Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика конденсированного состояния. Учебное пособие (практикум)
.pdf
5. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ МЕТАЛЛОВ.
ПОДВИЖНОСТЬ НОСИТЕЛЕЙ. ВЫРОЖДЕННЫЙ ГАЗ.
УДЕЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Цель – ознакомиться с понятием электропроводности, подвижно-
сти. Знать определение понятия вырожденный газ.
Знания и умения, приобретаемые студентом в результате осво-
ения темы, в рамках формируемых компетенций: ПК-1.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
знать: физические законы и понятия современной теории элек-
тропроводимости металлов, на основе которых выражаются формулы
для расчета электропроводности и температуры вырождения, закон
Ома, закон Видемана-Франца;
уметь: определять дрейфовую скорость электронов, подвижность
электронов, применять закон Ома в дифференциальной форме;
владеть: методами и способами применения закона Видемана-
Франца, теоретического определения энергии и скорости электрона на
уровне Ферми.
Актуальность темы. Рассматриваемая тема является основой для
формирования знания о современной теории электропроводимости металлов на основе зонной теории.
Теоретическая часть
Основные формулы
Металлы в отличие от других твердых тел, как правило, яв-
ляются хорошими проводниками теплоты и электричества. Согласно закону Видемана-Франца, установленному экспериментально, отношение теплопроводности к удельной электропроводности для большинства металлов пропорционально температуре Т,
при этом коэффициент пропорциональности L (число Лоренца) оди-
наков для всех металлов:
χe/σ = LТ. (5.1)
Если к двум противоположным концам металла приложить
разность потенциалов, создающую в каждой точке металла электрическое поле напряженности Е, то между двумя столкновениями
электрон под действием силы: F=e E (e – заряд электрона) будет
двигаться равноускоренно. К концу промежутка времени τ составляющая скорости в направлении вектора E изменится на (eE/m)τ.
Так как после столкновения скорость электрона может иметь любые
61
направления, то вклад от υ в среднюю скорость электронов равен
нулю, а средняя скорость электронов в направлении поля E равна
среднему значению величины (eE/m)τ, т. е.
(5.2)
Это среднее значение скорости в ускоренном движении
называется дрейфовой скоростью (отношение
называют
подвижностью электронов, размерность м2/(В с)).
Плотность тока можно вычислить, пользуясь выражением:
. (5.3)
С другой стороны, согласно закону Ома, плотность тока бу-
дет j = σE.
Отсюда
Применяя к электронному газу представления кинетической
теории газов для теплопроводности получаем выражение:
(5.4)
где Сэл – теплоемкость электронного газа; <υ> – средняя скорость
электронов.
Тогда отношение:
. (5.5)
Это закон Видемана-Франца. Постоянная L = 2,45∙10-8 Вт
Ом/К2 не зависит от сорта металла и носит название числа Лоренца.
В общем случае теплопроводность металлов складывается
из теплопроводности, обусловленной фононами, и теплопроводности, обусловленной свободными электронами:
χ = χ
. (5.6)
реш+χе
В металлах теплопроводность, обусловленная фононами в 100
раз ниже теплопроводности, обусловленной электронами.
Примеры решения задач
Пример 5.1. Какова вероятность того, что электрон в металле
будет иметь энергию равную энергии Ферми?
РЕШЕНИЕ
При Е = μ функция Ферми-Дирака:
Вероятность нахождения электрона на уровне Ферми равна 0,5.
62
Пример 5.2. Определить время, в течение которого электрон
.env E
м/с.
220
4
9,6 10
6 19 28 3
0,017 10 1,6 10 8,45 10 10
v E en U enl
с.
6 31
2 10 9,1 10
24
2 2 2,26 10
пр
19
1,6 10 220
t l a l m eU
3 8 6
10 3 10 3,33 10 c.
c
t l c
пройдет расстояние 1 км по медному проводу, если удельное сопротивление меди 0,017 мкОм·м, а разность потенциалов на концах
проводника U = 220 В. За какое время электрон пролетит это же
расстояние, двигаясь без соударении, при той же разности потенциалов? Каково время передачи сигнала?
РЕШЕНИЕ
Из закона Ома следует, что удельная проводимость
Концентрация свободных электронов в меди п = 8,45·1028 м-3. Тогда
средняя скорость дрейфа электронов
Время дрейфа электрона по проводнику t = l / v =106 с.
