Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управление качеством, стандартизация и сертификация. Конспект лекций
.pdf
генеральная совокупность) контролю подвергается часть партии (случайная
dx
xdF
xp
выборка изделий), которая формируется по определенным правилам. Если
процент брака в выборке больше установленной нормы, бракуется вся партия
(генеральная совокупность).
1.5. Применение статистических критериев в ходе проведения
многократного контроля
Научной основой современного технологического контроля являются
математико–статистические методы. Обосновываются и проверяются
статистические гипотезы. Знание реального закона распределения измеряемых
величин (в частности, погрешностей измерений) необходимо, поскольку
числовые значения вероятностных характеристик существенно различаются
при различных законах распределения. Наиболее часто встречается
нормальный закон распределения (или закон Гаусса), равномерный закон
распределения, треугольное распределение Симпсона, так называемое
трапецеидальное распределение (комбинация равномерного закона — в центре
распределения — и треугольного закона — по краям распределения). Закон
распределения результатов измерений (либо погрешностей измерений)
определяют для большого числа наблюдений (обычно не менее 50). При малом
числе наблюдений (менее 20) закон распределения не определяют. Наиболее
универсальный способ описания случайной величины (в частности,
погрешности) — нахождение интегральной или дифференциальной функции
распределения.
Интегральная функция распределения результатов наблюдения — это
зависимость от величины x вероятности того, что результат i–того наблюдения
xi будет не более x. Это записывается следующим образом: F(x) = P{X < x}.
Дифференциальная функция распределения результатов наблюдений:
Дифференциальная функция распределения называется плотностью
вероятности распределения.
(1)
21
Дифференциальная функция распределения случайных погрешностей
сл
сл
сл
d
dF
p
наблюдений:
(2)
Дифференциальные функции распределения результатов наблюдений и
случайных погрешностей совпадают, но начало координат для случайной по-
грешности находится в нулевой точке. Интегральная функция распределения
связана с дифференциальной:
(3)
= 1. Площадь под кривой диффе-
Поскольку F(+) =1, то
F(х) =
ренциальной функции распределения равна 1. Это условие нормировки функ-
ции плотности распределения вероятности. Интегральная функция распределе-
ния является безразмерной. Размерность плотности распределения вероятности
p(x) обратно пропорциональна размерности измеряемой величины.
Вероятность попадания результата наблюдения Х (или случайной по-
грешности Δсл) в заданный интервал численно равна площади под соответ-
ствующим участком кривой плотности распределения вероятности.
Законы распределения случайных величин
Для равномерного закона распределения случайных величин (например,
остатка систематической погрешности θ) плотность вероятности, или
дифференциальная функция распределения, имеет вид:
p(x) = 0,5a ( - a < Δ
< a );
cл
p(x) = 0 для значений за пределами данного интервала. Числовые
характеристики моментов распределения случайной величины следующие:
координата центра группирования - математическое ожидание М(Δcл) =0, мера
разброса -дисперсия D (Δcл) = a2/3 (D = CКО2; СКО = σ
= а/
). При
проведении контроля часто используются также: нормальный закон
распределения (закон Гаусса); треугольное распределение; трапециедальное
распределение случайных величин.
22
Для прямых многократных равноточных измерений при большом числе
наблюдений () для оценки близости распределения экспериментальных
результатов измерений (либо случайных погрешностей измерений) к принятой
аналитической модели закона распределения используют критерий согласия.
На практике наибольшее распространение получил критерий Пирсона (крите-
рий согласия «хи–квадрат»). Предварительно строят эмпирический закон рас-
пределения измеряемой величины (гистограмму). Затем необходимо построить
соответствующую ему модель теоретического закона распределения (напри-
мер — нормальное, или, Гауссово распределение), после чего сопоставляют
эмпирическую модель и известный теоретический закон распределения.
Проверка нормального закона распределения (закон Гаусса) по стати-
стическому критерию χ
2
Для нормального закона распределения (закона Гаусса) функция плотно-
сти распределения вероятности имеет вид:
где и — параметры распределения: математическое ожидание а и
среднеквадратическое отклонение (СКО) , соответственно;
— аргумент функции, случайная величина.
При переносе начала координат в точку начала отсчета величины урав-
нение кривой нормального распределения случайной величины имеет вид:
Нормальный закон (закон Гаусса, см. Рис. 5) распределения случайных по-
грешностей Δх измерения описывается формулой:
где — отклонение результата измерения от истинного значения измеря-
емой величины;
23
— среднеквадратическое отклонение (СКО);
.
Вероятность попадания результата наблюдения в заданный интервал
равна
В метрологии для определения вероятности попадания результатов наблю-
дения в некоторый интервал применяется так называемая нормированная
функция Лапласа:
Рис. 5. Кривые нормального (гауссова) распределения.
Функция Лапласа табулирована.
