Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика методико-математической подготовки студентов педагогических факультетов к обучению младших школьников решению «открытых» задач. Мето
.pdf
преобладающие виды памяти (зрительная, слуховая, двигательная и т.д.);
виды мышления (наглядно-действенные, наглядно-образные, словестнологические и т.д.), его качества (гибкость, глубина, широта и т.д.)…
Список этих показателей легко может быть продолжен каждым
педагогом. Какие же из этих особенностей должен учитывать учитель
математики в первую очередь! Мы полагаем, что внимание педагогов,
прежде всего, должно быть направлено на индивидуальные особенности
математического мышления. Именно поэтому педагогу важно знать
структуру математического мышления.
Согласно психологическим исследованиям структура математического
мышления представляет собой пересечение пяти основных подструктур.
Этим обоснована необходимость разных подходов к решению задач.
Охарактеризуем каждую из них.
Топологическая подструктура обеспечивает замкнутость,
компактность, связанность осуществляемых мышлением преобразований,
непрерывность трансформаций, мысленное выращивание, вылепливание в
представлении требуемого объекта (его образа).
Порядковые подструктуры дают возможность постоянного
сопоставления человеком математических объектов и их элементов по таким
характеристикам, как больше — меньше, ближе - дальше, часть — целое,
изменение направления движения и его характера, положение, форма,
конструкция предмета.
Метрические подструктуры позволяют вычленять в объектах и их
компонентах количественные величины и отношения (пропорции, численные
значения размеров, углов, расстояний).
С помощью алгебраических подструктур человек осуществляет не
только прямые и обратные операции над математическими объектами,
расчленение и соединение их составляющих, но и замену нескольких
операций — одной из определенной совокупности, объединение нескольких
12
блоков предмета в один, выполнение математических преобразований в
любой последовательности.
Наконец, проективные подструктуры обеспечивают изучение
математического объекта или его изображения с определенного
самостоятельно выбранного положения, проецирование с этой позиции
объекта на изображение (или изображения на объект) и установление
соответствия между ними.
Указанные пять подструктур в математическом мышлении человека
существуют не автономно, не изолированно, не равнозначны, а пересекаются
и находятся в определенной зависимости, иерархии по степени значимости и
представительности в интеллекте. В соответствии с индивидуальными
особенностями каждого та или иная подструктура занимает место главной,
ведущей, доминирующей. Она наиболее ярко выражена по сравнению с
остальными, более устойчива и лучше развита.
В соответствии со своей ведущей подструктурой человек по-разному
воспринимает, оперирует, перерабатывает и воспроизводит математическую
информацию. Например, при восприятии математического объекта один
ученик, прежде всего, выделяет метрические соотношения — его интересует
вопрос "сколько?". Другой воспринимает в первую очередь топологические
инварианты и оперирует ими (непрерывность, замкнутость, связность и т.д.).
При этом он акцентирует свое внимание не на количественных, а лишь на
качественных отношениях.
Третий ученик (с ведущей алгебраической подструктурой) постоянно
стремится к сокращениям, замене нескольких операций одной. Он часто
свертывает, а порой и пропускает какие-то шаги в рассуждениях (например,
одним действием он осуществляет сразу несколько операций: переносит все
члены уравнения в одну сторону, приводит подобные и тут же выносит
общий множитель за скобки). Сделать проверку собственного решения для
такого ученика - мука.
13
Проиллюстрируем сказанное примером выполнения школьниками
следующего диагностирующего теста.
Учащимся предлагается исключить из данного на рисунке ряда фигур
лишнюю фигуру и обосновать свой ответ.
Дети с ведущей топологической подструктурой исключают фигуру 5 на
том основании, что она находится вне замкнутого контура.
Рис. 1
«Метристы» (школьники, у которых ведущей является метрическая
подструктура) предлагают исключить фигуру 4, поскольку у нее только пять
граней, в то время как у всех остальных фигур — по шесть.
"Алгебраисты" выбрасывают фигуру 2 как единственную не цельную, а
сложенную из нескольких частей (кубиков).