При отсутствии столкновений с узлами решетки электрон дви-
жется равноускоренно и время пролета
Передача энергии вдоль проводов линии осуществляется элек-
тромагнитным полем, распространяющимся вдоль проводов со скоростью света с. Полагая, что средой, окружающей провод, является
воздух, время передачи сигнала
Вопросы и задания
Вопросы к практическому занятию
1. Сформулируйте закон Ома в дифференциальной форме.
2. Запишите закон Видемана-Франца.
3. При каких условиях закон Видемана-Франца можно приме-
нять для расчетов электропроводности в металлах?
4. Что такое число Лоренца? В чём его физический смысл?
5. Как вычислить теплопроводность электронов в металлах?
6. Что такое подвижность?
7. В чём состоит физический смысл понятия дрейфовой скорости?
Задачи
5.1. Вычислить среднее значение кинетической энергии электронов в металле при абсолютном нуле, если уровень Ферми равен
11,7 эВ.
63
5.2. Определить максимальную и среднюю квадратичную ско-
рости свободных электронов кальция при Т = 0 К. Считать, что на
каждый атом кальция приходится два свободных электрона.
5.3. Вычислить теплоемкость электронов проводимости единицы объема меди при температуре 100 К, считая, что концентрация электронов равна числу атомов в единице объема. Значение
уровня Ферми для меди принять равным 7 эВ. Плотность меди –
8900 кг/м3, молярная масса – 63,57 г/моль.
5.4. Исходя из классической теории электропроводности ме-
таллов, определить среднюю кинетическую энергию электронов в
металле, если отношение коэффициента теплопроводности к удельной проводимости 6,7∙10
- 6 В2
/К.
5.5. Концентрация свободных электронов алюминия
18,06∙10
22 см-3
. Определить температуру Ферми и скорость электро-
нов на уровне Ферми.
5.6. Электропроводность металла σ =10 МОм
-1 м-1
. Вычислить
среднюю длину свободного пробега электронов в металле, если
концентрация свободных электронов равна 1028 м-3, а средняя скорость хаотического движения электронов равна 104 м/с.
Задачи повышенной сложности
5.7. Вычислить среднюю длину свободного пробега электронов
проводимости натрия при комнатной температуре. Электропровод-
8
ность натрия равна 0,2310
5.8. Удельное сопротивление серебряного провода при комнат-
ной температуре ρ = 1,5410
-1м-1
Ом
-8
.
Омм. Напряженность электрического
поля вдоль провода 1 В/см. Полагая, что в 1 м3 серебра находится
5,8 10
28
электронов проводимости, определить подвижность и
время релаксации электронов.
Литература: 1–7, 9, 13.
64
6. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВ.
ПОДВИЖНОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВ.
ЗАВИСИМОСТЬ ПРОВОДИМОСТИ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ
Цель – рассмотреть основные понятия электропроводимости соб-
ственных и примесных полупроводников.
Знания и умения, приобретаемые студентом в результате осво-
ения темы, в рамках формируемых компетенций: ПК-1.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
знать: физические законы и понятия современной теории электро-
проводимости собственных и примесных полупроводников, на основе
которых выражаются формулы для расчета уровня Ферми и температуры вырождения, концентрации электронов в зоне проводимости и концентрации дырок в валентной зоне, формулы электропроводности электронного и дырочного полупроводников, а также удельной проводимости, закон действующих масс, уравнение электронейтральности;
уметь: определять концентрацию электронов в зоне проводимо-
сти, концентрацию дырок в валентной зоне, подвижность электронов,
положение уровня Ферми в собственном полупроводнике, электропроводность электронов и дырок;
владеть: методами и способами применения закона действующих
масс и уравнения электронейтральности для электронного и дырочного полупроводников; методами и способами применения формул
электропроводности и концентрации электронного и дырочного полупроводников.
Актуальность темы. Рассматриваемая тема является основой для
формирования знания о современной теории электропроводимости
собственных и примесных полупроводников на основе зонной теории.
Теоретическая часть
Основные формулы
Концентрация электронов в зоне проводимости
-
3/2
n = 2(2πmnkT)
3
ћ
ехр[–(Ес – μ)/(kТ)] = Ncexp[(μ – Ec)/kT], (6.1)
где Nc – эффективное число состояний (т.е. плотность состояний),
приведенное ко дну зоны проводимости; (μ – Ес) – энергия Ферми,
отсчитанная от дна зоны проводимости; k = 1,38∙10
–23
Дж/К – постоянная Больцмана; Т – температура полупроводника в Кельвинах;
h = 6,62∙10–4 Дж с – постоянная Планка; m* – эффективная масса
электрона.
