Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика конденсированного состояния. Учебное пособие (практикум)
.pdf
23
3,54 6,02 10
25 3
0
2,84 10 м.
3
74,9216 10
dN
N
A
As
Концентрация атомов мышьяка в арсениде галлия стехиомет-
23
5318,0 6,02 10
28 3
2,21 10 м.
0
3
144,6416 10
d
GaAs
NN
As
M
GaAs
3
1,28 10 .x N N
As
0
2 43
111
2 sin d
111
0
0,15405
0,21
2sin 2sin21,5
d
2 2 2
hkl
a
d
h k l
2 2 2
111
3 0,36
hkl
a d h k l d
2
0,128
4
a
r
рического состава
Атомная доля вакантных узлов
Уточненный состав твердой фазы: GaAs
1-0,00128
или GaAs
0,99872
.
Пример 2.6. Рефлекс от плоскости (111) на рентгенограмме
меди, снятой при длине волны рентгеновского излучения
λ = 0,5405 нм, наблюдается под углом
. Найти период ГЦК-
решетки а и атомный радиус rа меди.
РЕШЕНИЕ
Из уравнения Вульфа-Брэгга
, тогда
нм.
Для кубической решетки
, отсюда
нм
(экспериментальное значение – а = 0,3556 нм).
На диагонали грани ГЦК-решетки находится два атома, тогда
нм.
Пример 2.7. На грань кристалла каменной соли падает параллельный пучок рентгеновских лучей (= 1,47 Å). Определить расстояние между атомными плоскостями кристалла, если дифракционный максимум второго порядка наблюдается, когда лучи падают
под углом =31°30.
РЕШЕНИЕ
Из уравнения Вульфа-Брэгга найдем межплоскостное расстояние:
31
d nλ / 2sin
Угол является дополнительным углом к углу :
= π
= 58°30/.
Подставим числовые значения:
d = 21,4710
-10
/ 2sin 58°30/ 1,710
-10
м = 1,7 Å = 0,17 нм.
Пример 2.8. Кристаллы меди имеют гранецентрированную кубическую решетку. При комнатной температуре ребро элементарного куба равно 3,608 Å. Монокристалл меди вырезан параллельно
одной из граней элементарного куба. Пусть на поверхность кристалла падает монохроматический пучок рентгеновских лучей с
длиной волны 1,658 Å. Показать, что плоскости, параллельные поверхности, будут отражать рентгеновские лучи, если угол между
пучком и поверхностью кристалла приближенно равен 27° или 67°.
РЕШЕНИЕ
Как известно, отражение от кристалла возникает в том случае,
если выполняется условие Вульфа-Брэгга: 2d sin = n.
Откуда sin = n/ 2d. При n = 2: sin = / d = 1,658 /
3,6080,4595; 27°. При n = 4: sin 2= 2/ d = 21,658 / 3,608
0,9190; 67°.
ОТВЕТ: при n = 2 27°, при n = 4 67°.
Пример 2.9. Кристаллы меди имеют гранецентрированную ку-
бическую решетку. При комнатной температуре ребро элементарного куба равно 3,608 Å. Монокристалл меди вырезан параллельно
одной из граней элементарного куба. Пусть на поверхность кристалла падает монохроматический пучок рентгеновских лучей с
длиной волны 1,658 Å. Показать, что плоскости, параллельные поверхности, будут отражать рентгеновские лучи, если угол между
пучком и поверхностью кристалла приближенно равен 27° или 67°.
РЕШЕНИЕ
Как известно, отражение от кристалла возникает в том случае,
если выполняется условие Вульфа-Брэгга: 2d sin = n.
Откуда sin = n/ 2d. При n = 2: sin = / d= 1,658 /
3,6080,4595; 27°. При n = 4: sin 2= 2/ d= 21,658 / 3,608
0,9190; 67°.
ОТВЕТ: при n = 2 27°, при n = 4 67°.
32
Пример 2.10. Какое максимальное число линий может по-
(hkl)
(100)
(110)
(111)
(200)
(210)
(211)
(220)
(300)
(310)
h2+k2+l2
1 2 3 4 5 6 8 6 10
явиться на рентгенограмме от простой кубической решетки с постоянной а = 2,86∙10-8 см, если исследование ведется на кобальтовом
излучении с длиной волны 1,789∙10 8 см.
РЕШЕНИЕ
По формуле Вульфа-Брэгга для кубической решетки:
Так как максимальное значение sin = 1, то
(h2+k2+l2) = 4a2 / λ2 = 10,2.
Следовательно, на рентгенограмме появятся линии от плоскостей, у которых сумма квадратов индексов Миллера не превышает
10, а именно:
ОТВЕТ: 9 линий.
