Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика методико-математической подготовки студентов педагогических факультетов к обучению младших школьников решению «открытых» задач. Мето
.pdf
- выделение данных, неизвестных, искомого (цветом,
специальными пометками и т.п.) и их обозначения. [23. с.72]
Есть определенные ограничения применения рассматриваемых
схематических рисунков к решению текстовых задач. Так, например,
нецелесообразно строить такой рисунок задачи, содержащим большие числа
и непрерывные величины: длину, массу, вместимость и т.п. Графической
моделью задачи «Сестре 7 лет, а брат на 2 года старше сестры. Сколько лет
брату?», может быть только чертеж, на котором данные изображаются
отрезками или другими геометрическими объектами. Построение чертежа
(геометрической модели) может быть полезно при анализе и поиске решения
задач, содержащим как непрерывные величины, так и дискретные. Обучение
применению чертежа должно проводиться после ознакомления учащимися с
отрезками и отношениями между ними. Дети к этому времени должны уметь
строить отрезок заданной длины, измерять его длину, строить отрезок
больше или меньше данного на несколько единиц длины, сравнивать два
отрезка по длине, строить «сумму» двух отрезков и «разность» без
предварительного вычисления длины искомого отрезка. Большую пользу при
обучении интерпретации задач с помощью чертежа могут принести
включение в урок специальных заданий в устное упражнение. Например:
1) На доске построено несколько чертежей, записан текст
задачи. Задание – указать номера чертежей соответствующих
задаче (это уже открытая проблема), и объяснить, почему
выбрали их;
2) Обратное задание – к данному чертежу подобрать текст задачи
из данных;
3) Дана задача и чертеж к ней. Задание учащимся: проверить,
правильно ли построен чертеж, если не правильно, то найти
ошибку и сказать, как ее устранить.
22
3. «Открытые» задачи, вызывающие другие задачи или
обобщения.
Если Вы собственными силами решили задачу – Вы сделали открытие.
Если задача не трудная, то ваше открытие не может претендовать на
грандиозность; однако от этого не перестаѐт быть открытием. Сделав хотя
какое-нибудь открытие, пусть самое скромное, мы не должны упускать
случая задать себе вопрос: не скрывается ли за нашим открытием нечто
большее? Из полученного результата следует выжать всѐ, что он может дать;
нужно также попытаться найти новые применения использованному методу
решения. Постарайтесь развить ваш успех! Нельзя ли использовать
полученный результат или метод решения в какой-нибудь другой задаче?
Имея в качестве отправного пункта решѐнную задачу, мы можем
придумать новую без особого труда, если мы в некоторой степени знакомы с
главнейшими средствами видоизменения задачи, такими как обобщение,
специализация, аналогия, разложение и составление новых комбинаций.
Отправляясь от данной задачи, мы при помощи этих средств приходим к
новым задачам, из этих новых мы в свою очередь получаем производные
задачи. Теоретически этот процесс можно продолжать как угодно далеко, но
на практике мы чаще всего принуждены прерывать его на самых первых
стадиях. С другой стороны мы можем придумать много задач, решение
которых непосредственно получается из решения раннее решенной исходной
задачи, однако такие задачи чаще всего оказываются не интересными. Не
легко найти новую задачу, одновременно интересную и поддающуюся
решению; для этого требуется опыт, вкус и удача. Тем не менее, решив
какую либо задачу, всегда следует предпринять поиски новых. Хорошие
задачи похожи на некоторые грибы. Найдя один гриб (или задачу),
оглянитесь вокруг: вполне вероятно, что вы найдѐте ещѐ несколько по
близости. Математический опыт учащегося нельзя считать полным, если он
не имел случая решать задачу изобретѐнную им самим. По этому учителю
следует показать как из исходной решѐнной задачи можно получить новые,
23
этим он возбудит любознательность учащихся. Учащиеся могут участвовать
1
=1
=
12
1+8
=9
=
32
1+8+27
=36
=
62
1+8+27+6
7
=10
0 =102
1+8+27+6
=22
=
в изобретении новой задачи. (181, стр.107-108)
Рассмотрим на примерах применение некоторых средств
видоизменения задачи. Дадим определение обобщению. Обобщение есть
переход от рассмотрения единственного объекта к рассмотрению некоторого
множества, содержащего этот объект в качестве своего элемента, или
переход от менее ѐмкого множества к более ѐмкому, содержащему
первоначальное. 1 З. Найдите сумму: 1+8+27+64=100. 2 З. Как иначе можно
записать эту сумму? (учащееся предлагают разные варианты,
останавливаемся на сумме кубов, равной квадрату числа) 1
3+23+33+43
=102. 3
З. От чего так может быть? Часто ли случается, что сумма кубов
последовательного ряда чисел есть квадрат какого-нибудь числа?