65
Концентрация дырок в валентной зоне:
-
3/2
p = 2(2πmpkT)
3
ћ
ехр[(ЕV – μ)/(kТ)] = NVexp[(EV – μ)/kT], (6.2)
где Nv – эффективное число состояний валентной зоны, приведенное к потолку зоны; (Ev – μ) – энергия Ферми, отсчитанная от по-
толка валентной зоны; Ev – энергия, соответствующая потолку валентной зоны; mр – эффективная масса дырок.
Равновесная концентрация носителей в собственных полу-
проводниках:
ni = n = р = (NCNV) exp[–∆E/(kT)], (6.3),
где ∆Е – ширина запрещенной зоны полупроводника.
Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике:
μ – Ес = –∆Е/2 + kT/2 ln(Nv/Nc) (6.4)
или μ – Ес = – ∆Е/2 + 3kТ/4 ln(mn/mp). (6.5)
При Т = 0 или mn = mp уровень Ферми находится посередине
запрещенной зоны.
Удельная проводимость:
σ = е (uр + un) (Nc Nv)
1/2
)
e
, (6.6)
-∆E/(kT
где un и up – подвижности электронов и дырок соответственно.
Уравнение электронейтральности для электронного (донор-
ного) полупроводника:
nn = рn + nД, (6.7)
где nn – концентрация электронов в зоне проводимости электронного полупроводника; рn – концентрация дырок в валентной зоне
электронного полупроводника; nД – концентрация электронов, перешедших с донорных уровней в зону проводимости.
Уравнение электронейтральности для дырочного (акцептор-
ного) полупроводника:
рр = nр + р
, (6.8)
А
где рр – концентрация дырок в валентной зоне дырочного полупроводника; nр – концентрация электронов в зоне проводимости дырочного полупроводника; pA – концентрация дырок, перешедших с акцепторных уровней в валентную зону.
В случае, когда все примеси ионизованы, nД ~ NД (или nA ~ NA), где
NД и NА – концентрация атомов, доноров и акцепторов, соответственно.
Закон действующих масс:
Произведение концентраций электронов и дырок в полупроводнике не зависит от его легирования, а зависит только от температуры и равно квадрату концентраций носителей в собственном
полупроводнике:
66
n p =
2
i
n
2
ln
D
S
C
D
E
T
N
k
N
(T). (6.9)
Электропроводность электронного (донорного) полупро-
водника:
σ = σ
exp[–∆E/(2kT)] + σ0nехр[–ЕД/(2kТ)], (6.10)
0
где σоn = enun, Е – энергия активации донорных примесей.
Электропроводность дырочного (акцепторного) полупро-
водника:
σ = σ
exp[–∆E/(2kT)] + σ0pехр[–ЕА/(2kТ)], (6.11)
0
где σоn = enun, Е – энергия активации акцепторных уровней.
Примеры решения задач
Пример 6.1. Вычислить положение уровня Ферми относи-
тельно дна зоны проводимости в полупроводнике с концентрацией
ионизированных доноров ND = 1023 м-3. При температуре Т = 300 К
плотность состояний у дна зоны проводимости NC = 2,5∙1025 м-3.
Дано:
ND = 1023 м
Т = 300 К
-3
NC = 2,5∙1025 м-3
k = 1,38∙10
-23
Дж/К
(μ – EС) = ?
РЕШЕНИЕ
По условию задачи мы имеем дело с донорным полупроводником (n-типа), который находится при температуре T > TS, где TS –
температура, при которой происходит полное истощение примеси:
. (6.1.1)
Обычно энергия ионизации доноров порядка ~ 0,01 эВ. Используя это значение и численные значения NС и можно оценить величину TS. Проведя вычисления по формуле (6.1.1), получим: TS ~
20 К, т. е. T >> TS.
Концентрация электронов в зоне проводимости при полном истощении донорных уровней становится равной концентрации примеси (n = ND). Она определяется выражением:
n = NC exp[(μ – EC)/(kT)]. (6.1.2)
67
Следовательно, в нашем случае:
NC / ND = exp[-(μ – EC)/(kT)]. (6.1.3)
Прологарифмируем выражение (6.1.3):
ln(NС / ND) = – (μ – EC)/(kT). (6.1.4)
Отсюда
(μ – ЕC) = – kT ln(NС / ND). (6.1.5)
Подставляя в выражение (6.1.5) численные значения величин,
проведем вычисления и определим положение уровня Ферми:
(μ – ЕC) = – 0,143 эВ.