С ними не согласны "проективисты", которые твердо убеждены, что
логическую закономерность нарушает фигура 3, так как, в отличие от всех
остальных, центр ее проецирования на чертеж находится слева, а не справа
от фигуры.
Наконец, дети с ведущей порядковой подструктурой утверждают, что
лишней является фигура 1, и обосновывают это тем, что она резко отличается
от остальных своими размерами (значительно больше).
С учетом этих особенностей мышления можно строить процесс
обучения школьников математике. Суть его заключается в том, что от детей
не требуется общего, одинакового для всех решения. Каждый может
выполнять задание своим способом, тем, который ему понятнее, а этот
индивидуальный способ зависит от ведущей подструктуры математического
мышления школьника. В зависимости от нее и помощь учителя, его
подсказки должны быть различными. Только в этом случае они будут
услышаны, восприняты и приняты. (Приложение №2)
14
Не ломать математическую индивидуальность ученика, а учитывать ее
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0
0
и строить процесс обучения в соответствии с ней – наша задача. Именно этот
путь (в соответствии со структурой мышления школьника) известный
математик и методист А.И. Маркушевич назвал «подлинно «детским путем»
в математику» 126
При обучении школьников решению отрытых задач, предполагающих
многовариантность решений, можно использовать практические задачи,
удовлетворяющие требованиям новизны и занимательности, несколько
вариантов исполнения, при решении которых каждый ученик реализует свои
интересы и желания:
1. «Имеются одинаковые паркетные плитки в форме треугольника с
прямым углом. Как из них составить покрытие пола?». Дети приводят
много вариантов решения данной задачи, например,
а) б)
в) г) и т.п.
2. Сколько шоколадок в блоке?
Рис. 2
15
Можно предложить детям использовать фишки, кружки и т.п., передвигая,
которые, дети изобретают разные методы счета. Например:
1 сп. считают один за одним до 24;
2 сп. считают по 3; 3*8=24;
3 сп. считают по 5 без 6; 5*6-6=24:
4 сп. считают по 4; 4*6=24;
5 сп. 3*2+3*6=24;
6 сп. 9*2+3*2=24;
7 сп. 3*3+3*5=24 и т.п. Приложение №3.
2. «Открытые» задачи, которые могут быть
интерпретированы по-разному
Человек должен уметь менять свой подход при решении задач, он
должен уметь учиться на своих ошибках и недостатках, разумно видоизменяя
(интерпретируя свою задачу). [208, с.53-54]
1. В конце работы, когда решение задачи нами найдено, мы понимаем
ее более точно и ясно, чем это было в начале. Желая перейти от нашего
первоначального представления о задаче к более точному, более полному
представлению, мы изучаем ее с разных сторон. Успех в решении задачи
зависит от выбора правильного пути подхода, от того, атакуем ли мы
крепость с доступной стороны. Чтобы выяснить, какой подход правильный,
какая сторона более доступна, мы рассматриваем задачу с разных точек
зрения, подходим с разных сторон, видоизменяем задачу.
а) Видоизменение задачи существенно. Этот факт имеет различные
объяснения. С одной стороны, например, продвижение в решении задачи
проявляется в мобилизации и организации раннее усвоенных знаний. Мы
вынуждены припомнить ряд необходимых для решения задачи элементов и
ввести их в решение задачи. А варьирование задачи помогает нам
припомнить такие элементы. Мы припоминаем при помощи своего рода
16
«действия по связям», называемого «ассоциацией мысли». То, что занимает
наши мысли в данный момент, имеет тенденцию вызвать в нашей памяти все,
что было связано с ним раньше. Видоизменяя задачу, мы вносим новые
моменты, и, таким образом, создаем новые связи, новые возможности
воскресить в нашей памяти все, что имеет отношение к нашей задаче.
