Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика методико-математической подготовки студентов педагогических факультетов к обучению младших школьников решению «открытых» задач. Мето
.pdf
Уч. Верно. Как мы проверяем уравнение?
Д. Надо вместо х подставить число 4215. Если левая часть равенства
равна 30000, то уравнение решено, верно.
Уч. Правильно. А теперь вернемся к нашему неравенству:
х+25785 < 30000. Так какие числа можно подставить вместо х, чтобы
неравенство было верным?
Д. Вместо х можно подставить числа меньше 4215. Например: 4214,
4210 и т.д.
Уч. Молодцы. А какие числа можно подставить вместо х, чтобы
неравенство было неверным?
Д. Х должно быть больше 4215, например: 4216, 5000 и т.д.
И т.п.
1.4. Рассмотрим еще один пример из этой серии: «Катя и Даша весят
столько же, сколько Лена и Маша. Даша весит 32 кг., Лена – 40 кг. Кто
тяжелее: Катя или Маша?». Для решения данной «открытой» задачи
можно также применить разные методы. С методом рассуждений дети уже
знакомы, поэтому на примере данной задачи можно познакомить их с
умением перевести задачу на математический язык, то есть подобрать для
данной ситуации математическую модель (метод моделирования).
А) Ребятам, занимающимся по традиционной системе, можно предложить
составить модель этой задачи в виде обычной краткой записи. Сначала
отдельно для первых двух детей, затем для вторых, а потом преобразовать
их в следующую модель, учтя равенство их общего веса.
К - ? 40 кг. - Л
=
Д – 32 кг. ? – М.
Используя данную модель, дети легко ответят, что Катя тяжелее Маши.
Б) Можно предложить детям промоделировать данную задачу с помощью
весов.
К 32 40 М
Рис. 11
82
В) Данную задачу лучше всего промоделировать с помощью отрезков,
опираясь на понятие целого и части. Покажем, как это можно сделать с
помощью подводящего диалога.
Уч. Ребята, попробуем промоделировать нашу задачу с помощью
отрезков. Какими отрезками мы должны изобразить вес Кати с Дашей и
Лены с Машей?
Д. Равными.
Уч. Почему?
Д. У них общий вес одинаковый.
Уч. Правильно. Что нужно учесть, отмечая на данных отрезках вес
отдельных девочек.
Д. Вес Даши меньше веса Лены.
Уч. Молодцы. Покажите все это на схеме и подумайте, можем ли мы
теперь ответить на вопрос задачи?
Д К
32
Л М
40
Рис. 12
Д. Можем, Катя тяжелее Маши.
2.Отношения родственные.
2.1. Задание: «Объясни, как это может быть: две матери, три дочки, две
сестры, а всего – 4 женщины».
Подводящий диалог.
А) Уч. Кем могут быть женщины в семье?
Д. Бабушкой, мамой, дочкой, сестрами.
Уч. Верно. Запишем это кратко так:
83
Б. М. Д.
Кем еще может быть бабушка, мама?
Д. Бабушка мамой, а мама – дочкой.
Уч. Покажем это на схеме: Б(м) М(д). Сколько у нас стало мам
и сколько дочек?
Д. У нас стало 2 мамы и 1 дочка.
Уч. У кого из них может быть еще 2 дочки?
Д. У мамы.
Уч. Покажите это на схеме.
Д. Б(м) М(д)
Д Д
С
Рис. 13
Уч. А где две сестры?
Д. Две сестры – это две дочки мамы.
Уч. Так, сколько всего женщин мы имеем?
Д. Четыре.
Б) Уч. Нет ли еще каких-либо вариантов решения нашей проблемы?
Подумайте, у кого еще могут быть 2 дочки?
Д. У бабушки.
Уч. Как будет тогда выглядеть наша схема?
Д. Б(м) М(д)
С
Д Д
С
Рис. 14
84
Уч. Сколько всего у нас получилось мам и дочек?
Д. Две мамы и три дочки, а всего 4 человека.
Уч. Значит это решение верное?
Д. Нет, у нас получилось 3 сестры.
В) Уч. Правильно. А могут быть еще варианты?
Д. Да. Одна дочка может быть у мамы, а еще одна у бабушки.
Уч. Как будет выглядеть наша схема?
Д. Б(м) М(д)
С
Д Д
Рис. 15
Уч. Все условия задачи выдержаны?
Д. Да. У нас получилось 4 женщины.
Уч. Так, сколько верных решений мы получили?
Д. Два решения.
