Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика конденсированного состояния. Учебное пособие (практикум)
.pdf
3.24. Длина волны фонона, соответствующего частоте ω = 0,01
ω
, равна 52 нм. Пренебрегая дисперсией звуковых волн, опреде-
D
лить температуру Дебая Θ, если усредненная скорость звука в кристалле равна 4,8 км/с.
3.25. Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна,
вычислить изменение внутренней энергии одного моля кристалла
при нагревании его на ΔТ = 2 К от температуры Т = 1/2 θЕ.
3.26. Используя квантовую теорию теплоемкости Дебая, вычислить изменение внутренней энергии одного моля кристалла при
нагревании его на ΔТ = 2 К от температуры Т= 1/2 θД.
3.27. Вычислить по теории Дебая нулевую энергию одного
моля кристалла меди. Характеристическая температура θД для меди
равна 320 К.
Литература: 1–7, 9, 13.
51
4. ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ В МЕТАЛЛАХ.
2
2
2
3
*
32n
m
3
5
1/3
4
1,313
9
В F F
T T T
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ. УРОВЕНЬ ФЕРМИ
Цель – ознакомиться с понятием эффективная масса, энергия
электронов, уровень Ферми, электронный газ.
Знания и умения, приобретаемые студентом в результате
освоения темы, в рамках формируемых компетенций: ПК-1.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
знать: физические законы и понятия современной теории элек-
тропроводимости металлов, на основе которых выражаются формулы
для расчета уровня Ферми и температуры вырождения;
уметь: определять уровень Ферми и температуру Ферми, темпе-
ратуру вырождения, среднюю энергию электрона, скорость электрона
на уровне Ферми, электропроводимость кристаллов;
владеть: методами и способами теоретического определения
электропроводимости металлов, энергии и скорости электрона на
уровне Ферми.
Актуальность темы. Рассматриваемая тема является основой для
формирования знания о современной теории электропроводимости металлов на основе зонной теории.
Теоретическая часть
Основные формулы
Концентрация электронов, dn(ε), энергия которых заклю-
чена в интервале значений от ε до ε + dε:
dn(ε) = (2m*)
3/2
(2π2 ћ3)-1 ε
1/2
(е
ε-μ)/кТ
(
+ 1)-1 , (4.1)
где m* и ε – эффективная масса и энергия электрона, μ – энергия
Ферми.
При Т = 0
Средняя энергия электронов при Т = 0:
Температура Ферми
Температура вырождения
. (4.2)
. (4.3)
T
= μ / k. (4.4)
F
. (4.5)
52
Газ свободных, невзаимодействующих электронов, подчи-
няющихся принципу Паули, называют свободным электронным
газом Ферми.
Полную энергию электронов можно считать равной их ки-
нетической энергии, а потенциальной можно пренебречь. Энергия
Ферми ε
определяется как энергия электронов на высшем еще за-
F
полненном уровне. В одномерном случае:
, (4.6)
где nF – квантовое число наивысшего занятого энергетического
уровня; N = 2 n
число электронов; m – масса электрона; L – длина
–
F
отрезка прямой линии, ограничивающей движение электрона (на
краях этого отрезка имеются бесконечной высоты потенциальные
барьеры). При повышении температуры кинетическая энергия электронного газа увеличивается. При этом некоторые энергетические
уровни, которые при абсолютном нуле были вакантными, оказываются занятыми, и одновременно часть уровней, которые при абсолютном нуле были заняты, становятся вакантными.
Вероятность того, что в состоянии теплового равновесия иде-
ального электронного газа при температуре Т состояние с энергией ε
занято электронами есть функция распределения Ферми-Дирака:
, (4.7)
где μ – химический потенциал. μ – это максимальная энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при абсолютном нуле температуры: μ = ε
(f(E) = 1/2). Наивысший уровень, за-
F
нятый электронами, называется уровнем Ферми. Ему соответствует энергия Ферми E
которую имеет электрон на этом уровне.
,
F
Энергия уровня Ферми:
. (4.8)
Средняя энергия электрона <Е> при Т = 0 К:
. (4.9)
Cкорость электронов на поверхности Ферми равна:
k
радиус сферической области, заполненной электронными
–
F
. (4.10)
состояниями в k-пространстве.
53
Число состояний на единичный энергетический интервал
А
NN
ср
l
13
2 2 3
3
8
ср
h
e n l
вблизи энергии Ферми равно отношению числа электронов проводимости к энергии Ферми:
g(EF)=3N/2EF. (4.11)
Примеры решения задач
Пример 4.1. Определить температуру вырождения ТВ для ка-
лия, если считать, что на каждый атом приходится по одному свободному электрону. Плотность калия ρ = 860 кг/м3.
Дано:
ρ (К) = 860 кг/м3
Т
=?
В
РЕШЕНИЕ
Температура вырождения ТВ согласно квантовой теории электронов в металле определяется выражением:
2n2/3
Т
=
В
где = 1,05∙10
-34
Дж с – постоянная Планка, k = 1,38∙10
постоянная Больцмана, m = 9,1∙10
/(3km), (4.1.1)
-23
-31
кг – масса электрона, n – кон-
Дж/К –
центрация квазисвободных электронов в металле.