Пример 2.11 Показать для случая простой кубической решетки, что формула Вульфа-Брэгга является следствием условий
Лауэ.
РЕШЕНИЕ
Для простой кубической решетки условия Лауэ имеют вид:
a(cos cos0) = k1 ,
b(cos– cos0) = k2 ,
c(cos– cos0) = k3 .
Возведем, правые и левые их части в квадрат и сложим, имея в
виду соотношения:
cos2α + cos2β + cos2γ =1, cos2α0 + cos2β0 + cos2γ0 =1.
Получим:
2
2
2a2[1 – (cosα0cosα + cosβ0cosβ + cosγ0cosγ)] = (k
1
+ k
2
+ k
2)λ2
3
Обозначим угол между падающим и дифрагированным пучком
лучей через 2θ. Тогда
cosα0cosα + cosβ0cosβ + cosγ0cosγ = cos2θ.
В этом случае с учётом основного тригонометрического тождества и определения косинуса двойного угла (cos2α = cos2α – sin2α)
получим:
2
2
4a2sin2α = (k
1
+ k
2
+ k
3
2)λ2
.
.
33
Если k1, k2, k3 имеют общий сомножитель, т. е. k1=nh, k2=nk,
k3=nl , то
где h, k, l – индексы Миллера.
Так как для кубической решетки межплоскостное расстояние
связано с параметром решетки соотношением
окончательно получим:
2dsinθ = nλ.
Вопросы и задания
Вопросы к практическому занятию
1. Что такое обратная решетка?
2. Как определить вектора обратной решетки, если известны
вектора прямой кристаллической решетки?
3. Как связаны вектора прямой решетки с векторами обратной
кристаллической решетки?
4. Как определяются вектора трансляции для обратной решетки?
5. Запишите формулу скалярного произведения векторов.
6. Запишите формулу векторного произведения векторов.
7. Как определяется смешанное произведение векторов?
8. Выразите угол между любыми двумя векторами прямой
кристаллической решетки.
9. Выразите угол между любыми двумя векторами обратной
кристаллической решетки.
10. Перечислите свойства обратной решетки.
11. Запишите формулу для определения угла между плоско-
стями.
12. Запишите формулу для определения угла между направле-
ниями в кристаллической решетке.
13. Запишите формулу для определения угла между прямой и
плоскостью.
14. Запишите формулу для определения межплоскостного
расстояния.
15. Выведите формулу для межплоскостного расстояния для
различных сингоний.
16. Как связать параметры прямой и обратной решеток?
17. Как определить вектор обратной решетки, соответствую-
щий межплоскостному расстоянию?
, то
34
18. Сформулируйте условие Вульфа-Брэгга.
19. Объясните методику структурных исследований с приме-
нением рентгеновского излучения?
20. Почему для исследования внутренней структуры кристал-
лов необходимо использование рентгеновского излучения?
21. Какие факторы влияют на применение методов рентгенов-
ской дифрактометрии для изучения структуры кристаллов?
22. Что определяет функция электронной плотности?
23. В чем состоит условие Лауэ?
24. Когда условие Вульфа-Брэгга является следствием усло-
вия Лауэ?
25. Какие особенности кристаллической структуры влияют на
значение структурного фактора?
Задачи
2.1. Элементарная ячейка магния принадлежит к гексагональной системе и имеет параметры а = 3,20 Å и с = 5,20 Å. Определить
векторы обратной решетки.
2.2. Выразить углы между векторами обратной решетки через
углы прямой решетки.
2.3. Показать, что решетка, обратная кубической гранецентрированной, будет кубической объемно-центрированной
2.4. Определить угол между плоскостями (201) и (310) в ромбической сере с параметрами решетки а = 10,437 Å , b = 12,845 Å ,
c = 24, 369 Å.
2.5. Найти угол, образуемый гранями (100) и (010) кубического
кристалла.
2.6. В триклинной решетке цианита параметры а, b, c и углы α,
β, γ элементарной ячейки соответственно равны 7,09; 7,72; 5,56 Å;
90°55`; 101°2`; 105°44`. Определить расстояния между плоскостями
(201) и (120).
2.7. Получить формулы для вычисления межплоскостных расстояний кристаллов: 1) ромбической; 2) гексагональной; 3) тетрагональной; 4) кубической систем из формулы для межплоскостных
расстояний кристаллов триклинной системы.
2.8. Определить постоянную решетки кристалла LiJ, если известно, что зеркальное отражение первого порядка рентгеновских
лучей с длиной волны 2,10 Å от естественной грани этого кристалла
происходит при угле скольжения 10°5'.
35
2.9. Какова длина волны монохроматических рентгеновских
лучей, падающих на кристалл кальцита, если дифракционный максимум первого порядка наблюдается, когда угол между направлением падающих лучей и гранью кристалла θ – 3°. Принять, что расстояние между атомными плоскостями кристалла d = 3,0 Å.