В результате совместного решения данной задачи, у детей формируется
исследовательское умение перевода задач на математический язык, то есть
умение подобрать для аналогичной ситуации математическую модель. На
втором этапе, дети должны самостоятельно применять это
исследовательское умение в новых условиях, в нестандартных ситуациях.
С этой целью им можно предложить следующие задания:
2.2. У моих родителей – Николая Григорьевича и Антонины Герасимовны
– трое детей: Женя (это я), Люся и Саша. Назови имя сестры моего брата,
брата моего брата, дочери моего папы, мамы Люсиного брата, папы
Сашиной сестры, отца Люсиного папы, отца Сашиной мамы.
2.3. Идут по улице 2 отца и 2 сына – всего трое. Может ли быть так?
Рассмотреть все возможные варианты.
2.4. В семь 3 брата, у каждого брата по сестре. Сколько детей в семье?
На примере данной задачи можно показать детям способ выдвижения
гипотезы решения проблемы через подводящий диалог.
85
Уч. Ребята, если в семье 3 брата и у каждого по сестре, то какую гипотезу
о количестве детей можно сразу выдвинуть?
Д. В семье 6 детей.
Уч. Хорошо. Но мы знаем, что если выдвинута гипотеза, то ее надо либо
опровергнуть, либо доказать. Как это можно сделать?
1 уч. Попробуем с помощью графа, 1 Б С
2 Б С
3Б С
Рис. 16
который показывает, что у каждого брата одна сестра.
Уч. Все согласны с ним?
2 уч. Нет.
Уч. Почему?
2 уч. Потому что сестры второго и третьего братьев будут также сестрами
первого брата, значит у него 3 сестры. Аналогично и у остальных
братьев будет по 3 сестры. А из этого следует, что условие задачи не
выполнено.
Уч. Наша гипотеза, что в семье 6 детей, опровергнута. Тогда какую еще
можно выдвинуть гипотезу?
Д. В семье 5 детей.
Рассуждая аналогично, дети опровергают и эту гипотезу, выдвигая
следующую, что в семье четверо детей. С помощью графа доказывается
истинность этой гипотезы. В семье четверо детей 1 б
2 б с.
3 б
Рис. 17
Эту задачу можно решить и табличным способом, проводя аналогичные
рассуждения.
86
3. Отношения временные.
Формируя у учащихся данные отношения, нужно уже с первых классов
включать логические упражнения следующих видов:
3.1. Как назвать пять дней подряд, не называя дат и дней недели?
Если дети будут затрудняться, то можно им предложить записать цепочку
слов влево и вправо, начав со слова сегодня.
Позавчера – вчера – сегодня – завтра – послезавтра.
3.2. В 12 часов дня по радио сообщили, что в ближайшие три дня в Москве
будет ясная солнечная погода. Можно ли ожидать, что через 36 часов в
Москве будет светить солнце?
При первичном знакомстве с таким типом задач, учитель также может
воспользоваться подводящим диалогом.
Уч. Ребята, сколько часов в сутках?
Д. 24 часа.
Уч. Значит, 36 часов – это сутки и сколько еще часов?
Д. 12 часов.
Уч. Сейчас 12 часов дня, а что будет через сутки?
Д. Тоже 12 часов дня.
Уч. Тогда какое время дня будет еще через 12 часов?
Д. 12 часов ночи.
Уч. Правильно. Так какой ответ будет в нашей задаче?
Д. Через 36 часов в Москве будет ночь.
При решении данной задачи учитель может подвести детей к
использованию графической модели для ее иллюстрации.
Д 24 ч. Д 12 ч. Н
12 ч. 12 ч. 12 ч.
Рис. 18
Далее, решая аналогичные задания, дети применяют данное умение в
новых условиях самостоятельно.
87
3.3. В существующих учебниках встречаются задачи на сравнение возраста
людей. Дети часто не понимают их. Наглядная интерпретация при
первичном знакомстве с подобными задачами может помочь им.
Например, дана задача. Маша старше Оли на 7 лет. На сколько лет Маша
будет старше Оли через 2 года, через 8 лет?
Подводящий диалог.
Уч. О каких ситуациях идет речь в нашей задаче?
Д. О том, что есть и о том, что будет.
Уч. Запишем это так:
Было
Стало
Изобразите возраст девочек произвольными отрезками, учитывая
условие задачи.
Д. О
Было М 7 л.
О 2 г.
Стало М ? 2 г.
?
Рис. 19
Уч. Анализируя полученную графическую модель, кто ответит на вопрос
задачи?
