Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика конденсированного состояния. Учебное пособие (практикум)
.pdf
Молярный объем Vm найдем как произведение объема a3 одной
A
N
n
3
A
nM
Na
3
23 10 3
4 40 10
6,02 10 (5,56 10 )
элементарной ячейки на число zm элементарных ячеек, содержащихся в одном моле кристалла:
Vm = a3 zm . (1.1.2)
Число элементарных ячеек для кристалла, состоящего из одинаковых атомов, можно найти, разделив постоянную Авогадро NA
на число n атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку,
следовательно, равенство (1.1.2) можно записать в виде
3
Vm = a
. (1.1.3)
Подставив в (1.1.1) выражение Vm из (1.1.2), получим
Произведем вычисления, учитывая, что число n в случае кубической гранецентрированной решетки равно 4:
ρ =
Пример 1.2. Вычислить период идентичности l вдоль прямой
[231] в решетке NaCl, если плотность кристалла ρ равна 2,17 г/см3.
Решетка гранецентрированная кубическая.
Дано:
n1 = 2, n2 = 3, n3 = 1
ρ = 2,17 10-3 кг /м3
l = ?
Постоянная решетки кристалла NaCl равна:
Для гранецентрированной решетки число узлов в элементарной ячейке n = 4. Пользуясь таблицей Менделеева, находим:
Ar(Na) = 23, Аr(С1) = 35. Следовательно, Mr(NaCl) = 58, откуда
μ(NaCl) = 58 10-3 кг/моль. Таким образом, подставляя числа в фор-
мулу (1.2.1), получаем:
Период идентичности кристалла вдоль прямой [231]:
ρ =
РЕШЕНИЕ.
а = 5,62 10
= 5,62 10
11
.
кг/м3 = 1,55103 кг/м3.
. (1.2.1)
-10
м.
-10
= 13,3 10
-10
м.
Пример 1.3. Чему равно число атомов в элементарной ячейке
Рисунок 1.2. Атомы в кубических элементарных ячейках:
a) примитивной, б) ОЦК, в) ГЦК
в случае 1) простой, 2) объёмно-центрированной и 3) гранецентрированной кубических решеток?
РЕШЕНИЕ
1. В простой кубической решетке атомы находятся только в
вершинах углов ячейки. Одна вершина принадлежит восьми параллелепипедам кристаллической решетки. Поэтому на каждую вершину одной ячейки приходится одна восьмая часть атома, находящегося в вершине (рис. 1.2 a).
Ячейка имеет восемь углов, следовательно, на нее приходится
один атом.
2. В объемно-центрированной кубической решетке, кроме ато-
мов, расположенных в углах, элементарной ячейке принадлежит
полностью внутренний центральный атом (рис. 1.2 б). Таким образом, в объемно-центрированной решетке на каждую ячейку приходится два атома.
3. В гранецентрированной кубической решетке атомы, расположенные в центре граней, принадлежат двум ячейкам (рис. 1.2 в).
Поэтому число атомов в элементарной ячейке равно четырем.
Пример 1.4. Чему равно число атомов в элементарной ячейке
гексагональной плотноупакованной решетки?
РЕШЕНИЕ
На элементарную ячейку в гексагональной плотноупакованной
решетке приходится шесть атомов. Три внутренних атома, которые
расположены в центрах трех (из шести) тригональных призм
(рис. 1.3), полностью принадлежат одной элементарной ячейке. Два
12
атома, расположенные в центрах базис-
0,1241
ОЦК
r
0,127
ГЦК
r
11
8 6 4
82
1
8 1 2
8
2а
24аR
4
2
ГЦК
ГЦК
R
a
3а
4
3
ОЦК
ОЦК
R
a
3
3
3
4
0,127
4 0,0462
22
ГЦК
ГЦК ГЦК
R
Va
Рисунок 1.3.
ячейка
ных граней, принадлежат элементарной
ячейке наполовину и в сумме дают один
атом.
Каждый атом, который находится в
вершине гексагональной призмы, принадлежит шести элементарным ячейкам. В целом все эти двенадцать атомов
вносят вклад в одну элементарную
ячейку на два атома. Итак, на элементарную ячейку гексагональной решетки
приходится шесть атомов.