2.10. Узкий пучок рентгеновских лучей падает под углом
скольжения 60° на естественную грань монокристалла NaCl, плотность которого 2,16∙103 кг/м3. При зеркальном отражении от этой
грани образуется максимум второго порядка. Определить длину
волны излучения.
2.11. Система плоскостей примитивной кубической решетки
задана индексами (111). Определить расстояние между соседними
плоскостями, если параметр решетки а = 3 Å.
2.12. Определить параметр а примитивной кубической решетки, если межплоскостное расстояние d для системы плоскостей,
заданных индексами Миллера (212) при рентгеноструктурном измерении, оказалось равным 0,12 нм.
2.13. Известно, что длина волны характеристического рентгеновского излучения, полученного с медного анода, составляет
1,537 Å. Эти лучи, попадая на кристалл, вызывают дифракцию от
плоскостей (212) под брэгговским углом 21°24/. Кристалл имеет
структуру гранецентрированного куба, плотность его 3200 кг/м3.
Определите молярную масса кристалла.
2.14. Рассчитать теоретические углы θ под которыми появятся
линии (101) и (110) от кристалла сегнетовой соли в несегнетоэлектрической фазе при
(λ = 1,84 ). Решетка кристалла ромбическая с
рентгеносъемке в медном Кα-излучении
параметрами:
а = 11,878 Å; b = 14,246 Å; с = 6,218 Å.
2.15. При съемке дебаеграммы серебра при температурах 18 °С
интересующая нас линия второго порядка с параметрами (111) появилась при углах 80°9/. Вычислить параметр гранецентрированной
кубической решетки.
2.16. При прецизионном определении параметров тетрагональной решетки β-олова методом асимметричной рентгеновской
съемки на Cu-излучении (
линий (503) и (201): θ
(503)
λ = 1,84
=79,017°, θ
) были получены значения θ для
=82,564°. Найти параметры
(271)
решетки.
2.17. Какое максимальное число линий может появиться на
рентгенограмме от простой кубической решетки с постоянной
36
а = 1,8∙10-8 см, если исследование ведется на кобальтовом излучении с длиной волны λ = 1,789∙10-8 см.
Задачи повышенной сложности
2.18. Найти векторы обратной решетки для ромбоэдрического
кристалла кальцита (СаСО3), если a = 6,36 Å, α = 46°6/.
2.19. Вычислить объем элементарной ячейки триаминхлорида
четырехвалентной платины в обратном пространстве, если параметры ячейки и углы триклинности имеют следующие значения:
a =11,13 Å, b = 9,83 Å, c = 8,17 Å, α = 94°10/, β = 95°40/ , γ = 96°58/.
2.20. Показать, что ромбической решетка в обратном простран-
стве тоже будет ромбической.
2.21. Построить гексагональную решетку в обратном простран-
стве.
2.22. Вычислить угол между плоскостями (111) и (102) тетра-
гонального кристалла галлия с параметрами решетки a = 4,50 Å,
c = 7,64 Å.
2.23. Найти угол, образуемый гранями (100) и (010) кубического кристалла.
2.24. Моноклинная решетка b – селена имеет следующие параметры: a = 12,85 Å, b = 8,07 Å, c = 9,31 Å, β = 93°8/. Определить угол
между прямой, проходящей через начало координат и точку с координатами (100), и плоскостью (102).
2.25. Определить угол между двумя направлениями [102] и
[210] в кристалле триглицинсульфата ((NH2CH2COOH)3 ×H2SО4) с
параметрами элементарной ячейки a =9,42 Å, b = 12,64 Å, c = 5,73 Å
и углом моноклинности β = 110°23/.
2.26. Кристаллы меди имеют гранецентрированную кубическую решетку. При комнатной температуре ребро элементарного
куба равно 3,608 Å. Монокристалл меди вырезан параллельно одной из граней элементарного куба. Пусть на поверхность кристалла
падает монохроматический пучок рентгеновских лучей с длиной
волны 1,658 Å. При каком угле между пучком и поверхностью кристалла плоскости, параллельные поверхности, будут отражать рентгеновские лучи, соответствующие 2 порядку дифракции? Как изменится угол, если рассматривать 3 дифракционный максимум?
Литература: 1–7, 9, 13.
37
3. ТЕПЛОЕМКОСТЬ КРИСТАЛЛОВ.
ЗАКОН ДЮЛОНГА-ПТИ.
ТЕОРИЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ ЭЙНШТЕЙНА.
ТЕОРИЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ ДЕБАЯ
Цель – ознакомиться с понятием теплоемкости кристаллов с
точки зрения классической и квантовой физики.
