Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика конденсированного состояния. Учебное пособие (практикум)
.pdf
вия, в которых протекает то или иное явление в твердом кристалли-
ческом теле. Каждой кристаллической структуре соответствуют две
решетки: кристаллическая решетка и обратная решетка. Они связаны между собой соотношениями:
(2.1)
А, В, С – векторы обратной решетки; a, b, c – векторы прямой ре-
шетки.
Векторы кристаллической решетки имеют размерность
длины, а размерность векторов обратной решетки [длина]-1.
Так как
то
скалярное произведение:
(2.2)
(2.3)
При построении обратной решетки векторы А, В, С перпен-
дикулярны соответственно b и c, с и а, a и b, и обратно, векторы a,
b, c перпендикулярны парам векторов B и C, C и A, A и B.
Векторы прямой решетки связаны с векторами обратной ре-
шетки аналогичными формулами:
где
– объем элементарной ячейки обратной решетки:
(2.4)
.
Свойства обратной решетки:
‒ обратная и прямая решетки взаимно сопряжены;
‒ решетка обратная обратной, есть исходная прямая решетка;
‒ каждый узел [[mnp]]* обратной решетки соответствует семейству параллельных плоскостей (hkl) прямой решетки;
‒ обратная решетка Бравэ сама является решеткой Бравэ.
Векторы трансляции связывают в прямой кристаллической
решетке пары точек, которые имеют одинаковые атомные окружения. В обратном пространстве также вводится понятие трансляций,
которые описываются векторами обратной решетки, образующих
следующее семейство:
(2.5)
где h, k и l – целые числа.
Если прямая решетка строго периодична, то обратная ре-
шетка, т. е. множество точек, удовлетворяющих условию (2.5),
21
также периодична и бесконечна. Однако для решения тех задач, где
удобно пользоваться представлением об обратной решетки, достаточно бывает ограничиться конечными объемом обратного пространства.
Угол между векторами решетки определяется по общему
правилу определения угла между двумя векторами:
. (2.6)
Углы обратной решетки можно выразить через углы прямой:
(2.7)
При сближении частиц на относительно больших расстоя-
ниях появляются силы притяжения, быстро увеличивающиеся с
уменьшением расстояния r между частицами, а на малых расстояниях возникают силы отталкивания, которые с уменьшением расстояния r увеличиваются значительно быстрее, чем силы притяжения. На расстоянии r = r0 силы отталкивания уравновешивают силы
притяжения и результирующая энергия взаимодействия достигает
минимального значения.
Поэтому состояние частиц, сближенных на расстояние r0,
является состоянием устойчивого равновесия, вследствие чего частицы выстраиваются в строгом порядке на расстоянии r0 друг от
друга, образуя тело с правильной внутренней структурой – кристалл. Такая структура будет сохраняться до тех пор, пока энергия
связи остается выше по абсолютному значению энергии теплового
движения частиц. Частицы кристалла не могут свободно покидать
свои положения равновесия, так как при удалении от этих положений энергия частиц увеличивается и появляются силы, стремящиеся
вернуть их в положение равновесия. При этом частицы совершают
беспорядочное колебание около положений равновесия. Кри-
сталлы – это вещества, в которых составляющие их частицы
22
(атомы, молекулы) расположены строго периодически, образуя гео-
.
(2.10)
метрически закономерную кристаллическую структуру. Каждое
кристаллическое вещество отличается от других кристаллических
веществ по его атомной структуре. Вследствие закономерности и
симметрии структуры кристаллы однородны и анизотропны.
Кристалл называется однородным, если для любой точки,
взятой внутри него, найдется точка, совершенно идентичная по
свойствам первой и отстоящая от нее на некотором конечном расстоянии.
Анизотропность – это зависимость свойств кристалла от
направлений в кристалле. Идентичные точки (узлы), связанные с
произвольно выбранной точкой тремя некомпланарными векторами переноса (трансляциями), образуют трехмерную периодическую решетку, охватывающую все пространство кристалла. Положение любой частицы в такой решетке определяется вектором
. (2.8)
Векторы a, b, c называются наименьшими векторами трансляции, а численные их величины – периодами трансляции.
Межплоскостные расстояния для серии плоскостей (hkl)
определяют по формуле
Длина вектора Н*
вычисляется по формуле
hkl
. (2.9)
Однако столь громоздкой формулой приходится пользо-
ваться лишь для триклинных кристаллов, а для остальных в силу
соответствующих соотношений между параметрами решетки формулы существенно упрощаются:
для моноклинной сингонии
где β*= 180° – β; a* = (аsinβ)-1; b* = b-1, c* = (csinβ)-1;
для тригональной сингонии
где
23
, (2.11)
(2.12)
для ромбической сингонии
(2.17)
,
(2.19)
; (2.13)
где a* = a-1, b* = b-1, c* = c-1;
для гексагональной сингонии
; (2.14)
где
для тетрагональной сингонии
(2.15)
где a* = a-1, c* = c-1;
для кубической сингонии
(2.16)
где a* = a-1.
