Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика конденсированного состояния. Учебное пособие (практикум)
.pdf
4. Как определить коэффициенты диффузии электронов и дырок?
5. Как определить силу прямого тока p-n-перехода?
6. Как определить силу обратного тока p-n-перехода?
7. Как найти коэффициент амбиполярной диффузии?
8. Что такое время жизни неравновесных носителей тока?
9. При каком условии обратный ток отсутствует на p-n-переходе?
10. Что такой пробой для полупроводниковых диодов?
Задачи
7.1. p-n-переход находится под обратным напряжением 0,1 В
при Т = 300 К. Его сопротивление 692 Ом. Каково сопротивление
перехода при прямом напряжении той же величины?
7.2. Сопротивление р-n-перехода при Т = 300 К, находящегося
под прямым напряжением 0,1 В, равно 10 Ом. Определить сопротивление перехода при обратном напряжении.
7.3. Определить, во сколько раз возрастет сила тока насыщения
через р-n-переход для кремниевого прибора, если его температура
в процессе работы возрастет от 20 °С до 120 °С. Ширину запрещенной зоны для кремния принять равной 1,1 эВ.
7.4. Определить величину прямого напряжения, при котором
ток через р-n-переход равен предельному значению обратного тока
(выпрямление отсутствует). Температуру принять равной 20 °С.
7.5. Образец полупроводника прямоугольной формы размерами 0,2х0,2х0,05 см имеет 1021 свободных зарядов в 1 м3 при
200 °С. К двум противоположным узким граням приложено напряжение 20 В. вычислить величину тока, полагая подвижность носителей зарядов равной 0,03 м2/(В сек).
7.6. Сопротивление кристалла PbS при температуре 200 °С
равно 104 Ом. Определить его сопротивление при температуре
800 °С. Ширина запрещенной зоны PbS равна 0,6 эВ.
7.7. При температуре З00 К концентрация ионизированных
примесей 3∙1022 м-3. Найти положение уровня Ферми, приняв плотность состояний у дна зоны проводимости равной 2,5∙1025 м-3.
7.8. Образец германия, имеющий при температуре 300 К собственную удельную проводимость 4,3∙10-4 Ом-1 м-1, легирован донорной примесью с концентрацией 1,0∙1021 м-3. Найти концентрацию дырок рп. Определить, какая часть тока обусловлена дырками
jp/(jp + jn). Подвижности электронов и дырок при температуре 300 К
принять равными un = 0,135 м2/(В с) и uр = 0,048 м2/(В с).
81
7.9. В чистом германии концентрация собственных носителей
при температуре 300 К равна 2,25∙1019 м-3. Подвижности электронов
и дырок при этой температуре соответственно равны un = 0,4 м2/(В с)
и up = 0,2 м2/(В с). Определить проводимость чистого германия и
германия с концентрацией акцепторов 4,5∙1021м-3.
7.10. В кристалле кремния массой 120 г равномерно по объему
распределены 25,7 мкг фосфора и 38,2 мкг галия. Считая, что атомы
примеси полностью ионизированы вычислить удельное сопротивление кристалла. Подвижность электронов и дырок в кремнии принять равной 0,12 и 0,05 м2/(В сек). Плотность кремния 1300 кг/м3,
молярная масса фосфора – 30,98 г/моль, галлия – 69,7 г/моль.
Задачи повышенной сложности
7.11. Подвижности электронов и дырок в монокристалле кремния при комнатной температуре (300 К) соответственно равны 0,16
и 0,04 м2/(В с). Найти коэффициенты диффузии электронов и дырок
при этой температуре.
7.12. Время жизни носителей тока в полупроводнике резко зависит от поверхностных условий. При исследовании образца германиевого кристалла n-типа с заземленной поверхностью было
найдено, что время жизни носителей тока 78 мкс, а у образца, поверхность которого протравлена кислотой, 340 мкс. Пологая, что
подвижность электронов 0,36 м2/(В с), найти диффузионную длину
электрона при комнатной температуре в обоих образцах.
7.13. Концентрация акцепторов в полупроводнике 1018 см-3.
Энергетический уровень этих акцепторов на 0,5 эВ выше, чем потолок валентной зоны. Вычислить электропроводность материала при
комнатной температуре (300 К) и при температуре жидкого кислорода (90 К), если подвижность дырок в валентной зоне кристалла
100 см2/(В сек). Собственной проводимостью полупроводника пре-
небречь.
7.14. Определить величину прямого напряжения, при котором
ток через р-n-переход равен предельному значению обратного тока
(выпрямление отсутствует). Температуру принять равной 20 °С.
Литература: 1‒7, 9, 13.
82
8. ЭФФЕКТ ХОЛЛА.