Знания и умения, приобретаемые студентом в результате осво-
ения темы, в рамках формируемых компетенций: ПК-1.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
знать: типы теплоемкостей и физические законы, на основе кото-
рых выражаются формулы для расчета теплоемкостей кристаллов в
классической и квантовой физике; закон сохранения энергии для конденсированных состояний, закон Неймана – Коппа, закон Дюлонга и
Пти, теорию теплоемкости Дебая, теорию теплоемкости Эйнштейна;
уметь: определять внутреннюю энергию и теплоемкость согласно
законам Дюлонга и Пти и Неймана – Коппа; определять внутреннюю
энергию и теплоемкость согласно теории теплоемкости Дебая; определять внутреннюю энергию и теплоемкость согласно теории теплоемкости Эйнштейна;
владеть: методами теоретического описания внутренней энергии
кристаллической решетки, способами определения теплоемкости кристаллов согласно теории Дебая, способами определения теплоемкости
кристаллов согласно теории Эйнштейна.
Актуальность темы. Рассматриваемая тема является основой для
формирования знания о способах передачи и поглощения энергии кристаллической решеткой в современной физике конденсированного вещества, а также о способах теплопередачи и теплопереноса в кристаллической решетке.
Теоретическая часть
Основные формулы
Согласно закону Дюлонга и Пти, молярная теплоемкость
химически простых твердых тел при температурах, больших температуры Дебая Θ:
С
= 3R, (3.1)
µ
где R = 8,31 Дж/(моль К) универсальная газовая постоянная.
Для химически сложных тел (состоящих их атомов различ-
ных химических элементов) – закон Неймана – Коппа:
С
= 3nR, (3.2)
µ
38
где n – общее число частиц в химической формуле соединения.
3inR
с
h
h
p
2
D
k
Удельная теплоемкость:
для химически простых
с = С
/µ (3.3)
µ
и для химически сложных веществ
. (3.4)
Энергия фонона ɛ связана с циклической частотой колеба-
ний ω соотношением:
, (3.5)
Квазиимпульс фонона:
, (3.6)
где h = 6,63 10
-34
Дж с.
Скорость υ фонона (скорость звуковых волн в кристалле в
пренебрежении дисперсией):
. (3.7)
Частота Дебая (максимальная частота колебаний кристалли-
ческой решетки):
ωD = υ (6π2n)
1/3
, (3.8)
где n = N/V – концентрация атомов в кристалле,
n = NAρ / μ, (3.9)
где ρ – плотность кристалла, μ – масса одного моля.
Характеристическая температура Дебая:
, (3.10)
где k – постоянная Больцмана, k = 1,38 10
-23
Дж/К.
Поток тепловой энергии Q, проходящий через поперечное
сечение S стержня в единицу времени
Q = – λ(dT/dx)S, (3.11)
где λ – теплопроводность, dT/dx – градиент температуры
λ = υф l Cv / 3, (3.12)
где υф – групповая скорость фононов, l – средняя длина свободного
пробега фононов между двумя последовательными столкновениями, Cv – теплоемкость единицы объема.
39
Молярная теплоемкость кристаллической решетки при тем-
пературе T << Θ:
С
= 12π4R (Т/Θ)
μ
3
/ 5 = 234R(T/Θ)3. (3.13)
Эйнштейн исходил из двух предположений:
– твердое тело представляет собой совокупность одинаковых
гармонических осцилляторов (атомов), которые колеблются независимо друг от друга с одной и той же частотой ν в трех взаимно
перпендикулярных направлениях;
– энергия осцилляторов квантована по Планку.
Энергия Е системы из NA атомов, определяемая колебаниями
решетки равна:
. (3.14)
Тогда теплоемкость:
. (3.15)
В области высоких температур формула (3.15) приобретает
вид закона Дюлонга и Пти. В области низких температур С
~
v
Ограниченность модели Эйнштейна состоит в его предположении
о равенстве частот всех упругих волн в твердом теле.
Теплоемкость металлов складывается из теплоемкости ре-
шетки С
и теплоемкости электронного газа Се:
реш
С
v
= С
. (3.16)
реш+Се
С нагреванием твердого тела средние расстояния между ча-
стицами увеличиваются, и тело расширяется. Причиной этого является ангармонический характер колебаний частиц твердого тела,
обусловленный асимметрией кривой зависимости энергии взаимодействия частиц от расстояния между ними. Коэффициент линейного теплового расширения α равен:
, (3.17)
где <x> – среднее расстояние между атомами; х0 – положение равновесия атомов, g – коэффициент ангармоничности, β – коэффициент квазиупругой силы.
Еще одним эффектом, обусловленным ангармоническим ха-
рактером колебания атомов, является тепловое сопротивление твердых тел. Выражение для теплопроводности в случае фононов: χ =
40
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]