Нами поставлен обобщающий вопрос, связанный с суммой кубов
натурального ряда чисел 1
3+23+33+43
+…+n3. К этому общему вопросу нас
привѐл «частный случай» при n=4. Что же мы можем предпринять для
выяснения нашего вопроса? Поступить так: исследуем другие частные
случаи. Частные случаи, соответствующие n=2, n=3, ещѐ проще
рассмотренного выше. Случаи при n=5 следующие по порядку. Ради
последовательности и полноты, добавим ещѐ и случай n=1. Получаем
следующую таблицу:
24
4+125
5
152
Полученное равенство явно указывает на какую-то общую
1=1
3=1+2
6=1+2+3
10=1+2+
3+4
15=1+2+
3+4+5
закономерность. Предположим по индукции теорему: сумма первых n кубов
есть квадрат. Задаѐмся вопросами: почему все эти суммы кубов оказываются
квадратами? Что можно сказать об этих квадратах? (основания их равны 1, 3,
6, 10, 15). Что можно сказать о них? Если какая-нибудь более глубокая
закономерность, какие-нибудь дополнительные аналогии? Во всяком случае
кажется, что их возрастание подчинено какой то закономерности. Как же они
возрастают? Оказывается, что и разность между двумя последовательными
основаниями тоже возрастает. В самом деле, 3-1=2; 6-3=3; 10-6=4; 15-10=5.
закономерность возрастания этих разностей бросается в глаза, и мы
подмечаем удивительную аналогию в основании этих квадратов. Мы
находим замечательную закономерность ряда чисел: 1,3,6,10,15:
Если эта закономерность имеет
общий характер, то теорема, которую мы предположили
справедливой, принимает более точную форму, а именно: для n=1,2,3,…
13+23+33+4
3
+…+n3=(1+2+3+4+…+n)
2
Наше обобщение очень удачно: оно приводит нас от одного
наблюдѐнного факта к замечательному общему закону. Многие результаты в
математике, физике, и других естественных науках были найдены в
результате удачного обобщения. В качестве примера удачного обобщения
можно привести классический пример про маленького Гаусса, который очень
быстро, в уме решил задачу предложенную учителем: найти сумму чисел:
1+2+3+4+5+…+98+99+100= данную задачу можно предложить учащимся
25
начальных классов, применяя приѐм составления других задач из данной и
1 2 3 4 5
6
7 8 9
приѐм обобщения. Рассмотрим, как это можно сделать: 1 З. Найти
возможными способами сумму ряда чисел: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.
Рассмотрев все варианты, остановиться на самом рациональном способе,
основанном на равенстве сумм чисел, равноотстоящих от концов ряда:
(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)=11*5=55. Если дети будут затрудняться в
выборе этого метода, нужно помочь им наводящими вопросами. Нельзя ли
найти этим способом сумму чисел у следующего ряда чисел:
1+2+3+4+5+6+7+8+…+30. Дети проверяют выдвинутую гипотезу, находя
сумму предложенным способом и для проверки – другими способами.
Учитель предлагает следующую задачу: Как можно, используя нашу идею
найти сумму следующего ряда чисел: S=1+2+3+4+5+…+(n-1)+n. Используя
аналогию, дети могут самостоятельно дать ответ: S=n*(n+1)/2. из этой задачи
следуют другие, обратные к ней,[11.стр.96] Оказывается, найденный метод
решения позволяет решить следующую практическую задачу «Как рассадить
45 кроликов в 9 клеток так, что бы во всех клетках было разное число
кроликов?». Дети предварительно находят сумму чисел
1+2+3+4+5+6+7+8+9=10*4+5=45 и решая обратную, быстро находят ответ.
Количество кроликов в каждой клетке, всего 45.
Можно предложить детям ещѐ 2 задачи, следующие из первой: а) найдите
сумму нечѐтных чисел от одного до 99. б) Найдите сумму чѐтных чисел от 2
до 100 и т.п.