22
2
3
8
pn
H
pn
pu nu
R
e pu nu
ХОЛЛОВСКАЯ РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ.
СМЕШАННАЯ ПРОВОДИМОСТЬ.
ПОСТОЯННАЯ ХОЛЛА
Цель ‒ рассмотреть основные понятия эффекта Холла в собствен-
ных и примесных полупроводниках.
Знания и умения, приобретаемые студентом в результате осво-
ения темы, в рамках формируемых компетенций: ПК-1.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
знать: физические законы и понятия современной теории элек-
тропроводимости, эффект Холла в собственном и примесных полупроводниках, примесных полупроводниках со смешанным типом проводимости на основе которых выражаются формулы для расчета постоянной Холла, ЭДС Холла, подвижности носителей;
уметь: определять по знаку постоянной Холла тип проводимости
полупроводника, по модулю постоянной Холла – концентрацию носителей тока;
владеть: методами и способами применения формул для расчета
концентрации носителей тока, подвижности носителей тока, удельной
проводимости.
Актуальность темы. Рассматриваемая тема является основой для
формирования знания об эффекте Холла в собственных и примесных
полупроводниках, а также в примесных полупроводниках со смешанным типом проводимости.
Теоретическая часть
Основные формулы
При не слишком сильных магнитных полях холловская раз-
ность потенциалов UH пропорциональна магнитной индукции поля
В, силе тока I и обратно пропорциональна толщине пластины b:
UH = RHBI/b = RHBja, (8.1)
где j – плотность тока в образце; а – ширина образца; RH – постоянная Холла, зависящая от материала образца.
Для полупроводников со смешанной проводимостью, у ко-
торых концентрации электронов и дырок сравнимы друг с другом,
постоянная Холла вычисляется из следующего соотношения:
, (8.2)
83
где n и р – концентрации электронов и дырок; un и up – подвижности
3
8
pn
H
i p n
uu
R
en u u
электронов и дырок соответственно.
Для полупроводников р-типа выражение для RH примет вид:
RH = 3π/(8ер). (8.3)
Для полупроводников n-типа (при n >> р):
RH = 3π/(8еn); (8.4)
Для собственных полупроводников, в которых n = р = ni,
выражение (8.2) принимает вид:
. (8.5)
Для полупроводников в случае малых значений вектора ин-
дукции магнитного поля выражение для RH примет вид:
(8.6)
Если, помимо ЭДС Холла, измерить электропроводность
σ = enun образца, то можно найти подвижность un носителей заряда:
μn = R
σ. (8.7)
H
Примеры решения задач
Пример 8.1. Тонкая пластина из кремния n-типа шириной 2 см
помещена перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля В = 0,5 Тл. При плотности тока, направленной вдоль
пластины, равной 2 мкА/мм, холловская разность потенциалов оказалась равной 2,8 В. Определить концентрацию основных носителей тока.
Дано:
а = 0,02 м
В = 0,5 Тл
J = 2 А/м
2
UH = 2,8 В
n = ?
РЕШЕНИЕ
В данной задаче рассматривается полупроводник n-типа, для
которого постоянная Холла определяется из соотношения:
RH = 3π/(8еn). (8.1.1)
Чтобы определить концентрацию n-носителей, нужно знать постоянную Холла RH, которую можно выразить из формулы для холловской разности потенциалов:
UH = RHBja.
84
Отсюда:
RH = UH/(Bja). (8.1.2)
Приравняем правые части выражений (8.1.1) и (8.1.2):
3π/(8еn) = UH/(Bja).
Отсюда получим концентрацию основных носителей тока:
n = 3πBja/(8eUH). (8.1.3)
Подставляя в формулу (8.1.3) числовые значения, получим:
n = 5,26∙1016 м-3.
ОТВЕТ: n = 5,26∙1016 м-3.
Пример 8.2. Образец германия n-типа толщиной 1 мм с кон-
центрацией электронов 1020 м-3 помещен в магнитное поле с индукцией 0,1 Вб/м2. Определить величину ЭДС Холла при токе 1 мА,
протекающем через образец.
РЕШЕНИЕ
ЭДС Холла можно определить по формуле:
UH = RHBI/b,
где RH – постоянная Холла; I – величина тока; В – индукция магнитного поля; b – толщина пластинки.
Тогда с учетом формулы
получим:
Подставляя численные данные, получим:
ОТВЕТ: UH = 6 мВ.
Пример 8.3. Вывести общее выражение для постоянной Холла
полупроводника. Как упростится это выражение для собственного
полупроводника?