Вероятность попадания результата наблюдения в интервал:
При рассмотрении этой формулы следует учитывать:
Закон распределения Гаусса однозначно характеризуется указанием двух
параметров — математического ожидания и среднеквадратического отклонения СКО = σ (либо дисперсия
). На практике имеют дело с ограничен-
ным числом наблюдений, т.е. имеют дело с выборкой из генеральной совокуп-
24
ности. Оценку точности измерений проводят по ограниченному (иногда до-
вольно большому) числу наблюдений и в результате получают одно число. Это
называется точечной оценкой.
Выборка — ряд значений, принимаемых случайной величиной в ограни-
ченном числе n независимых опытов. Оцениваются математическое ожидание и
СКО функции распределения (функции для оценок имеют различный вид в за-
висимости от закона распределения плотности вероятности)
Оценка математического ожидания результатов наблюдений:
Оценка СКО случайной погрешности (единичного наблюдения):
В общем случае определяют число интервалов группирования m вариаци-
онного ряда и строят Таблицу, в которой приводится величина интервалов, ко-
личество значений измеряемой величины («попаданий») в том или ином интер-
вале и статистические частоты
попадания величины x в каждый из интервалов
. Затем находят теоретические вероятности
. Если теоретический
закон распределения – нормальный закон распределения (закон Гаусса), то теоретическая вероятность в данном интервале:
′′
Φ
Φ
Используют таблицы функции Лапласа
при расчёте заменяется средним арифметическим значением, а СКО
′
(13)
. Математическое ожидание
—
среднестатистическим среднеквадратическим отклонением
(оценка СКО).
В качестве меры расхождения между теоретическими вероятностями и
статистическими частотами критерий «хи-квадрат» предусматривает использование величины:
25
(14)
где и
— экспериментальное и теоретическое значения частот в i-ом
интервале разбиения;
— число интервалов;
— значение вероятности в i–ом интервале разбиения, соответствующее
выбранной теоретической модели распределения (например, модель Гаусса)
,
m — число интервалов.
При большом числе измерений n закон распределения величины
практически не зависит от вида функции распределения измеряемой величины, а
зависит от числа интервалов m. При неограниченном увеличении n закон близок к распределению «хи–квадрат» с числом степеней свободы k. Число степе-
ней свободы k распределения «хи–квадрат»: где
— число интервалов;
— число независимых параметров распределения.
Для нормального (гауссова) закона распределения , т.к. закон Гаусса
однозначно характеризуется указанием двух параметров — математического
ожидания и среднеквадратического отклонения СКО.
2
χ
(хи–квадрат) — мера суммарного отклонения между моделью и экспе-
риментальным распределением случайной величины.
Если вычисленная по экспериментальным данным мера расхождения χ
меньше или равна табличному значения
, то гипотеза о совпадении
экспериментального и теоретического (в частности, гауссова) распределения
принимается. Это означает, что с определённой вероятностью (так называемой
доверительной вероятностью Рд, часто Р
= 0,95) гипотеза не противоречит
д
экспериментальным данным. Эта вероятность связана с величиной q, так называемым уровнем значимости (вероятность «невыполнения» q = 1 – Рд ). Веро-
ятность того, что
опыт
мала; обычно .
табл
Пример. Экспериментальная проверка закона распределения по стати-
стическому критерию Пирсона на соответствие Гауссову (нормальному) рас-
26
2
пределению по результатам многократного измерения твердости в динамическом режиме.
В качестве исходных данных приводится набор результатов эксперимен-
тальных наблюдений ( ), например, значений твердости в динамическом
режиме, распределённых в порядке возрастания по так называемым интервалам
группирования (m – число интервалов группирования), и число
— число
«попаданий» в каждый интервал значений величины x.
Задача состоит в расчёте по экспериментальным данным величины
в сравнении полученного значения
с табличным значением
эксп
и
эксп
при вы-
бранном уровне значимости и числе степеней свободы k.
В общем случае, , где — число интервалов; для
гауссова распределения (по выборке оцениваются два параметра — математи-
ческое ожидание и среднеквадратическое отклонение СКО: и).
Следует сделать вывод о совпадении (либо несовпадении) распределения
случайной величины с нормальным распределением (распределением Гаусса)
при выбранном уровне значимости q.
Полученные значения
результатов многократных наблюдений распо-
лагаются в вариационный ряд в порядке возрастания. Далее при все
значения разбивают на определенное число интервалов m (при число
интервалов m обычно 7 или 9). Приводится число «попаданий»
значения
твёрдости в каждый интервал группирования.
По этим данным оценивают математическое ожидание (так называемое
выборочное среднее)
где
– координата центра i-го интервала.
Выборочная дисперсия
(квадрат СКО) рассчитывается по формуле:
27
При использовании значений (
— координата середины j–го интервала
группирования) и
(число попаданий в j–ый интервал при общем числе ин-
тервалов ) выборочная дисперсия рассчитывается по формуле:
Получают точечные оценки выборочного среднего и выборочной диспер-
сии (квадрат СКО).