В учебниках математики для начальной школы в системе
развивающего обучения включено много открытых задач и задач которые
легко переделываются в открытые и при решении которых используются
26
методы – комбинаторные, логические, теоретико-множественные, метод
математического моделирования и т. д. Необходимо, что бы студенты в
процессе учебной деятельности выявили действие названных и других
методов в школьном курсе математики, уяснили психолого-педагогические
предпосылки их использования в обучении младших школьников,
разработали систему заданий для овладения учащимися этими методами.
Например, по отношению к комбинаторному методу следует выделить
следующие требования к методико-математической подготовке студентов:
- знание основных теоретических положений: понятие комбинации,
типы комбинаций по двум характеристикам: составу и порядку, правила
суммы и произведения, различные комбинации (размещения, перестановки,
сочетания) без повторений и с повторениями, их число, суть комбинаторных
методов решения задач,
- использование психолого-педагогических предпосылок при
формировании комбинаторных рассуждений у младших школьников,
- умение выделить действие комбинаторного метода в курсе
математики начальной школы, понятия и задачи комбинаторного характера
для использования их в учебной деятельности младших школьников,
- умение разработать системы заданий с целью формирования
комбинаторного мышления учащихся.
Обучение учащихся комбинаторному методу можно разбить на 3 этапа.
Первый (подготовительный) этап должен быть посвящен
совершенствованию мыслительных операций, в первую очередь,
разносторонняя и обобщенная операция сравнения (по числу объектов в
комбинации, по составу, по порядку), ознакомлению с осуществлением
перебора объектов.
На втором этапе необходимо организовать поиск учащимися
рациональных путей перебора объектов (без повторений и пропусков),
составление из объектов всех комбинаций, удовлетворяющих требованиям
учета только порядка, только состава, порядка и состава одновременно, а
27
позже с дополнительными условиями. С целью облегчения решения этих
задач целесообразно использовать наглядность: таблицы, графы, графдерево.
Третий этап (заключительный) заполняется решением разнообразных
задач.
Учителю необходимо выделить, что может служить ориентировочной
основой действий учащихся при решении комбинаторных задач:
ориентировочная основа действий учащегося в данной ситуации
складывается из следующих элементов - выделение комбинации (или ее
образование), фиксация свойств комбинации (посредством анализа состава,
порядка, числа элементов и комбинации), учет дополнительных условий,
составление комбинаций (если это требуется) и подсчет их числа. Используя
эту ориентировочную основу действий; учащиеся придут к получению
результата.
Так можно поступать при решении каждой отдельной задачи. Это
длинный путь, и часто при переборе вариантов учащиеся повторяются или
пропускают какие-то комбинации. Поэтому целесообразно основное
внимание обращать на получение и усвоение учащимися обобщенных
способов рассуждений, и студенты должны отчетливо понимать это.
Например, при решении задачи: Саша положил в корзину два белых
гриба, а Таня - три подосиновика. Сколькими способами можно взять из
корзины пару грибов - белый и подосиновик? - можно поступить двояким
образом. Если будем вести речь лишь о составлении пары «белый гриб –
подосиновик», то научим учащихся решать лишь эту задачу, но они не
готовы будут к решению любой задачи этого класса. Целесообразно
поступить иначе, воспользовавшись записью условия задачи с помощью
модели:
Рис. 4
28
Делается вывод, выражающий обобщенный способ действия (т. е.
применимый к любой задаче этого класса): для получения результата
необходимо каждый объект первой совокупности скомбинировать с каждым
объектом второй совокупности, т. е. каждый из двух символов первой
группы с каждым из трех символов второй группы, и число таких
комбинаций оказывается явным произведению чисел объектов этих двух
групп (правило произведения). Теперь учащиеся сами в состоянии решить
любую задачу данного класса.
Они способны решить (и решают) задачи, принадлежащие обобщению
данного класса задач, касающегося числа групп объектов. Например, можно
сформулировать ту же задачу относительно трех видов грибов, четырех
видов и т. д. Целесообразно далее решать задачи с разной сюжетной основой,
с дополнительными условиями (например, чтобы комбинация содержала
объект указанным свойством).
Прием, заключающийся в непосредственном переборе разных случаев
речения задачи и проверке, удовлетворяют ли они условию задачи, в
психолого-педагогической науке получил название метода проб и перебора.
