Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика конденсированного состояния. Учебное пособие (практикум)
.pdf
1/3 (СυL), где С – теплоемкость единицы объема, υ – средняя скорость частицы, L – средняя длина свободного пробега между двумя
последующими столкновениями. Теплопроводность металлов складывается в общем случае из теплопроводности, обусловленной фононами, и теплопроводности, обусловленной свободными электронами: χ = χ
реш
+ χ
, при этом для металлов χэл/χ
.
эл
реш
= 102.
Примеры решения задач
Пример 3.1. Вычислить по классической теории теплоемкость
С кристалла бромида алюминия (А1Вr3) объемом V = 200 см. Плот-
ность ρ кристалла бромида алюминия равна 3,01 г/см3. Условие
Т > 0 считать выполненным.
Дано:
V = 2 ∙10-4 м3
ρ = 3,01∙103 кг м-3
С = ?
РЕШЕНИЕ
Химическая формула соединения А1Вr3 содержит четыре
атома (n = 4).
Поэтому, согласно закону Неймана-Коппа, молярная теплоем-
кость кристалла:
Cμ = n 3R = 99,7 Дж/моль К.
Теплоемкость всего кристалла:
С = Cμ m / μ = Сμ ρV / μ = 12 R ρ V / μ. (3.1.1)
По таблице Менделеева находим: Аr(А1) = 27, Аr(Вr) = 80, следовательно Мr(А1Вr3) =267, а μ = 0,267 кг/моль. Подставляя в формулу (3.1.1) числа, получаем: С = 225 Дж/К.
Пример 3.2. Удельные теплоемкости свинца и алюминия при
постоянном объеме и температуре 200 °С составляют соответственно 126 и 896 Дж/(кг×град). Вычислить теплоемкости килограмм-моля (Сv) для каждого из этих металлов и сравнить со значениями, полученными по закону Дюлонга и Пти. Выполняется ли закон Дюлонга и Пти для них?
РЕШЕНИЕ
Молярная теплоемкость тела равна удельной теплоёмкости,
умноженной на удельный вес:
СV= c
V
A.
41
Тогда молярная теплоемкость
1/3
2
6Dn
A
Nn
1/3
2
20 6
A
Ф
N
свинца СV = 126×207,21 = 26,1 кДж/(кмоль× град),
алюминия СV = 896 17 × 26,98 = 24,17 кДж/(кмоль× град).
Теплоемкость твердого тела по закону Дюлонга-Пти равна.
3R = 3×8,31 ×103 кДж/(кмоль× град) =
=24,96 кДж/(кмоль× град).
Таким образом, молярная теплоемкость свинца превышает значение теплоемкости, рассчитанное по закону Дюлонга и Пти, а теплоемкость алюминия близка к значению, полученному по этому закону.
Пример 3.3. Вычислить длину волны фононов в свинце, соответствующую частоте ω = 0,1ωD, если плотность свинца ρ = 11,3 г/см3,
а молярная масса μ = 207 г/моль.
Дано:
ρ = 11,3∙103 кг/м3
μ = 207∙103 кг/моль
ω = 0,1ωD
λ
= ?
Ф
РЕШЕНИЕ
Частота Дебая (максимальная частота колебаний кристаллической решетки) определяется выражением:
, (3.3.1)
где υ – скорость распространения колебаний (скорость звука) в кри-
сталле, n – концентрация атомов в кристалле:
или, согласно условию задачи:
чаем:
данные из условия задачи, будем иметь: λФ = 5 нм.
. (3.3.2)
В пренебрежении дисперсией звука в кристалле:
λ
= 2πν / ω,
Ф
λ
= 20πν / ωD. (3.3.3)
Ф
Окончательно, пользуясь формулами (3.3.1) и (3.3.2), полу-
. (3.3.4)
Подставляя в формулу (3.3.4) NA = 6,02 ∙1023 моль–1 и числовые
42
Пример 3.4. Показать, что теплоемкость Cv по теории Дебая
достигает значения 3R при высоких температурах, когда θ/T →0.