Гексагональная
Пример 1.5. Вычислите изменение
объема железа при его полиморфном
превращении, если радиусы атомов Fe в плотной объемно центрированной упаковке
нм, а в гранецентрированной –
нм.
РЕШЕНИЕ
Определим размеры элементарных ячеек железа:
в элементарной ГЦК-ячейке (рис. 1.2 в) содержится
атома, а в ОЦК-ячейке (рис. 1.2 б)
на диагонали грани ГЦК-ячейки, равной
2 атома, т. е.
на пространственной диагонали длиной
также должно расположить два атома, следовательно,
.
Тогда
атома;
, размещается
и
;
ОЦК-ячейки
нм3;
13
3
3
3
4
0,1242
4 0,04694
33
ОЦК
ОЦК ОЦК
R
Va
нм3.
28
3
3
9
44
6,06 10
0,4041 10
n
a
28
3 18,18 10
e
nn
3
km
d
a
A
A
m
N
10
3
3
26
4 63,54
3,72 10 м = 0,372 нм
8920 6,02 10
A
kA
a
dN
Пример 1.6. Вычислите концентрацию свободных электронов
в алюминии, имеющем ГЦК-решетку с периодом а = 0,4041 нм,
если на каждый атом приходится три электрона?
РЕШЕНИЕ
В ГЦК-решетке на одну элементарную ячейку (см. задачу 1.4)
приходится 4 атома, поэтому количество атомов в единице объема
м-3,
а концентрация электронов
м-3.
Пример 1.7. Вычислите период кристаллической решетки
меди, если ее плотность d = 8920 кг/м3, элементарная ячейка – ГЦК.
Какой объем приходится на один атом?
РЕШЕНИЕ
Рентгеновская плотность следующим образом связана с периодом кубической решетки:
,
где т – масса атома; k – число атомов в элементарной ячейке.
В ГЦК-ячейке k = 4. Учитывая, что
, атомный вес Си
А = 63,54.
.
Пример 1.8. Вычислить период кристаллической решетки антимонида индия InSb, если известно, что плотность кристаллов совершенной структуры и высокой чистоты составляет 5,78 Мг/м3.
Выполнить аналогичный расчет для кристаллов кремния и германия, приняв их плотности равными 2,3283 и 5,3267 Мг/м3 соответственно.
14
РЕШЕНИЕ
3
4
0
d M N a
InSb
M
InSb
4 4 236,52
10
6,478 10 м = 0,6478 нм,
3
3
26
6,02 10 5780
0
M
a
InSb
Nd
В состав элементарной ячейки типа цинковой обманки входит
четыре формульные единицы InSb. Поэтому плотность d связана с
периодом а кубической ячейки соотношением
,
где
где N0 – число Авогадро.
Аналогичный расчет для кремния и германия дает:
Пример 1.9. Написать индексы Миллера для плоскости, прохо-
дящей через узлы с индексами: [[010]], [[12]], [[132]]. Найти от-
резки, отсекаемые этими плоскостями на осях координат.
Дано:
Индексы узлов: [[010]], [[122]], [[132]].
(hkl) = ? , xq = ?, yq = ?, zq = ?
Для любого узла с индексами [[n1n2n3]], лежащего в данной
плоскости, индексы Миллера (hkl) удовлетворяют соотношению:
где h, k, l, q – целые числа. Подставляя в уравнение (1.9.1) последовательно индексы всех трех узлов, получаем систему уравнений:
Решая эту систему в целых числах, получаем: h = – 6, k = 4, l =
– 1; q = 4, т. е. данная плоскость задается индексами: {(641); 4}. Она
отсекает на осях координат отрезки, равные:
где ai (i = 1, 2, 3) – основные периоды решетки. Плоскость пересекает оси у и z в узловых точках.
Пример 1.10. Определить отрезки, которые отсекает на осях
решетки плоскость (125).
– молярная масса соединения. Отсюда
aSi = 0,5432 нм; aGe = 0,5657 нм.