РЕШЕНИЕ
Рассмотрим проводник, по которому в направлении оси x течет
электрический ток плотностью j. Магнитное поле направлено вдоль
оси z. В этом случае должна возникнуть составляющая электрического поля вдоль оси y, чтобы уравновесить силу Лоренца. Эта составляющая электрического поля:
Еу = Ех tgϑ,
где ϑ – угол Холла. Для электронов tg ϑe= – Bue.
85
А для дырок tg ϑp= – Bup.
6
3
н
3
0,42 5 10
2,1 10 Ом м.
20 10
a
U
Ia
33
43
н
н
3
6,25 10 10
6,25 10 м Кл.
20 10 0,5
a
U
R
IB
Тогда плотность поперечного холловского тока будет равна:
jу = – еп ue tg ϑe Ех + ер up tg ϑp Ех.
Поле, необходимое для полной компенсации поперечной составляющей тока, можно определить из условия Ey = jy/σ, или
Подставляя значение σ, находим:
Так как E
=RjB, то из сравнения двух последних формул сле-
хол
дует, что
Для собственного полупроводника n = p = ni. Тогда
Пример 8.4. Прямоугольный образец полупроводника п-типа с
размерами а = 50 мм, b = 5 мм и δ = 1 мм помещен в магнитное поле
с индукцией В = 0,5 Тл. Вектор магнитной индукции перпендикуля-
рен плоскости образца. Под действием напряжения Ua = 0,42 В, приложенного вдоль образца, по нему протекает ток Iа = 20 мА. Измерения показывают ЭДС Холла Uн = 6,25 мВ. Найти удельную проводимость, подвижность и концентрацию носителей заряда для
этого полупроводника, полагая, что электропроводность обусловлена носителями только одного знака.
РЕШЕНИЕ
Удельное сопротивление полупроводника
Отсюда следует, что удельная проводимость γ = 1 / ρ = 480 см/м.
Коэффициент Холла вычисляем по формуле
86
Концентрация электронов
1
1
4 19 22 3
н
6,25 10 1,6 10 10 м.n R e
n
en
4
н
480 6,25 10 0,3
n
R
1
1
19 19 3
н
0,21 1,6 10 2,98 10 м.n R e
дд
exp 2 .
c
n N N W kT
д
н
д
exp 2
1
.
c
W kT
R
ne
e N N
34
д
н2 2
34
н1 1 2 1
11
ln .
2
W
RT
R T k T T
3 4 3 4
н2 2 н1 1
д
21
5 3 4 3 4
2
2 ln
11
2 8,625 10 ln 0,21 40 428 20
4,9 10 эВ.
1 40 1 20
k R T R T
W
TT
Из выражения
следует, что подвижность электронов
м2 / (В·с).
Пример 8.5. В кремнии п-типа с концентрацией доноров Nд =
2·1021 м-3 при температуре Т1 = 20 К коэффициент Холла Rн1 = 428
м3/Кл, а при температуре Т2 = 40 К Rн = 0,21 м3/Кл. Определить энергию ионизации доноров.
РЕШЕНИЕ
Концентрация носителей заряда при Т = 40 К
Поскольку n << Nд, можно воспользоваться формулой
Тогда коэффициент Холла
Учитывая, что Nс ~ T
3/2
, приходим к соотношению
Отсюда находим энергию ионизации доноров
Пример 8.6. Вычислить коэффициент Холла для германия с
собственной электропроводностью при температурах Т1 = 300 К и
Т
= 500 К, полагая, что подвижности электронов и дырок изменя-
2
ются в соответствии с выражениями: μп = 0,39 (Т/300)
(Т/300)
-3/2
. Ширина запрещенной зоны германия ΔЕg = 0,665 эВ.
87
-3/2
; μр = 0,19
РЕШЕНИЕ
2
Н
2
,
np
np
np
A
R
e
np
Н
1
1,18
.
1
np
i n p
R
e
n
3
Н
19 19
1,18 0,39 0,19 1
0,12 м Кл.
1,6 10 2,1 10 0,39 0,19 1
R
43
Н
1,34 10 м Кл.R
22
0.
np
n p
22
.
np
pn
2
,
i
np n
.
npi
pn
Если в электропроводности полупроводника участвуют носители
заряда двух типов, то коэффициент Холла определяется выражением
где А – коэффициент, зависящий от механизмов рассеяния, преобладающих в полупроводнике.
Полагая, что при комнатной и более высоких температурах на
значение коэффициента Холла влияет в основном рассеяние на тепловых колебаниях узлов решетки (при этом А = 1,18), для собствен-
ного полупроводника имеем
При температуре Т1 собственная концентрация носителей заряда в германии равна 2,1 · 1019 м-3, а при Т2 она равна 1,9 · 1022 м-3.