РЕШЕНИЕ
Теплоемкость твердого тела по теории Дебая
При высоких температурах ex = 1+ x + ... Тогда
Пример 3.5. Определить температуру Дебая для серебра, если
известно, что для нагревания серебра массой m = 15 г от температуры T1 = 5 К до температуры Т2 = 10 К надо затратить количество
тепла Q = 6,8 10-2 Дж. Условие Т << Θ считать выполненным.
Дано:
m = 0,015 кг
Q = 6,8 ∙10-2 Дж
T1 = 5 К
Т
= 10 К
2
Θ = ?
РЕШЕНИЕ
Так как по условию задачи Т << Θ, то можно воспользоваться
формулой Дебая:
С
= (12/5)π4R(T/Θ)3 = 234R(T/Θ)3. (3.5.1)
μ
Теплоемкость С тела связана с молярной теплоемкостью Сμ соотношением:
С = С
m / μ. (3.5.2)
μ
Подставляя (3.5.2) в (3.5.1) и интегрируя по температуре от Т1
до Т2, получаем:
4
Q = (3π4mR/5μΘ3) [Т
2
4
– Т
]. (3.5.3)
1
Выразим из формулы (3.5.3) температуру Дебая:
4
Θ = ((3π4mR/5μQ) [Т
2
– Т
4])1/3
. (3.5.4)
1
43
Произведем вычисления по формуле (3.5.4), учтя, что у серебра
молярная масса равна μ = 0,108 кг/моль: Θ = 210 К.
ОТВЕТ: Θ = 210 К.
Пример 3.6. Показать, что при низких температурах теплоем-
кость твердого тела по теории Дебая пропорциональна кубу абсолютной температуры.
РЕШЕНИЕ
Теплоемкость твердого тела по теории Дебая определяется следующей формулой:
где θ – характеристическая температура тела. При низких температурах, когда θ>>T, верхний предел интегрирования можно заменить бесконечностью. В этом случае
∞
Тогда
При низких температурах вторым слагаемым можно пренебречь, так как оно стремится к нулю. Окончательно получим:
Пример 3.7. Определить приближенно скорость звука в
алмазе, зная, что дебаевская температура алмаза равна 1860 К и
d=1,54 A.
РЕШЕНИЕ
Определить скорость звука в алмазе можно из следующего
соотношения Дебая:
44
Величину v
длины волны λ
можно оценить, если считать, что половина
max
, соответствующая максимальной частоте, равна
min
параметру кристаллической решетки. Тогда
откуда
Пример 3.8. Пользуясь теорией теплоемкости Эйнштейна,
определить изменение внутренней энергии одного килоатома кристалла при нагревании его от Т
скую температуру Эйнштейна θ
= 0 до Т
1
принять для данного кристалла
Е
= 0,1 θЕ. Характеристиче-
2
равной 300 К.
РЕШЕНИЕ
Внутренняя энергия одного атома кристалла в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна может быть определена по формуле:
.
Изменение внутренней энергии:
Для низких температур (Т << θЕ) теплоемкость определяется
по формуле:
Сμ=3R(θЕ/T)2exp(-θЕ/T).
Подставим это выражение в выражение для внутренней энергии:
Введем новую переменную х = θЕ/Т. Тогда dx = -(θЕ/T2)dT, температура Т
Окончательно:
соответствует х
1
, Т
– x
→
1
2
= Е/0,1
2
Е
=10.
ОТВЕТ: 340 Дж.
45
Пример 3.9. Оценить величину термического коэффициента
расширения твердого тела, считая, что коэффициент ангармонично-
сти /2r0. При оценке принять модуль Юнга Е=100 ГН/м2, межатомное расстояние r0 = 0,3 нм.
РЕШЕНИЕ
Теоретически значение термического коэффициента расширения можно оценить по формулеkБ/2r0. С учетом приближенного равенства /2 r
Используя соотношение = r
kБ/(2 Е r
ОТВЕТ: 2,6 10
3
)= 1,38 10
0
-6
К-1.
