгебраической сумме работ каждой силы.
По теореме о кинетической энергии работа равна увеличению
кинетической энергии системы:
В консервативной системе не потенциальные силы отсутствуют
и их работа
Так как работа потенциальных сил равна
. Поэтому:
, то
Перенесѐм энергии с одинаковыми индексами и относящимися
к разным моментам времени в разные части уравнения. Для
консервативной системы получим (1.59):
При решении задач динамики на закон сохранения механической
энергии не потенциальными силами рекомендуется пренебречь.
Напомним, что показателями консервативности системы являются
сила тяжести и сила Гука.
Алгоритм решения задач динамики на закон сохранения
механической энергии
1. Проанализировать систему тел на консервативность.
2. Сделать рисунок, выбрать направление оси.
3. На рисунке показать положения тел системы для моментов времени
и
.
4. Записать выражения для кинетической и потенциальной энергий
системы для выделенных положений в данные моменты времени.
68
5. Записать выражения для механических энергий для моментов
Дано:
Решение. Направим ось вверх. Движение стрелы при
подъѐме идѐт с торможением из-за притяжения
к Земле.
По закону кинематики скорость стрелы и высота
подъѐма в момент времени равны:
Найти:
времени и
.
6. Записать выражение для закона сохранения механической энергии.
7. По необходимости использовать законы кинематики.
8. Если консервативная система является замкнутой, то можно
применить закон сохранения импульса.
9. Провести математические преобразования и найти неизвестные
величины.
Рассмотрим примеры решения задач.
Задача 1.31. Найти кинетическую и потенциальную энергию стрелы
массой , выпущенной из лука со скоростью , через с
после начала движения.
Рис. 1.35. Рисунок к задаче 1.31
69
Посчитаем для момента времени кинетическую
и потенциальную энергии стрелы:
Ответ:
Дано:
Решение. Направим ось вверх. Мяч падает вниз
из-за притяжения к Земле.
На высоте
механическая энергия равна:
У поверхности Земли при механическая
энергии мяча равна только кинетической энергии:
Найти:
Система является потенциальной, поэтому еѐ механическая
энергия сохраняется неизменной (1.59):
Задача 1.32. При падении на высоте от поверхности Земли мяч
имел скорость . Чему равна скорость мяча у поверхности
Земли? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Рис. 1.36. Рисунок к задаче 1.32
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]