Пример 6.2. Вычислить удельное сопротивление германиевого
полупроводника р-типа при плотности дырок 3∙1020 м3. Сравнить с
сопротивлением полупроводника n-типа при той же концентрации
электронов.
РЕШЕНИЕ
Электропроводность полупроводника р-типа
где np и up – концентрация и подвижность дырок. Отсюда
Подвижность дырок в германии 0,18 м2/(В·с), электронов
0,38 м2/(В·с). Тогда
Аналогично при той же концентрации электронов
Подставляя численные данные, получим:
Пример 6.3. Удельное сопротивление собственного германия
при 27 °С составляет 0,47 Ом·м. Полагая, что подвижности электронов и дырок соответственно равны 0,38 и 0,18 м2/(В·с), вычислить
концентрацию носителей тока при 27 °С.
РЕШЕНИЕ
Электропроводность собственного полупроводника
.
68
Откуда
i
n
n
p
Подставляя численные значения, получим:
Пример 6.4. В германии при температуре 300 К концентрация
собственных носителей равна 4,0∙1019 м-3. Определить концентрацию электронов n, дырок p и доноров ND, если n = 1,005 ND.
Дано:
Т= 300 К
ni = 4,0 10
19 м-3
n = 1,005 ND
n = ? p = ? ND = ?
РЕШЕНИЕ
По условию задачи мы имеем дело с примесным полупроводником n-типа (донорный полупроводник). Используем уравнение
электронейтральности:
n =р + ND. (6.4.1)
Подставляем условие для n в формулу (6.4.1), откуда р = 5∙10-3 ND.
Для определения ND используем закон действующих масс:
n р = ni 2. (6.4.2)
2
Откуда получаем: 5,025∙10-3 N
D
2
= n
, и следовательно,
i
ND = ni / 0,071 = 5,65∙1020 м-3.
Теперь вычислим концентрацию электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне:
n = 1,005 ND = 5,68∙1020 м-3.
р = 5 10-3 ND = 2,82∙1018 м-3.
Пример 6.5. Определить, при какой концентрации примесей
удельная проводимость германия при температуре 300 К имеет
наименьшее значение. Найти отношение собственной удельной проводимости к минимальной при той же температуре. Принять собственную концентрацию носителей заряда при комнатной температуре
подвижность дырок
= 2,1·1019 м-3, подвижность электронов
= 0,19 м2·(В·с)-1.
= 0,39 м2·(В·с)-1,
69
РЕШЕНИЕ
0.d dn
2
n p n i p
en ep en en n
22
0
n i p
e en n
i p n
nn
i n p
pn
19 19
2,1 10 0,19 0,39 1,47 10n
19 19
2,1 10 0,39 0,19 3,01 10p
i i n p
en
min
0,39 0,19
1,065
2 2 0,39 0,19
np
i
np
n
23
28
A
Ga As GaAs
3
GaAs
5320 6,02 10
2,214 10
144,64 10
N
N N N d
M
28
Ga As
4,42 10NN
28 4 24
Si
4,42 10 10 4,42 10N
Минимум удельной проводимости находим из условия
Учитывая, что
, по-
сле дифференцирования получим
.
Решая это уравнение, находим
;
.
Для германия при 300 К получаем
м-3;
м -3.
Таким образом, минимальную удельную проводимость имеет
слаболегированный полупроводник р-типа. Учитывая, что собственная удельная проводимость определяется уравнением
, находим искомое отношение
.
Пример 6.6. Кристаллы арсенида галлия n-типа имеют удель-
ное сопротивление = 2·10-5 Ом·м, подвижность электронов
=
0,2 м2·(В·с)-1 и в качестве основной легирующей примеси содержат
кремний в количестве 10-2 атома %. Полагая, что все атомы кремния
электрически активны, определить, сколько их находится в узлах галлия и сколько в узлах мышьяка. Плотность материала d = 5320 кг·м-3.
РЕШЕНИЕ
Число атомов галлия и мышьяка в единице объема
В единице объема арсенида галлия содержится
-3
м
атомов. Общая концентрация атомов
кремния в решетке GaAs
70
м-3.
м-3.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]