формула приобретает вид: kБ/22r0.
0
Е, окончательно получаем:
0
-23
/2 100 109 (0,3 10-9)3 = 2,6 10-6 К-1.
Пример 3.10. По квантовой теории энергия каждого осцилля-
тора может быть представлена в виде E=nhv, где n – квантовое
число. Исходя из того, что распределение осцилляторов по энергиям подчиняется закону Больцмана, вычислить среднюю энергию
осциллятора при данной температуре T.
РЕШЕНИЕ
По определению средней величины
Но числитель в этом выражении можно представить как производную знаменателя. Тогда
Нетрудно заметить, что под логарифмом стоит сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Возьмем производную от логарифма последнего выражения,
тогда получим:
46
Пример 3.11. Показать, что при высоких температурах
квантовое выражение для средней энергии осциллятора переходит
в классическое.
РЕШЕНИЕ
При высоких температурах hν<<kT. Тогда
разложить в ряд по степеням
и ограничиться первыми двумя
можно
членами ряда:
Пример 3.12. Рассчитать значение теплоемкости твердого тела
по теории Эйнштейна.
РЕШЕНИЕ
В теории Эйнштейна твердое тело рассматривается как
совокупность N независимых атомов, колеблющихся с постоянной
частотой ν. Так как энергия такого колеблющегося осциллятора
то энергия грамм-атома
Тогда теплоемкость:
Если hν/k обозначить чрез θ:
47
Вопросы и задания
Вопросы к практическому занятию
1. Сформулируйте закон Дюлонга и Пти.
2. Сформулируйте закон Неймана-Коппа.
3. Как определить удельную теплоемкость для химически
простых и химически сложных тел?
4. При каком условии выполняется закон Дюлонга и Пти?
5. Как определить теплоемкость кристалла определенной
массы?
6. Как определяется теплоемкость в квантовой теории?
7. Запишите формулу теплоемкости по теории Дебая.
8. Какие предположения были сделаны Дебаем при выводе
формулы для теплоемкости?
9. При каких условиях формула теплоемкости Дебая перехо-
дит в классический закон Дюлонга и Пти?
10. Как определяется молярная теплоемкость кристалличе-
ской решетки при температуре T << Θ?
11. Что такое характеристическая температура Дебая? В чём
её физический смысл?
12. Как определить скорость звуковых волн в кристалле в пре-
небрежении дисперсии?
13. Запишите формулу теплоемкости по теории Эйнштейна.
14. Какие предположения были сделаны Эйнштейном при вы-
воде формулы для теплоемкости?
15. При каких условиях формула теплоемкости Эйнштейна
переходит в классический закон Дюлонга и Пти?
16. Что такое характеристическая температура Эйнштейна?
В чём её физический смысл?
17. Как определить теплоемкость металлов?
Задачи
3.1. Пользуясь классической теорией, вычислить удельные теплоемкости с кристаллов каменной соли и флюорита (КС1 и CaF2).
Относительные атомные массы: Аr(К) = 39, Ar (С1) = 35, Аr(Са) = 40,
Ar(F) = 5.
3.2. Вычислить по классической теории теплоемкость кри-
сталла NaCl объемом 100 см3. Плотность кристалла ρ = 2,2 103 кг/м.
48
3.3. Определить изменение внутренней энергии кристалла ко-
рунда (А12O3) при нагревании от t1 = 30 °С до t2 = 150 °С. Масса
кристалла 30 г. Молярная масса Al – 27 10-3 кг/моль, кислорода –
16∙10-3 кг/моль. Условие Т > 0 считать выполненным.
3.4. Вычислить по классической теории теплоемкость С кристалла бромида алюминия (А1Вr3) объемом V = 200 см3. Плотность
ρ кристалла бромида алюминия равна 3,01 г/см3. Условие Т > 0 счи-
тать выполненным.
3.5. Удельная теплоемкость алюминия при 20 °С равна
896 Дж/(кг К). Выполняется ли при этой температуре для него закон
Дюлонга и Пти?
