Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Курсовое проектирование. Учебное пособие.pdf
A
() ()() 0.QRqA
При подстановке
j
выделим вещественные и мнимые
части многочленов Q и R в виде
( ) () (), ( ) () ().
Qj X jY Rj X jY
QQ R R
Тогда вместо (1.18) получим
() ()() 0,
ти два у
X X qA Y() ()() 0.
QR Q
равнения можно преобразовать
()
X
Q
() ,
qA
() () () 0.
XY
QR
()
X
R
YX
QR
Y qA
R
к ви
ду Э
(4.1.19)
Сначала из второго уравнения определяется частота ω периодического решения, а затем из первого уравнения определяется амплитуда А. Видно, что частота зависит от параметров линейной
части и не зависит от формы однозначной нелинейности.
Определив таким образом, периодическое решение, надо исследовать его устойчивость. Если оно устойчиво, то это означает
автоколебательный процесс.
Для устойчивости периодического решения требуется, чтобы
XY YX
()()
**
A
В дополнение к этому нужно потребовать, чтобы в характери-
0.
(4.1.20)
стическом уравнении гармонически линеаризованной системы
(4.1.17) все остальные корни (кроме использованной нами пары
чисто мнимых) ели
чтоб
ы многочлен
им
отрицатель
() ()( )
QRq
удовлетворял критерию Гурвица (или Михайлова). В
систем третьего и четвертого порядка для этог
ные вещественные части, т.е.
q
22
о достаточно потребо-
(4.1.21)
случае
вать лишь положительности коэффициентов уравнения (4.1.17).
Итак, критерием устойчивости периодического решения является неравенство (4.1.20) с добавлением (4.1.21), если исследуется
система выш
е четвертого порядка.
71
Пусть в ходе идентификации получены следующие параметры
пер объектаедаточной функции управления вида
1
Bp
()
Wp
0
1
2
Ap
Ap
21
где В1 = 0,
А1 = 3,677630489,
А = 1,299450294,
2
τ=1.
Гармонически линеаризованная передаточная функция нелинейного звена имеет вид:
()
(,) () ,
WAp qA p
H
qA
где q(A) и q’(A) – коэффициенты гармонической линеаризации.
Для данного нелинейного элемента q’(A) = 0 , тогда
(,) ()
WAp qA
H
Запишем характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы:
1 + W
10.
(p)*W (А,p) = 0 ,
0 н
()
qA
2
21
Ap
1Ap
е
Произведем замену p = j ω , учитывая что e
sin(ωτ),
1+(сos ωτ- j sin ωτ)·q(A) / (-a2ω2+a1jω+1) = 0. (4.1.23)
В результате преобразования получим:
-a2ω2 + a1jω+ 1 + q(A) cos(ωτ) – j q(A) sinωt = 0. (4.1.24)
Выделим в последнем выражении вещественную и мнимую
части в виде:
(,) (, ) 0AjYA
2
-a2ω + 1 + q(A)cos +j (a1ω–q(A
ωτ ) sin ωτ) = 0. (4.1.25)
Приравняв порознь действительную и мнимую части к нулю,
получим систему уравнений:
X(A, ω) =-a ω2+q(A) cosωτ + 1 = 0;
2
Y(A, ω) = a1ω – q(A) sinωτ = 0, (4.1.26)
из которых и определяются искомые амплитуда А и частота ω
периодического решения (4.1.15).
р
,
е
1
.
р
(4.1.2
τjω
= cos(ωτ) – j
2)
72
Сначала определяется частота ω периодического решения,
а затем амплитуда A.
q(A) cosωτ =a
q(A) sinωτ= a1ω. (4.1.28)
Разделив
Известно, что при малых
тель
но,
Поделим выражение (
Подста
уравнение (4.1.28) на (4.1.27), будем иметь:
tg ωτ = a
1
значениях
ωτ=a
ω/(a2ω2-1). (4.1.30)
1
4.1.30) на ≠ 0
2
12
вив численные получим:
значения в (4.1.32),
ω =( (3,6776 + 1)/1,2994·1) = 1,8973 с .