Д. Через 2 г. Маша будет старше Оли также на 7 лет.
Уч. А через 8 лет?
Д. Так же на 7 лет.
Разобрав данную задачу с детьми, можно им предложить аналогичные, но
в нестандартных ситуациях, при решении, которых, дети будут
самостоятельно применять полученное исследовательское умение.
Например, задача: «Через 8 лет Саша будет моложе Вовы на полтора года.
88
Кто из них старше? На сколько лет Саша будет моложе Вовы через 10
лет?».
Для решения многих логических задач с успехом применяется
составление прямоугольных таблиц, где учитываются все возможные
варианты, и дается общая схема мышления. В зависимости от количества
рассматриваемых в задаче множеств (два, три), таблица содержит
соответствующее число входов: у одного входа располагаются элементы
первого множества, а у другого - элементы второго множества, у третьего -
элементы третьего множества. Теперь, если этого требует задача, легко
составить последовательно все пары, в каждой из которых один элемент
взят из одного множества, а другой - из другого множества. В таблице
вычеркивают (в соответствии с условием задачи) заведомо невозможные
пары и приходят к решению задачи (таким образом, решение строится по
принципу исключения тех случаев, которые противоречат одному из
условий). В школьном курсе математики очень мало задач, где бы
использовался этот важный для развития мышления принцип. При
решении логических задач учащиеся мобилизуют все свои знания,
стремясь разгадать секрет задачи. В ходе решения таких задач школьники
учатся строить непротиворечивые и обоснованные утверждения.
Например: "Миша, Саша и Коля бежали наперегонки. Все прибежали в
разное время. Миша сказал, что он прибежал не последним. Саша сказал,
что он прибежал не первым и не последним. А Коля сказал, что — он
прибежал не первым. Кто из мальчиков прибежал первым, кто вторым и
кто последним? Желательно подвести учащихся к необходимости
составления таблицы и научить их все свои рассуждения при решении
помещать в таблицу, иллюстрирующую все пары (имя мальчика - место,
полученное им в соревновании) декартова произведения множества имен
мальчиков (Миша, Саша, Коля) и множества полученных ими мест в
соревновании (I, 2, 3). Но решением задачи будут определенные пары,
которые удовлетворяют условию задачи. Множество этих пар есть
89
подмножество декартова произведения рассматриваемых множеств.
Учитель должен подвести учащихся к выводу, что при построении
таблицы необходимо учитывать то, что в каждом столбце и строке должен
быть один и только один «плюс», а остальные – «минусы» (так как каж-
дому мальчику соответствует одно и только одно место, и, наоборот,
каждому месту соответствует один и только один мальчик). Если учащиеся
выяснили, например, что Миша прибежал первым, то это звено
рассуждений записывают так: ставят знак утверждения (допустим, "плюс")
против имени "Миша" в колонке "1". Если учащиеся пришли к выводу, что
Коля прибежал не вторым, то это фиксируется проставлением знака
отрицания (скажем, "минус") против его имени в колонке "2". Если знак
утверждения поставлен, остальные клетки в этом же ряду и в этой же
колонке можно уверенно заполнять "минусами" (к такому выводу
учащиеся приходят методом исключения, ведь Миша был только один и 1
место занял только один мальчик). Последовательность заполнения
таблицы может быть такой: сначала в таблице появляются только
«минусы», потому что в условии задачи говорится об отрицании
некоторых высказываний (таблица 1), затем выясняется, кто был третьим и
каким был Миша (таблица 2), далее таблица полностью достраивается
(таблица 3).
Таблица 1.1
90
Имя Место
1 2 3 М + - С - - К - - +
Имя Место
1 2 3 М + - -
С
- + -
К
- - +
Таблица 1.2
Таблица 1.3
Решение будет доведено до конца, когда будет размещено по одному
"плюсу" в каждом ряду и столбце; тогда будет выяснено, какое место занял
каждый из ребят. При построении таких таблиц учащимся сообщается
общая схема их построения.
Указанный прием требует глубокого исследования и выяснения
истинности утверждений, чтобы поставить где-то знак «плюс» и в то же
время облегчает решение на завершающем его этапе, заканчивающимся
проставлением знаков «плюс» и «минус». При такой работе каждая клетка
таблицы становится для учащихся своего рода проблемным центром, и для
ее заполнения из задачи (из разных предложений условия задачи)
вычерпывается необходимая существенная информация. Таким образом, с
помощью таблицы учащимся легче сблизить элементы условия,
сравнением которых получаются необходимые следствия. При такой
91
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]