РЕШЕНИЕ
n1h + n2k + n3l = q, (1.9.1)
k = q,
h + 2 k – 2 l = q,
h + 3 k + 2 l = q.
x0 = a1q / h = – 2/3 a1; y0 = a2q / k = a2; z0 = -4a3,
15
РЕШЕНИЕ
Записываем величины, обратные индексам плоскости:
Общий знаменатель 10. Так как A:B:C =
, то А = 10, В = 5,
.
С = 2.
Пример 1.11. Найти индексы плоскостей, проходящих через
узловые точки кристаллической решетки с координатами [[9 10
30]], если параметры решетки a = 3, b = 5 и c = 6.
РЕШЕНИЕ
Из теории кристаллической решетки следует, что
где h, k, l – индексы Миллера. Тогда
Таким образом, искомые индексы нашей плоскости (10 15 6).
Пример 1.12. Даны грани (320) и (110). Найти символ ребра их
пересечения.
РЕШЕНИЕ
Как известно, если символы граней равны (h1k1l1) и (h2k2l2), то
символы общего ребра выражаются следующим образом:
h:k:l = (k1l2 – l1k2):(l1h2 – h1l2):(h1k2 – k1h2).
Отсюда h = 0 – 0 = 0, k = 0 – 0 = 0, l = 3 – 2 = 1. Искомый символ
ребра [001].
Вопросы и задания
Вопросы к практическому занятию
1. Как определить молярный объём кристалла?
2. По какой формуле вычисляется объём элементарной
ячейки?
3. Что такое период идентичности, как его определить?
4. Как определить число атомов, приходящихся на одну эле-
ментарную ячейку кристалла?
5. Как связано расстояние между соседними атомами в куби-
ческой решетке с параметром решетки?
6. Что такое индексы Миллера?
7. Как определить индексы плоскости и индексы направления?
16
8. Как определить межплоскостное расстояние?
9. Как определить величину отрезков, отсекаемых плоскостью
на осях координат?
Задачи
1.1. Барий имеет объёмно-центрированную кубическую решетку. Плотность кристалла бария равна 3,5∙103 кг/м3, а молярная
масса 197∙10-3 кг/моль. Определить параметр решетки.
1.2. Золото имеет гранецентрированную кубическую решетку.
Плотность золота принять равной 19,3∙103 кг/м3, а молярную массу
197 10-3 кг/моль. Определить параметр решетки и расстояние между
ближайшими соседними атомами.
1.3. Определить число элементарных ячеек в единице объема
кристалла меди. Решетка гранецентрированная кубическая. Плотность меди равна 8,9∙103 кг/м3, а молярная масса – 64∙10-3 кг/моль.
1.4. Молибден имеет объемно-центрированную кубическую
решетку. Вычислить плотность молибдена и расстояние между ближайшими соседними атомами. Параметр решетки равен 0,315 нм, а
молярная масса – 96∙10-3 кг/моль.
1.5. Найти плотность кристалла неона, если известно, что решетка гранецентрированная кубическая. Постоянная решетки равна
0,451 нм, а молярная масса – 20,2∙10-3 кг/моль.
1.6. Определить молярную массу кристалла, если известно, что
расстояние между ближайшими соседними атомами равно 0,304 нм.
Решетка объемно-центрированная кубическая. Плотность кристалла 0,534∙103 кг/м3.
1.7. Вычислить период идентичности l вдоль направления [021]
в решетке AgBr, если плотность кристалла ρ равна 3,87 г/см3. Решетка гранецентрированная кубическая.
1.8. Даны два ребра [130] и [201]. Найти символ грани, в которой они лежат одновременно.
1.9. Кристаллическая плоскость проходит через узлы [[110]],
[[201]], [[321]] решетки. Написать индексы Миллера для этой плоскости.
1.10. Система плоскостей в примитивной кубической решетке
задается индексами Миллера (312). Найти наименьшие отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат.
1.11. Написать индексы Миллера для двух плоскостей, содержащих узлы с индексами: а) [[113]], [[112]], [[101]] и б) [[211]],
17
[[010]],[[111]]. Найти отрезки, отсекаемые этими плоскостями на
осях координат.
1.12. Система плоскостей примитивной кубической решетки
задана индексами (142). Определить расстояние d между соседними
плоскостями, если параметр решетки а равен 0,3 нм.