Возведем в кв
2
q
Подставив численные значения в (4.1.33), полу м:
2
(A) = 1,2994
q
адрат оба выражения (4.1.27) и (4.1.28) и сложим их:
2
q
(A) cos
2
ω
τ = (a2·ω -1) =a2ω -2a2ω
2
q
(A)·sin2ωτ= a
2 2 2 4 2
(A)*( cos2ωτ+sin2ωτ) =a
2
·1,8973 4-2·1,2994·1,8973 2+1+3,6776 2·1,8973 2 =
097,
62,2
q(A) = 7,8873.
Амплитуду автоколебаний найдем из вы
A = 4B/πq(A)=4·6/π·7,8873 = 0,97.
Определив, таким образом, периодическое решение, надо ис-
следовать его
устойчивость.
Критерием устойчивости периодического решения является
выражени
рио
дического решения, получим, что неравенство (4.1.35) выпол-
е:
(,) (, )XA YA
Подставив чи
AA
**
сленные значения в критерий устойчивости пе-
2
ω – 1; (4.1.27)
2
ω/(a2ω2-1). (4.1.29)
, ()tg
0aa
, (4.1.31)
a
1
(4.1.32)
a
2
1/ -1
2
2
ω2 ,
1
2
ω4-2a2ω2+1
2
+1,
+ a
, следова-
2
ω2. (4.1.33)
1
чи
ражения:
(,) (,)
YA XA
0
(4.1.35)
73
ся, а значит, в сист
няет
с
= 1,8973 c-1 и A = 0
При отсутствии запа
автоколебаний и получени
Дей (4.1.22)
ствительно из характеристического уравнения системы
получаем
Произведем заме
Приведя выражение к общему знаменателю и приравняв чис-
Выделим в последнем выражении вещественную и мнимую
части в виде:
или
Приравняв порознь действительную и мнимую части к нулю,
получим систему уравнений:
из которых и определяютс итуда А и частота ω.
Из у
равнения (4.1.39) видно, что ω= 0. Следовател
сутс ают и
твии запазды не возниквания автоколебания в системе
возм
ожно получение затухающего переходного процесса.
4.2. Построение фазового портрета АСР
Для исследования нелинейных АСР, в которых линейная часть
с достаточно
отн
о и представлена дифференциальным уравнением второго
шени
й для практики точностью может быть в динамическом
порядка, широкое применение получил метод изображен
регулирования на фазовой плоскости.
Фазовой плоскостью называется плоскость, на которой изображается изменение какой-либо переменной величины х в функции скорости ее изменения y = dx/dt.
еме возникают устойчивые автоколебания
,97, т.е. x(t) = 0,97 sin (1,8973 t).
здывания в системе возможно отсутствие
е затухающего переходного процесса.
()
10
ну p =
1+ q(A) / (-a
qA
2
21
j ω и получим
2ω
2
.
1Ap Ap
+a1jω
+1) = 0.
(4.1.35)
-a2ω2 + a1jω+ 1 + q(A) =0. (4.1.36)
(, ) (, ) 0XA jYA
(4.1.37) –a2ω +1+q(A)+j a1ω2 =0.
X(A,ω) =–a2ω +q(A) + 1 = 0; (4.1.382)
Y(A,ω) = a1ω= 0, (4.1.39)
я искомые ампл
ьно, при от-
ия процесса
74
y
A
Рассмотрим изображение незатухающих гармонических колебаний х=A sinωt на фазовой плоскости.
Скорость изменения переменной х выразится как
dx
dt
Исключив переменную t, найдем
yA
cos arcsin cos arcxcos 1
,
откуда
22
xy
22
AA
Следовательно, незатухающие гармонические колебания изображаются на фазово
осям
и А и Аω.