б) Без большого напряжения нельзя решить серьезную задачу. Но от
напряженного сосредоточения внимания на одном предмете у нас быстро
наступает усталость. Чтобы удержать внимание, предмет, на который оно
направлено, должен постоянно меняться. Если наша работа продвигается
успешно, то у нас есть, чем заниматься, приходится рассматривать новые
моменты, наше внимание занято, и наш интерес к работе поддерживается. Но
если не удается достичь успеха, то наше внимание колеблется, интерес
падает, мы устаем от задачи, наши мысли начинают отвлекаться, и есть
опасность, что мы совсем упусти задачу. Чтобы избежать этого, мы должны
поставить новый вопрос, связанный с задачей. Этот новый вопрос
раскрывает перед нами не испробованные возможности создания связей с
ранее приобретенными знаниями. Он вселяет надежду на установление
новых полезных связей. Новый вопрос вновь овладевает нашим интересом,
потому что видоизменяет задачу, выявляя новые ее стороны. Имеется ряд
определенных способов варьирования задачи, которые часто полезны. К ним
принадлежат, например, такие, как возвращение к определениям, разложение
и составление новых комбинаций, введение вспомогательных элементов,
обобщение, специализация и использование аналогии. [202, с.53-54]
Одним из видов «открытых» задач, являются задачи, которые могут
быть интерпретированы по-разному. Интерпретация формулировки задач
может идти в разных направлениях с применением следующих приемов.
1. Изменение текста задач:
- замена термина содержательным описанием;
- замена некоторых слов синонимами;
- исключение части текста, не влияющей на результат решения;
17
- замена некоторых слов, терминов словами, обозначающими
более общее или частное понятие;
- изменение порядка слов и (или) предложений;
- дополнение текста пояснениями;
- замена числовых данных другими, более «наглядными»;
- замена числовых данных буквенными;
- замена буквенных данных числовыми.
2. Изменение формы представления текста задачи – построение
модели:
- предметный (показ задачи) на конкретных предметах, «в лицах»
- драматизация;
- геометрической (показ задачи на геометрических фигурах и на
моделях с использованием свойств фигур и отношений между
ними);
- графической (чертеж, рисунок);
- условно-предметной (рисунок);
- словестно-графической (краткая схематическая запись);
- табличной (таблица).
3. Введение произвольных единиц и соответствующая
переформулировка текста. [252. с.6-7]
Работа с текстом задачи оказывается более эффективной, если
сопровождается ее интерпретацией (ее формулировкой). Цель ее -
отбрасывание несущественных деталей, уточнение и раскрытие смысла
существенных элементов задачи. Учащихся необходимо обучать данному
приему сначала на стандартных задачах. Рассмотрим применение данного
приема на примере задач: «За 35 тетрадей заплатили 70 копеек. Сколько
нужно уплатить за 16 блокнотов, если блокнот на 8 копеек дороже тетради?».
Изменение текста данной задачи может заключаться во введении терминов
цена, количество, стоимость. В результате текст станет таким: «Стоимость
всех тетрадей 70 копеек, количество тетрадей – 35, цена неизвестна. (I часть)
18
Количество блокнотов 16, цена неизвестна, стоимость всей покупки тоже
неизвестна, ее нужно найти. (II часть) Цена блокнота на 8 копеек больше
цены тетради. (III часть)». Для поиска и выполнения плана решения
достаточно знать зависимость между тремя величинами – ценой,
количеством и стоимостью, уметь находить число на 8 больше данного.
Результат переформулировки может быть отражен в записи (краткая запись).
Можно обойтись и устным воспроизведением полученного текста. Обучение
целесообразной переформулировке – один из важных аспектов обучению,
умению решать задачи. Первый опыт ее применения дети должны получить
еще при рассмотрении простых задач. Для этого учитель предлагает
учащимся после восприятия задачи повторить условие и вопрос задачи,
выделив самое на их взгляд, важное и помогает сделать это. Необходимо
предлагать детям передавать содержание задачи в форме, удобной для
поиска ответа на ее вопрос. [251. с.60-62] А это уже «открытая» задача, т.к. у
каждого ученика будет свой вариант переформулировки. Желательно их
обсудить и выбрать наилучший вариант. Особой разновидностью
интерпретации задачи является введение удобных единиц измерения
величин, о которых идет речь в задаче. Рассмотрим задачу: «Ученик заплатил
за 2 блокнота и 3 открытки 99 копеек. Сколько стоит блокнот и открытка в
отдельности, если блокнот в 4 раза дороже открытки?». Данная задача по
традиционной системе обучения не может быть решена обычными методами.