1.13. Определить параметр а примитивной кубической решетки, если межплоскостное расстояние d для системы плоскостей,
заданных индексами Миллера (323), при рентгеноструктурном анализе оказалось равным 0,17 нм.
Задачи повышенной сложности
1.14. Вычислить объем элементарной ячейки триаминхлорида
четырехвалентной платины, если параметры ячейки и углы триклинности имеют следующие значения: a =11,13 Å, b = 9,83 Å,
c = 8,17 Å, α = 94°10/, β = 95°40/, γ = 96°58/.
1.15. Воспользовавшись формулой объема элементарной
ячейки триклинной системы, получить формулы для объема ячеек
1) моноклинной, 2) гексагональной и 3) ромбоэдрической систем.
1.16. Определить число атомов в элементарной ячейке железа,
кристаллизующегося в кубической системе. Ребро куба а = 2,87 Å;
атомный вес железа 55,84; плотность его 7800 кг/м3.
1.17. Объемно-центрированная кубическая решетка состоит из
атомов одного вида, имеющих радиусы r. Пусть атомы, расположенные по диагонали, которая проходит через центр куба, касаются
друг друга. Показать, что часть объема, занятая атомами при таком
расположении равна η = 0,68.
1.18. Пусть гранецентрированная кубическая и гексагональная
решетки построены из одинаковых атомов, представляющих собой
жесткие сферы с радиусом r. Показать, что часть объема, занятая
атомами при таком расположении, равна 0,74.
1.19. Найти число элементарных ячеек в 1 см3 кристалла магния
с параметрами решетки a = 3,20 Å и c = 5,20 Å.
1.20. Чему равны расстояния между плоскостями (100), (110) и
(111) в кубической решетке с параметром а?
1.21. Написать формулы для периода идентичности 1) моноклинного, 2) ромбического, 3) тетрагонального и 4) гексагонального кристаллов.
1.22. Определить условие перпендикулярности двух плоскостей (h1k1l1) и (h2k2l2) в ромбоэдрической системе.
18
1.23. Определить величину отрезка вдоль направления [322] от
начала координат до первого атома в триклинной решетке с параметрами a = 11,13 Å, b = 9,83 Å, c = 8,17 Å, α = 94°9/, β = 95°40/,
γ = 96°58/.
Литература: 1‒5, 9, 13.
19
2. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ:
ВНУТРЕННЯЯ СТРУКТУРА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Цель – ознакомиться с основными типами элементарных ячеек
кристаллической решетки и обратной решетки, ознакомиться с основными методами исследования внутренней структуры кристаллических
решеток на примере условия Вульфа-Брэгга.
Знания и умения, приобретаемые студентом в результате осво-
ения темы, в рамках формируемых компетенций: ПК-1.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
знать: основные физические законы и принципы, на основе кото-
рых объясняется строение кристаллических тел; понятие элементарной
ячейки и её объёма; понятие обратной решетки и её объёма; скалярное,
векторное и смешанное произведение векторов; основные формулы
структурной кристаллографии: угол между плоскостями, угол между
направлениями, угол между прямой и плоскостью; понятия кристалл,
анизотропность и однородность кристаллов; рентгеновские методы исследования внутренней структуры кристаллов;
уметь: определять параметры векторов обратной решетки через
вектора прямой и наоборот; определять расстояние между плоскостями (hkl) и длину вектора, проведенного из начала координат в точку
hkl обратной решетки; определять углы между плоскостями по известным индексам плоскостей и направлений, определять скалярное и векторное произведение векторов; применять формулу Вульфа-Брэгга для
определения межплоскостного расстояния кристаллических решеток;
владеть: методами решения системы уравнений, составленных
для векторов обратной решётки, методами решения уравнений структурной кристаллографии с использованием формулы Вульфа-Брэгга.
Актуальность темы. Рассматриваемая тема является основой для
формирования знания об элементарных ячейках кристаллических веществ и понятии обратной решетки, а также о методиках исследования
кристаллических веществ на основе условия дифракции рентгеновских
лучей – условие Вульфа-Брэгга – и определения параметров решетки
кристаллов.
Теоретическая часть
Основные формулы
Обратная решетка представляет собой удобную абстрак-
цию, позволяющую математически просто и точно описывать усло-
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]