По экспериментальным данным составляют две таблицы. Первую — для
расчета параметров распределения, вторую — для вычисления значений χ2.
Первоначально рассчитывают выборочное среднее (10) и выборочную
дисперсию (13), Находят точечную оценку СКО:
=
Значения нормированной функции нормального распределения (функции
Лапласа) табулированы. Их выбирают с учётом соотношения (10).
Для вычисления
сравнивают
рассчитывают сумму значений в графе
с
(табличное значение), предварительно задаваясь уровнем
и
значимости .
Заключение. После сравнения значений
эксп
с
делают вывод о соответ-
ствии (либо несоответствии) закона распределения погрешностей при измере-
нии твёрдости в данном опыте нормальному закону распределения — закону
Гаусса.
В общем случае определяют число интервалов группирования m вариаци-
онного ряда и строят Таблицу, в которой приводится величина интервалов, ко-
личество значений измеряемой величины («попаданий») в том или ином интер-
вале и статистические частоты
.
При числе измерений менее 20 вид закона распределения не определяют.
Применение статистического критерия «трех сигм»
При относительно большом числе наблюдений n> 50 (например, деталей в
партии) для выявления брака используют так называемый критерий “трех
28
сигм». Данный критерий используется для результатов измерений (наблюде-
xi
Sxx 3
i
x
x
S
x
i
x
x
i
S
xx )(
Т
Т
Т
i
x
Т
i
x
ний), распределенных по Гауссову (нормальному) закону. Согласно данному
критерию, считается, что результат, возникающий с вероятностью q< 0,3%
(уровень значимости q<0,003) маловероятен, его следует считать браком (про-
махом) и отбросить. Таким образом, если
промахом.
наблюдений;
— оценка среднеквадратичного отклонения (СКО) результатов
— среднеарифметическое значение результатов наблюдений.
значение
считается
Если число многократных измерений менее 20 (n<20), одним из рекомендован-
ных критериев исключения грубых погрешностей является критерий Романов-
ского. Для анализируемого значения
(ставятся под сомнение минимальное
и/или максимальное значение в выборке) вычисляют соотношение
(10)
и сравнивают полученное значение с табличным значением критерия Романов-
ского
значимости q, приведены в Таблицах. Если рассчитанное значение
. Значения критерия
, в зависимости от числа наблюдений n и уровня
, ре-
зультат
считают правильным. Если
, результат
считают промахом и
отбрасывают.
Существуют и другие статистические критерии для исключения брака
(«промахов»), например, вариационный критерий Диксона, критерий Шарлье,
критерии Граббса и Шовенэ. Применение статистических критериев для обра-
ботки многократных измерений требует осмотрительности. Отличающиеся от
других результаты наблюдений не следует сразу отбрасывать. Лучше провести
дополнительные измерения (не вместо сомнительных, а в дополнение к ним), и
только после этого привлекать статистические критерии.
29
2. СТАНДАРТИЗАЦИЯ
2.1. Основные положения
В конце прошлого и в начале 21 века в Российской Федерации были при-
няты следующие основополагающие федеральные законы и другие норматив-
но–правовые акты в области стандартизации:
Закон РФ от 07.02.92 № 2300–1 «О защите прав потребителей» (редакция
от 21.12.04);
Федеральный закон от 20.02.95 № 24–93 «Об информации, информатиза-
ции и защите информации» (редакция от 05.10.03);
Основополагающие стандарты ГОСТ Р 1.0–2004 – 1.8.–2004.
Закон РФ №184–ФЗ «О техническом регулировании» (27.12.2002 № 184–
ФЗ с изменениями от 01.05.07 и от 01.12.2007).
Заключены соглашения «О партнерстве и сотрудничестве» между Евро-
пейским Союзом и Российской Федерацией от 24.06.94 и «Межправитель-
ственное соглашение о проведении согласованной политик в области стандар-
тизации, метрологии и сертификации» (в рамках СНГ) от 13.03.92.
Нормативно–техническая документация, ранее созданная в условиях жест-
кого регламентирования, была преобразована в соответствии с этими законами
и нормативно–правовыми актами.
Техническое регулирование — правовое регулирование отношений в
области установления, применения и исполнения обязательных требований к
продукции, процессам, выполнению работ и оказанию услуг и правовое
регулирование отношений в области оценки соответствия. Документом
обязательного применения стал не стандарт, а технический регламент.
Технический регламент — документ обязательного применения, имеющий
характер закона. Устанавливает обязательные для применения и исполнения
требования к объектам технического регулирования: к продукции, к зданиям, к
строениям, к сооружениям, к процессам производства (включая изыскания),
эксплуатации, хранения, перевозки, реализации, утилизации. В основе ТР могут
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]