Согласно условию n равно концентрации N атомов, которая
определяется выражением:
, (4.1.2)
где NА – число Авогадро, ρ – плотность кристалла, μ – молярная
масса калия. По таблице Менделеева: μ = 39 10-3 кг/моль.
учетом приведенных выше числовых данных окончательно получаем:
меди при Т = 300 К, если ее удельное сопротивление при этой температуре равно 0,017 мкОм·м.
тивление металлов связано с длиной свободного пробега электронов
Полагая n = N и подставляя выражение (4.1.2) в формулу (4.1.1), с
Т
= 3,12 104 К.
В
Пимер 4.2. Вычислить длину свободного пробега электронов в
РЕШЕНИЕ
Согласно представлениям квантовой теории, удельное сопро-
соотношением
.
54
Концентрация свободных электронов в меди
23
28
3
8920 6,02 10
8,45 10
63,54 10
A
d
nN
M
13
34
8
2 2 3
19 28 6
3 6,62 10
3,89 10
8 3,14
1,6 10 8,45 10 0,017 10
ср
l
м-3.
Длина свободного пробега
м.
Пример 4.3. Найти численное значение уровня Ферми меди
при абсолютном нуле, учитывая, что на каждый атом меди в кристалле имеется один электрон проводимости (свободный электрон)
и что эффективная масса электронов m* приблизительно равна
массе свободных электронов (плотность меди ρ = 8900 кг/м3; молярная масса μ = 63,5 г/моль).
РЕШЕНИЕ
Найдем связь количества электронов проводимости с уровнем
Ферми. Число электронов проводимости в металле может быть
найдено с учетом формулы:
dN (E) = g(E) f (E)dE,
– функция распределения Ферми-Дирака.
и f(E) = 0, если E > EF.
F
где
При Т = 0 f(E) = 1, если E < E
Плотность разрешенных квантовых состояний электронов
внутри энергетической зоны:
где V – объем кристалла; m – масса электрона; E – энергия электрона
и h – постоянная Планка.
Отсюда находим концентрацию электронов проводимости в
металле:
Откуда энергия Ферми:
По условию задачи концентрация свободных электронов в
меди равна концентрации атомов меди:
55
23
2
23
34 23
6,62 10 3 6,02 10 10490
3
2
0
31 3
8
8 9,1 10 3,14 107,87 10
19
= 8,80 10 Дж = 5,5 эВ.
Nd
h
W
F
mA
где Vμ – объем моля меди, NA – число Авогадро.
Подставляя в формулу значения NA, ρ и μ, получаем:
E
(0) = 11,210
F
-19
Дж = 7 эВ.
Пример 4.4. Вычислить среднее значение кинетической энер-
гии электронов в меди при абсолютном нуле, если уровень Ферми
для меди равен 7 эВ.
РЕШЕНИЕ
Найдем суммарную кинетическую энергию всех электронов в
металле воспользовавшись формулой для распределения Ферми по
энергиям для свободных электронов:
Среднее значение кинетической энергии электронов:
Подставим численное значение:
<E> = 3/5 11,210
-19
Дж = 6,710
Пример 4.5. Рассчитать положение уровня Ферми и суммарную кинетическую энергию свободных электронов в 1 см3 серебра
при температуре вблизи абсолютного нуля, полагая, что число свободных электронов равно количеству атомов серебра.
РЕШЕНИЕ
Концентрация свободных электронов равна концентрации атомов, поэтому n = N0d / A, где d – плотность материала. Отсюда энергия Ферми
56
-19
Дж.
Суммарная кинетическая энергия свободных электронов
32
8
52
2
3
5
0
3 2 5 2
6
8 3,14 10
31 19 4
= 2 9,1 10 8,8 10 3,08 10 Дж.
3
34
5 6,62 10
W
F
V
W V Wdn m W
n
F
h
2
2.
13
2 2 3
3
2
3
2
3
8
h h h a
a
mu
mW
F
F
h
m
m
a
F
W W N
32
2
8
32
0
.
2
3
m
nW
h
Пример 4.6. Определить минимальную длину волны де Бройля
для свободных электронов при Т ≈ 0 К в металле с простой кубической кристаллической решеткой, если на каждый атом кристалла
приходится один свободный электрон. Период решетки равен а.
РЕШЕНИЕ
В кристалле с простой кубической решеткой на объем каждой
элементарной ячейки приходится один атом и соответственно один
свободный электрон. Поэтому концентрация свободных электронов
определяется по формуле п = а-3. С учетом этого минимальная длина
волны де Бройля
Пример 4.7. Оцепить среднее энергетическое расстояние δW
между разрешенными энергетическими уровнями зоны проводимости в кристалле серебра объемом V = 1 см3, если энергия Ферми
WF = 5,5 эВ.
РЕШЕНИЕ
Среднее энергетическое расстояние между разрешенными
уровнями
, где N – число уровней, заполненных элек-
тронами.