Отсюда находим коэффициент Холла
Аналогично для Т = 500 К находим
Пример 8.7. В результате измерений установлено, что в пла-
стине кремния р-типа при температуре Т = 500 К наблюдается инверсия знака коэффициента Холла. Найти концентрацию акцепторов в полупроводнике, если μп = 0,14 м2 / (В·с); μр = 0,048 м2 / (В·с),
причем отношение подвижностей остается неизменным во всем
температурном интервале измерений. При температуре Т = 300 К,
ширина запрещенной зоны ΔW0 = 1,12 эВ, а эффективные массы
плотности состояний тс = 1,05т0, тv = 0,56m0, Коэффициент температурного изменения ширины запрещенной зоны b = 2,84·10-4 эВ/К.
При температуре инверсии знака коэффициента Холла выполняется условие:
Используя соотношение «действующих масс» для носителей
заряда
получаем
РЕШЕНИЕ
Отсюда следует:
88
Применяем формулу собственной концентрация носителей за-
exp
2
i c v
W
n N N
kT
32
3
22
;
v
v
m kT
N
h
32
3
22
c
c
m kT
N
h
0
W W bT
20 20 3
1,6 10 0,14 0,048 4,67 10 м.p
ряда:
,
где
– эффективная плот-
ность состояний для дырок валентной зоны и для электронов зоны
проводимости соответственно.
Учитывая изменение ширину запрещенной зоны
, мы определили при Т = 500 К собственную кон-
центрацию носителей заряда в кремнии пi = 1,6 · 1020 м-3, поэтому
концентрация дырок при температуре инверсии
При понижении температуры до 300 К концентрация дырок
остается практически неизменной и равной концентрации акцепторов. Таким образом, Na = 4,7 · 1020 м-3.
Вопросы и задания
Вопросы к практическому занятию:
1. В чём заключается эффект Холла?
2. Что такое холловская разность потенциалов?
3. Как определить постоянную Холла для полупроводников
различного типа проводимости?
4. Как определить подвижность носителей тока в эффекте
Холла?
5. Как определить проводимость носителей тока в эффекте
Холла?
6. Как определить постоянную Холла для полупроводников
смешанного типа проводимости?
7. Как по величине постоянной Холла определить тип прово-
димости полупроводника?
8. Как по величине постоянной Холла определить концентра-
цию носителей тока в полупроводнике?
9. Почему эффект Холла в полупроводниках наиболее выра-
жен по сравнению с металлами?
10. От чего зависит постоянная Холла?
11. Как определить ЭДС Холла?
89
Задачи
8.1. Образец германия n-типа имеет удельное сопротивление
ρ = 0,015 Ом м и значение постоянной Холла 5,4∙10-3 м3/Кл. Опре-
делить концентрацию основных носителей и их подвижность. Дырочной проводимостью пренебречь.
8.2. Удельная проводимость антимонида индия р-типа 2∙103
Ом-1 м-1, а подвижность дырок в нем 0,4 м2/(В с). Определить постоянную Холла и концентрацию дырок. Электронной проводимостью
пренебречь.
8.3. Подвижности электронов и дырок в кремнии соответственно
равны un = 0,15 м2/(В с) и uр = 0,05 м2/(В с). Вычислить постоянную
Холла для кремния, если его удельное сопротивление 620 Ом мм.
Кремний рассматривать как собственный полупроводник.
8.4. Полупроводник в виде тонкой пластины шириной 1 см и
длиной 10 см помещен в однородное магнитное поле с индукцией
0,2 Тл. Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости
пластины. К концам пластины приложено постоянное напряжение
300 В. Определить холловскую разность потенциалов на гранях
пластины, если постоянная Холла равна 0,1 м3/Кл, а удельное сопротивление – 0,5 Ом м.
8.5. Удельное сопротивление кремния с примесями равно
0,01 Ом м. Определить концентрацию дырок и их подвижность.
Принять, что полупроводник обладает только дырочной проводимостью, а постоянная Холла равна 4∙10-4 м3/Кл.
8.6. Образец германия n-типа толщиной 1мм с концентрацией
электронов 10
20 м-3
помещен в магнитное поле с индукцией
0,1 Вб/м2. Определить величину э.д.с. Холла при токе 1 мА, проте-
кающем через образец.
8.7.Электропроводность и коэффициент Холла арсенида индия
соответственно равны: 4∙102 Ом-1м-1 и 10-2м3/Кл. Считая, что проводимость осуществляется зарядами одного знака определить их концентрацию и подвижность.
8.8. Вычислить коэффициент Холла для кристаллов германия с
концентрацией индия и сурьмы соответственно: 1023 и 1024 м-3. Подвижности электронов и дырок в германии при комнатной температуре равны: μе = 0,38 м2/(В сек); μр=0,18 м2/(В сек).
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]