Параметры решеток связаны соотношениями:
Угол φ между двумя плоскостями (h1k1l1) и (h2k2l2) находим
как угол между их обратными векторами:
.
Записав скалярное произведение этих векторов:
(2.18)
Находим
где
расстояния, oпределяемые по формуле (2.8).
Для кубической сингонии получаем формулу:
и
– соответствующие межплоскостные
24
. (2.20)
Угол между направлениями <u
> и <u2υ2w2> в
1υ1ω1
кристалле, т. е. между ребрами кристалла, вычисляется как угол
между векторами: R1 = u1a + υ1b + ω1c и R2 = u2a + υ2b + ω2c.
Составляя скалярное произведение (R1∙R2) и вычисляя его,
находим
(2.21)
Угол χ между прямой R и плоскостью (hkl) вычисляется с
помощью обратного вектора этой плоскости Н*
. (2.22)
по формуле
hkl
Изучение атомной структуры вещества основано на явле-
ниях дифракции в нем рентгеновских лучей, электронов или
нейтронов. Теория дифракции, изучающая связь картины рассеяния
с пространственным расположением атомов, для всех трех излучений одинакова. Для получения дифракционной картины существенно, чтобы длина волны используемого излучения была сравнима со средним межатомным расстоянием. Расстояния между атомами заключены в пределах 1–4 Å. В случае волн видимого света,
имеющих длину в несколько тысяч ангстрем, дифракция не наблюдается. Рентгеновские лучи, нейтроны и электроны, имеющие
длину волны ~1 Å, дают интерференционные эффекты при рассеянии скоплениями атомов. Дифракционные методы исследования
структуры являются расчетными. С помощью дифракции волн в
кристалле получают данные о размере элементарной ячейки, положениях ядер и распределении электронов внутри ячейки. Для расчетов необходимо знать положение интерференционных максимумов, возникающих при рассеянии излучения на узлах кристаллической решетки.
Дифракцию на кристаллах можно интерпретировать как «отражение» лучей (при использовании рентгеновского излучения –
рентгеновских лучей) плоскостями кристаллической решетки
(рис. 2.1).
Отражение происходит лишь тогда, когда волны, рассеянные
параллельными плоскостями, оказываются в фазе и усиливают друг
друга, то есть когда разность хода при рассеянии от соседних плоскостей равна целому числу n длин волн λ:
n λ = 2d
sinθ. (2.23)
hkl
25
Это формула Вульфа-Брэгга, связывающая направления рас-
Рисунок 2.1. Дифракция лучей
пространения рассеянных пучков (углы θ) с межплоскостными расстояниями d
Брэгга показывает, что дифракционные пучки для данного d
в решетке; n – порядок отражения. Формула Вульфа-
hkl
hkl
мо-
гут быть получены в монохроматическом излучении, то есть при
постоянном λ, за счет изменения ориентации кристалла (углов θ), а
при неподвижном кристалле – в полихроматическом излучении, то-
гда отражение возникает при подходящем λ.
Функция электронной плотности. Вместо дискретного
набора n-точек, находящихся в положениях rj, рассматривают
непрерывно распределенную рассеивающую способность объекта.
Так как рентгеновские лучи рассеиваются электронами, то «рассеивающей матрицей» для них является средняя во времени электронная плотность объекта ρ(r). Эта функция равна среднему числу
электронов ne(r) в элементе объема ΔV
около точки r, деленному на
r
элемент объема:
. (2.24)
Условие Лауэ. Вывод уравнений Лауэ основывается на сле-
дующих соображениях: если твердое тело находится в кристаллическом состоянии, то обязательно имеется направление, вдоль которого все идентичные по свойствам узлы располагаются параллельными рядами и в каждом таком ряду они связаны трансляцией а. Если на такой ряд направить под произвольным углом α
0
параллельный пучок монохроматического излучения с длиной
волны λ, то отражение будет происходить только в тех направлениях, для которых все взаимно складывающиеся отражения от узлов, связанных между собой трансляцией а, находятся в одной фазе.
Это возможно, если разность хода между волнами, рассеянными от
двух соседних узлов, равна целому числу длин волн:
a(cos cos 0) = h , (2.25)
где α – угол между направлением отражения и направлением ряда;
h – индекс интерференции (целое число).