й плоскости в виде эллипса (рис. 21) с полу-
cos
At
A
A
1
2
2
x
2
Рис. 21. Незатухающее гармоническое колебание
и его изображение на фазовой плоскости
Для различ по-ных амплитуд А при заданной частоте ω можно
строить семей другой и ство таких эллипсов, вложенных один в
заполняющих всю фазовую плоскость.
При заданной амплитуде А для частот, изменяющихся от 0 до
±∞, получим семейство эллипсов с общей осью 2А по оси коорди-
нат х и изменяющейся длиной оси 2Аω; при ω = 0 эллипс вырождается в прямую, совпадающую с осью 2А; при ω = ± он распадается∞
на две прямые, параллельные оси координат у и отстоящие от начала координат на расстояние ± А.
75
При изменении величины х соответствующая ей точка М на фазовой плоскости, называемая изображающей точкой, будет перемещат бания
Кривая движения изображающей точки на фазовой плоскости
называется фазовой траекторией.
Если колебательный процесс будет расходящимся (рис. 22), то
амплитуда колебаний А будет увеличиваться и изображение процесса на фазовой плоскости будет иметь вид расходящейся логарифмической спирали.
T .ься вдоль эллипса по часовой стрелке с периодом коле
k
Рис. 22. Расходящееся колебание и его изображение
на фазовой плоскости
Наоборот, затухающий колебательный процесс (рис. 23) на
фазовой плоскости изображается в виде логарифмической спирали, сходящейся к началу координат. Таким образом, по виду фазовой картины (фазового портрета) можно наглядно судить об - ус
тойчивости системы.
Рис. 23. Затухающее колебание и его изображение на фазовой плоскости
Так как в верхней половине фазовой плоскости /0ydxdt
,
то изображающая точка вдоль фазовой траектории движется в сто-
76
рону увеличения х. В нижней половине 0y, следовательно, изображающая точка движется вдоль фазовой траектории в сторону
уменьшения x. Так как на фазовой плоскости в пересечениях фазовых траекторий с осью х производная /0ydxdt
траектории пересекают ось х под прямым углом.
Часто нелинейные системы представляются как кусочнолинейные, т. е. их динамические свойства описываются линейными
дифференциальными уравнениями, разными для разных участков
процесса управления.
Метод припасовывания состоит в линейные диффе-том, что
ренциальные уравнения решаются в но для ка-общем виде отдель
ждого участка процесса, на котором вы. Затем на они справедли
каждом участке в полученных решениях постоянные произвольные
определяются таким образом, чтобы участки пра-все соседние
вильно состыковывались друг с другом следующим . Это делается
образом: по заданным начальным услов определяют-иям процесса
ся произвольные постоянные в общем первого уч т-решении для ас
ка. Значен слу ат ия фазовых координат в конце первого участка ж
начальными условиями для второго участка и т. д.
Вообще говоря, описанная схема метода припасовывания может быть применена и тогда, когда какой-либо участок описывается нелинейным дифференциальным уравнением при условии, что
известно его общее решение.
Применим метод припасовывания для построения фазового
портрета исследуемой АСР, структурная изображе-
схема которой
на на рис. 24.
, то фазовые
Рис. 24. Структурная схема нелинейной АСР
Пусть статическая характеристика нелинейного а
регулятор
имеет вид, представленный на рис. 25.
77
X
Рис. 25. Нелинейная характеристика регулятора
Аналитическое выражение статической характеристики:
()
Bx
(4.2.1)
,0
Bx
,0
Fx
Передаточная функция объекта управления, определенная в
ходе идентификации ранее в курсовой работе:
()
Wp e
0
ap ap
1
2
21
p
, (4.2.2)
1
Тогда
p
() ,
Wp
0
2
(
ap ap
21
2
ap ap yt xt
(1)()(),
21
eYp
2
ap ap
21
Yp Xp
1
)()(),
1
e
()
()
p
p
или в дифференциальном виде
2
() ()
dyt dyt
aaytxt
21
2
dt
() ( ).