Метод перебора является одним из самых простых и общих методов
дискретной математики, используемых при поиске решений многих задач в
практической деятельности.
В чем же состоит познавательная ценность задач на перебор? Схема
метода проста: пересмотр всех возможных решений задачи позволяет через
некоторое конечное число лагов (так называемых "проб и ошибок") получить
точный ответ, либо доказать его отсутствие.
Используя перебор при решении задач, ученик как бы
экспериментирует, сопоставляет факты и на основании частных выводов
делает те или иные общие заключения. В процессе этих наблюдений
обогащается его реально-практический опыт. Именно в этом, прежде всего,
состоит познавательная и развивающая ценность задач на перебор. Слово
"перебор" здесь используется в смысле разбора всех возможных случаев
29
(полнота решения). Учащиеся должны среди всех случаев выделить те, ко-
торые удовлетворяют условию задачи, показав, что других решений быть не
может. Очень важно, чтобы при решении таких задач учитель направлял
работу на формирование у учащихся определенной системы перебора в
каждом конкретное случае, которая давала бы полную уверенность в том, что
рассмотрены все случаи (полнота дизъюнкции), то есть система работы над
задачей должна быть направлена на выявление ее полного решения.
Таким образом, характерной особенностью предлагаемой системы
работы над задачей является исчерпывающее исследование всех
возможностей ситуации с последующим обобщением (в задачах, имеющих
несколько решений).
Характер перебора имеет разные уровни (от беспорядочно
осуществляемого перебора случаев до систематического их рассмотрения,
руководимого идеей исчерпания всех возможных комбинаций). При
хаотических пробах и ошибках решение в конце концов может быть
достигнуто, но ценой больших умственных усилий, непродуктивной затраты
времени и без обобщения. В настоящее время признанно, что метод перебора
не является ни главенствующим, ни тем более единственным методом,
которым пользуются учащиеся в творческой деятельности при решении
задач. Однако в начальных классах, когда мы хотим сформировать элементы
научного мышления, этот метод весьма полезен. При этом надо стремиться,
чтобы метод перебора не принимал характера слепых поисков, а
сопровождался определенной системой перебора. В этом хорошо помогает
использование различных схем, таблиц.
«Открытые» задачи определенным образом моделируют научный
поиск. В первый момент ученик сталкивается с массой разобщенных данных
(первая реакция на вопросы «открытых» задач часто бывает неверной;
впоследствии логическое осмысливание берет верх над непосредственным
восприятием, ответы становятся верными). Затем выдвигается гипотеза,
правильность которой устанавливается путем сопоставления полученных
30
результатов с исходными данными. Если на этом этапе работы вскроется
какое-нибудь несоответствие, значит, принятую гипотезу следует отвергнуть,
заменив ее другой, и начать рассуждения заново, чтобы прийти в конечном
результате к такому заключению, которое безукоризненно согласуется с
предложенными условиями. После этого нужно исследовать полученные
выводы. Процесс решения задач подобного рода не может быть сведен к
какой-либо одной стандартной схеме, однако некоторые общие приемы
решения «открытых» задач в обучении математике младших школьников
полезно знать учителям начальных классов.
Через весь курс математики I – II классов проходит линия
комбинаторных задач, не связанная с определенными пунктами программы, а
имеющая целью подготовку к изучению понятий, с которыми учащиеся
встретятся при дальнейшем обучении. Эти задачи должны решаться
экспериментально, школьники лишь должны накапливать опыт подхода к
решению таких задач. Комбинаторные задачи являются «открытыми»
относительно курса математики начальных классов, и чтобы упорядочить
мышление школьников при решении таких задач, полезно знакомить
учащихся с приемом записи чисел с помощью граф - схемы.
Комбинаторные задачи вызывают творческое оживление в
вычислительной деятельности учащихся, повышают интерес к ней. Решение
этих задач способствует формированию у учащихся умений и навыков
строить процесс систематического перебора, что развивает их
математическую культуру. Сначала школьники учатся строить комбинации
предметов, удовлетворяющие заданным условиям, находить среди этих
комбинаций одинаковые и различные; затем учащиеся приобретают более
сложные навыки - в упорядочении перебора, в составлении таблиц,
иллюстрирующих все возможные случаи решения задачи, в применении
различных схем и графов при решении этих задач.
Как правило, комбинаторные задачи не имеют однозначных способов
нахождения всех решений, поиск которых и составляет затруднения.
31
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]