26
В трехмерно-периодической решетке с трансляциями a, b, c
a(cos α – cos α0) = hλ,
b(cos β – cos β0) = kλ,
c(cos γ – cos γ0) = lλ.
(2.26)
уравнения Лауэ записываются в виде:
Три уравнения Лауэ, определяющие направления интерфе-
ренционных лучей в пространстве можно в общем случае заменить
одним интерференционным уравнением, позволяющим интерпретировать условие интерференции геометрически с помощью обратной решетки:
H h Ak Bl C. (2.27)
Это уравнение полностью определяет положение интерференционных лучей и содержит как уравнение Лауэ, так и уравнение
Вульфа-Брэгга.
Примеры решения задач
Пример 2.1. Доказать, что расстояние между плоскостями (hkl)
решетки кристалла равно обратной величине длины вектора
начала координат в точку hkl обратной решетки.
РЕШЕНИЕ
Если через
обозначить единичный вектор нормали к плоско-
сти (hkl), то межплоскостное расстояние:
Но
Поскольку
. Тогда
, то
Таким образом,
.
.
.
Пример 2.2. Показать, что если две решетки являются обрат-
ными одна по отношению к другой, то произведение объемов их
элементарных ячеек равно единице.
РЕШЕНИЕ
Объем элементарной ячейки обратной решетки
,
где A, B, C – векторы основных трансляций обратной кристаллической решетки.
27
из
Так как
то
Раскроем двойное векторное произведение:
Учитывая, что второе смешанное произведение
, получим:
Тогда V*V = 1.
Пример 2.3. Показать, что решетка, обратная кубической объ-
емно-центрированной, будет кубической гранецентрированной.
РЕШЕНИЕ
Покажем сначала, что решетка, обратная кубической решетке,
будет также кубической. Для этого найдем углы. Запишем известные формулы:
Так как в кубической решетке α = β = γ = 90°, то согласно приведенным формулам α* = β* = γ* = 90°.
В объемно-центрированной решетке расстояния между плоскостями вдоль ребер куба равны a. Следовательно, атомы, располо-
женные в вершинах куба прямой решетки, находятся в обратной решетке на расстояниях 1/a друг от друга в вершинах куба.
Кроме того, в объемно-центрированной кубической решетке
имеются три системы плоскостей (110), (011) и (101), которые распо-
ложены на расстояниях
друг от друга. Например, семейству
28
плоскостей (110) (рис. 2.3.1) в обратной решетке отвечает точка в
Рисунок 2.3.1. Плоскость (110)
Рисунок 2.3.2. Узел в центре
грани (001)
направлении (110) на расстоянии
Эта точка является центром грани (001) обратной решетки.
Пример 2.4. В триклинной решетке кианита (Al2O3 ×SiO2) параметры а, b, c и углы α, β, γ элементарной ячейки соответственно
равны 7,09; 7,72; 5,56 Å; 90°55/; 101°2/; 105°44/. Определить расстояния между плоскостями (102).
Межплоскостное расстояние между плоскостями с индексами
(hkl) находят путем определения длины вектора
пространстве, соединяющего начало координат с точкой (hkl).
Поскольку
нятию векторов обратной решетки (формулы 2.1) для межплоскост-
ного расстоянию получим формул:
где
В нашем случае k = 0, поэтому формула упрощается:
откуда
от начала координат (рис. 2.3.2).
РЕШЕНИЕ
в обратном
, то согласно формуле (2.8) и по-
,
29
.
Вычисляем значения:
3
4
3
4 144,6416 10
5320,16 кг/м
33
23 10
0
6,02 10 5,65298 10
.
M
GaAs
d
p
Na
33
мг/м5,32016 5,31662 3,54 10
p
d d d
Вычисляя далее объём элементарной ячейки по формуле 1.2:
.
Тогда
Пример 2.5. В результате прецизионных структурных исследований установлено, что период решетки кристалла арсенида галлия
а = 0,565298 нм, а его плотность d = 5,31662 Мг/м3. Полагая, что
единственным видом нестехиометрических дефектов структуры являются вакансии в металлоидной подрешетке, определить точный
состав твердой фазы и концентрацию дефектов. Плотность GaAs
стехиометрического состава принять равной 5,318 Мг/м3.
РЕШЕНИЕ
По экспериментальному значению периода решетки находим
рентгеновскую плотность GaAs, т. е. плотность бездефектного кристалла:
Разность между рентгеновской и экспериментально измеренной
(истинной) плотностями
В соответствии с условием задачи считаем, что наблюдаемый
«дефицит массы» обусловлен отсутствием части атомов мышьяка в
узлах кристаллической решетки. Общая масса «отсутствующих»
атомов мышьяка в расчете на единицу объема
30
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]