(4.2.3)
dt
Поскольку x = -y , получим
2
() ()
dxt dxt
aaxtyt
21
2
dt
Ввиду сложности уравнения
.2.4), при р вать время
з здывания объекта (τ), однако, будем учитывать запаздывание
апа
асчете фазового портрета не будем учиты(4
решения дифференциального
() ( ).
(4.2.4)
dt
при моделировании системы.
78
Тогда, в зависимости от нелинейной характеристики получим следующие дифференциальные уравнения для различных участков:
2
() ()
dxt dxt
aaxtF
21
x
2
dt
на первом участке:
2
() ()
dxt dxt
aaxt
21
2
dt
при x(t) > 0 на втором участке:
2
() ()dxt dxt
21
2
dt
x(t) < 0.
при
Таким образом, фазовая плоскость разбивается на две обл
линия переключения которой – ось ордин
Рассмотрим первый участок
2
() ()
dxt dxt
aaxtB
21
2
dt
()
21
значения параметров передаточной функции объекта, опре-
сть
Пу
деле ходе идентификации, равны a
нные в
() () .axt axt xt B
Тогда имеем:
1,2994 ( ) 3,6776 ( ) ( ) 6.xt xt xt
Решение характеристического уравнения дает дующие
корни:
a
K
K
е решение уравнения (4.2.8) имеет вид,
Обще
() 6.
xt C e C e
1
1
aa
1
2
K
= – 0,3047;
1
K = – 1,5255.
2
0,305 1,526
01
() ( )
dt
()
(4.2.6)
dt
xtB
()aa
(4.2.7)
dt
(4.2.5)
B
ат т. е. x(t)=0.
() ,
dt
= 3,6776; a2 = 1,2994; B = 6.
1
(4.2.8)
сле
2
a a
4
2
1
a
2
2
2
1 2
2
a
tt
,
a
4
,
2
асти,
(4.2.9)
79
Продифференциру
ем уравнение (4.2.9) и получим систему
уравнений движения изображающей точки на фазовой плос
на первом участке
Постоянные интегрирования C
,
0,305 1,526
tt
() 6
xt C e C e
)xt
01
0,305 1,526
tt
( 0,305) ( 1,526)
(
C e C e
01
, C1 найдем
0
(4.2.10)
.
из начальных ус-
ловий.
Для первого у
(0) 6 8
xCe Ce
0) ( 0, 305) ( 1,526) 0
xC
(
частка н
0,305 1,526
01
ачальные условия при t = 0 с.;
(0) 8; (0) 0xx
tt
0
,305 1,526
e Ce
01
.
.
tt
(4.2.11)
темы уравнений (4.2.11) найдем корни:
1C 15,921,
Частное реш
0
ение уравнения (2.11) примет д,
0,305 1,526
( ) 15,921 1,921 6.
xt e e
(4.2.12)
1,921.C
ви
tt
На линии переключения x, x(t)=0,
0,305 1,526
tt
( ) 15,921 1,921 6 0.
xt e e
Результат решения уравнения (4.2.13): t = 3,20
(4.2.13)
2 с.
Подставив значение времени на линии переключения в
(4.2.10) получим начальные условия для следующего участка,
4
.
Рассмотрим второй у
( ) 3,031 10
xt
() -1,827
xt
часток.
Система уравнений движения изображающей точки на фазо-
вой плоскости на втором участке,
0,3
() 5
xt C e
( ) ( 0,305)
Постоянные интегрирования C , С найдем
ловий, которые для этого участка имеют вид t =
05 1.526tt
C e
01
0
t
,305
C e
01
( 1
0 1
,526)xt C e
из начальных ус-
3,202с.;
4
(0) 3,031 10 ; (0) 1,827xx
.
.
1,526
t
(4.2.14)
кости
80