3.6. Удельная теплоемкость свинца при постоянном объеме и
температуре 20 °С составляют соответственно 126 Дж/(кг К). Молярная масса свинца равна 207,21 г/моль. Вычислить теплоемкости
одного моля свинца и сравнить со значениями, полученными по закону Дюлонга и Пти.
3.7. Определить изменение внутренней энергии кристалла никеля при нагревании от температуры 0 °С до 200° С. Масса кристалла составляет 10 г, молярная масса равна 58,69 г/моль.
3.8. Вычислить частоту Дебая в кристалле золота. Для золота
температура Дебая равна 180 К.
3.9. Медный образец массой 50 г находится при температуре
10 К. Определить количество теплоты, необходимое для его нагревания до температуры 15 К. Температуру Дебая для меди принять
равной 300 К. Условие Т << θ считать выполненным. Молекулярная
масса меди – 64∙10-3 кг/моль.
3.10. Вычислить по теории Дебая теплоемкость цинка массой
80 г при температуре 12 К. Температура Дебая для цинка 308 К. Молярная масса цинка – 65 г/моль.
3.11. При нагревании серебра массой 10 г от температуры 10 К
до температуры 20 К было затрачено теплоты 0,71 Дж. Определить
температуру Дебая серебра. Условие Т << θ считать выполненным.
3.12. Используя теорию Дебая, вычислить удельную теплоемкость железа при температуре 15 К. Принять температуру Дебая для
железа равной 467 К. Молярная масса железа – 56 г/моль. Условие
Т<< Θ считать выполненным.
3.13. Вычислить ωD серебра, если при Т = 20 К молярная тепло-
емкость равна 1,7 Дж/(моль К).
49
3.14. Вычислить длину волны фононов в вольфраме, соответствующую частоте ω = 0,1 ωD, если для вольфрама ρ = 19,3∙10 кг/м3,
μ = 184∙10-3 кг/моль.
3.15. Характеристическая температура золота 170 К. Опреде-
лить постоянную квазиупругой силы. Молярная масса золота равна
197,2 г/моль.
3.16. Теплоемкость серебра при 10 К равна 199 Дж/(кмоль К).
Определить характеристическую температуру Эйнштейна.
3.17. Определить изменение внутренней энергии кристалла никеля при нагревании от температуры 0 °С до 200 °С. Масса кристалла составляет 10 г, молярная масса равна 58,69 г/моль.
3.18. Определить теплоту, необходимую для нагревания кристалла NaCl массой m = 10 г на ΔТ = 1 К. Рассмотреть два случая:
1) нагревание происходит от температуры Т1 = θД;
2) нагревание происходит от температуры Т2 = 1К.
Характеристическую температуру Дебая для NaCl принять рав-
ной 320 К. Молярная масса натрия равна 22,99 г/моль, хлора –
35,45 г/моль.
3.19. Определить энергию и теплоемкость системы, состоящей
из N = 1025 классических трехмерных независимых гармонических
осцилляторов. Температура Т = θД = 300 К.
3.20. Вычислить по теории Эйнштейна нулевую энергию, которой обладает один моль кристалла цинка. Характеристическая температура θЕ для цинка равна 230 К.
Задачи повышенной сложности
3.21. Показать, что теплоемкость по теории Дебая достигает
значения 3R при высоких температурах, когда θ/Т → 0.
3.22. Вычислить среднюю длину свободного пробега фононов
в кварце (Si02), если теплопроводность кварца λ = 13 Вт/(м К), молярная теплоемкость – 44 Дж/(моль К) и усредненная скорость
звука υ = 5 км/с. Плотность кварца ρ = 2,65 10 кг/м3.
3.23. Температура Дебая для меди Θ = 309 К. Определить длину
волны λ фононов, соответствующих частоте ν = 0,1 vD и усредненную скорость звука <υ> в меди. Плотность меди ρ = 8,93 ∙ 10 кг/м3,
молярная масса μ = 64 ∙ 10-3 кг/моль.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]