Концентрация электронов связана с энергией Ферми выражением
57
Все уровни, лежащие ниже уровня Ферми WF, практически пол-
3 2 1 2
32
31 19
4 3,14 2 9,1 10 5,5 1,6 10
2
4
12
0
=
2 3 2 3
34 6
3 6,62 10 10
41 22
= 3 10 Дж = 1,89 10 эВ.
m
W
F
WW
F
nV V
h
56,6 50
41
21
1,35 10 K
50 1000 20
1 2 1
RR
R
R T T
5 5 1
15 13,5 10 1,510 K .
lR
5
50 1,5 10 980 0,735l l T
l
ностью заполнены электронами, причем согласно принципу Паули
на каждом уровне находится два электрона. Отсюда следует, что
Пример 4.8. Определить температурный коэффициент линей-
ного расширения αl и удлинение нихромовой проволоки, если известно, что при повышении температуры от 20 до 1000 °С электрическое сопротивление проволоки изменяется от 50 до 56,6 Ом.
Длина проволоки в холодном состоянии l = 50 м. Температурный
коэффициент удельного сопротивления нихрома принять равным
15·10-5 К-1.
РЕШЕНИЕ
Температурный коэффициент сопротивления проволоки:
.
Тогда
Отсюда
Вопросы и задания
Вопросы к практическому занятию
1. Что такое уровень Ферми?
2. Как определить энергию уровня Ферми?
3. В чём состоит физический смысл уровня Ферми?
4. По какой формуле определяется температура Ферми?
5. В чём состоит физический смысл температуры Ферми?
6. Дайте определение понятию температура вырождения?
7. Когда и при каких условиях можно пользоваться выраже-
нием (4.3)?
8. Какой газ называют свободным электронным газом Ферми?
9. Запишите распределение Ферми-Дирака.
10. Как определит среднюю энергию электрона?
м.
58
11. По какой формуле можно определить скорость электрона
на поверхности металлов?
12. Как определить число состояний на единичный энергетиче-
ский интервал вблизи энергии Ферми?
Задачи
4.1. Определить число свободных электронов, которое приходится на один атом Na при Т = 0 К. Энергия Ферми εF = 3,12 эВ,
плотность кристалла – 970 кг/м3.
4.2. Вычислить среднюю кинетическую энергию <ε> электро-
нов в металле, если энергия εF = 7 эВ.
4.3. Определить максимальную скорость электронов в металле
при Т = 0 К, если εF = 5 эВ.
4.4. Вычислить энергию Ферми, если средняя кинетическая
энергия <ε> электронов в металле равна = 6,5 эВ.
4.5. Определить число свободных электронов, приходящихся
на каждый атом калия (ρ = 860 кг/м3), если известно, что температура вырождения ТВ для калия равна 3100 К3.
4.6. Концентрация свободных электронов натрия 2,5∙1028 м-3.
Определить температуру Ферми и скорость электронов на уровне
Ферми.
4.7. Определить число электронных состояний в единице объема металла с энергией 0,3 – 0,4 эВ.
4.8. Каковы соответственно вероятности того, что при комнатной температуре электрон займет состояния, лежащие на 0,1 эВ
выше и на 0,1 эВ ниже уровня Ферми?
4.9. При абсолютном нуле уровень Ферми для меди 7 эВ. Определить значение уровня Ферми при 20 К.
4.10. Определить вероятность того, что электрон в металле займет энергетическое состояние, находящееся на ΔЕ = 0,05 эВ ниже
уровня Ферми и выше уровня Ферми в случае:
1) Т1 = 290 К;
2) Т2 = 58 К.
4.11. Вычислить суммарную кинетическую энергию электро-
нов проводимости в 1 см
3
цезия при 0 К.
4.12. Определить максимальную и среднюю квадратичную ско-
рости свободных электронов кальция при Т = 0 К. Считать, что на
каждый атом кальция приходится два свободных электрона.
59
4.13. Вычислить энергию Ферми при Т = 0 К для алюминия.
Считать, что на каждый атом алюминия приходится 3 свободных
электрона. Плотность алюминия – 2690 кг/м3, молярная масса –
26,98 г/моль.
Задачи повышенной сложности
4.14. Определить отношение концентраций свободных электронов при Т = 0 К в литии и цезии, если известно, что уровень
Ферми в этих металлах соответственно равен: 4,72 эВ и 1,53 эВ.
4.15. Как и во сколько раз изменится вероятность заполнения
электронами энергетического уровня в металле, если уровень расположен на 0,01 эВ ниже уровня Ферми и температура изменяется
от 200 до 300 К?
4.16. Определить число свободных электронов, которое приходится на один атом натрия при абсолютном нуле. Уровень Ферми
для натрия 3,12 эВ. Плотность натрия 970 кг/м2, молярная масса
натрия равна 22,99 г/моль.
4.17. Концентрация свободных электронов алюминия
18,06∙1022 см-3. Определить температуру Ферми и скорость электронов на уровне Ферми.
4.18. Металл находится при абсолютном нуле температуры.
Определить во сколько раз число электронов с кинетической энергией от E
E
.
/2
F
F
/2
до E
больше числа электронов с энергией от нуля до
F
Литература: 1–7, 9, 13.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]