Учащиеся, занимающиеся по учебникам под. ред. Петерсон Л.Г. и
Истоминой Л.И. могут ее решить используя метод схематического
моделирования приняв одну открытку за отрезок.
От.
99 копеек
Б.
Рис. 3
99:11=9 (к.) – цена открытки;
9*4=36 (к.) – цена блокнота.
19
В традиционных классах решить эту задачу можно путем введения
новой единицы стоимости и переформулировки текста задачи. Учитель ведет
рассуждения так. Стоимость и цена – это величины. В задачи названа только
одна единица стоимости цены – копейка. Однако стоимость, как и любая
другая величина, может иметь много других единиц. Мы вправе в качество
меры выбрать любой объект, характеризуемый данной величиной, и
приписать ему значение, равное единице, т.е. принять «количество
величины» в этом объекте за единицу. Поскольку в задаче описывается лишь
два рода предметов, характеризуемых стоимостью, - блокнота и открытки, то
в качестве мерки удобно выбрать один из них и принять значение его
стоимости за единицу. Так как возможности для выбора существует две, то и
возможных путей переформулировки рассматриваемого вида – два. Возьмем
в качестве меры более дешевый предмет – открытку, а ее стоимость примем
за единицу. Дадим название этой единицы. Название может быть любым.
Чтобы не придумывать новых терминов, назовем новую единицу стоимости
так же, как и предмет – «открытка». Итак, мы имеем теперь новую единицу
стоимости – одна откр. Выразим цены описываемых в задаче товаров в
новых единицах. Цена открытки – одна откр. Цена блокнота, согласно
условию, в 4 раза больше цены открытки. Получаем новую интерпретацию
задачи с учетом новой единицы. «Ученик заплатил за 2 блокнота и 3
открытки - 99 копеек». Если стоимость измерять в «открытках», то цена
одной открытки равна 1 откр., а блокнот в 4 раза дороже. Найдите цены
блокнота и открытки в копейках».
Решение: 1) 1*3=3 (откр.) – стоимость 3-х открыток;
1) 1*4=4 (откр.) – цена блокнота;
2) 4*2=8 (откр.) – стоимость двух блокнотов;
3) 8+3=11 (откр.) – стоимость всей покупки;
4) 99:11=9 (к.) – цена открытки;
5) 9*4=36 (к.) – цена блокнота.
20
Следующий прием интерпретации задачи – это составление краткой
записи. Обучение составлению краткой записи к задачам ведется через показ
образцов (как и применение других приемов), действенно только тогда, когда
ученик понимает ее назначение, умеет определять, каким задач
целесообразно делать краткую запись, знает и умеет выполнять все шаги по
ее составлению (разбиение на части текста и его переформулировка, выбор
схемы, расположения слов, чисел, рисунков в соответствии с характером
связей и отношений между числами, величинами и т.п., выбор формы записи,
установление соответствия краткой записи содержанию задачи и т.п.). То
есть нужно специальное обучение составлению краткой схематической
записи через организацию соответствующих учебных действий. В настоящее
время большинство вариативных учебников по математике при решении
задач широко используют их интерпретацию в виде схематического
моделирования. Известны разные виды (приемы) моделирования. Наиболее
простым является практическое воспроизведение, описанное в задаче
ситуации, т.к. прямое повторение того, что описано в задаче, в большинстве
случаев невозможно, поэтому целесообразнее мысленное ее представление
или изображение с использование произвольных предметов: квадратов,
кружочков, палочек и т.п. А это уже является условно-предметным
моделированием. Для лучшего овладения учащимися рассматриваемым
умением можно разбить процедуру построения рисунка (построение
условно-предметной модели) на отдельные операции:
- выбор вида изображения данных (круг, квадрат, треугольник и
т.п.);
- выбор расположения изображения (в одну строку, в две, двумя
группами и т.п.);
- выбор последовательности изображения элементов содержания
задачи на рисунке;
- последовательное выполнение рисунка;
21
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]