Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Курсовое проектирование. Учебное пособие.pdf
Рассмотрим замкнутую систему для случая, когда объект описывается передаточной функцией (3.5.8). Найдем выражения для параметров настройки следующих законов регулирования: П-, ПИ-, ПД-,
ПИД-законов. Для названных законов управления характеристические уравнения замкнутых систем имеют следующий вид:
И-закон
() ( 1) exp( ) 0
ДТ kk
ии
ПИ-закон
() ( 1) exp( ) ( ) 0
ДТ kkk
ПИ и п
, (3.5.10)
00
ПД-закон
() ( 1)exp( ) ( ) 0
ДТ kk k
ПД п д
ПИД-закон
() ( 1) exp( ) ( ) 0
ДТ kkk k
ПИД и п д
. (3.5.12)
00
Определим максимальную степень устойчивости для указанных выше законов. При этом продифференцируем (3.5.9) один,
(3.5.10) и (3.5.11) два, (3.5.12) три раза. Тогда получаем:
для И-закона
() [ ( 2 ) 1]exp( ) 0;
Д TT
И
для ПИ-закона
() [ ( 2 ) 1] 0;
ДТ Тkk
ПИ П
ДТ Т
() [ ( 4 )
ПИ
2( )]exp( ) 0
Т
для ПД-закона
ПД
для ПИ
Д-закона
2
, (3.5.9)
00
00
2
00
2
000
222
0
0
0
2
0
0
, (3.5.11)
2
(3.5.13)
(3.5.14)
, (3.5.15)
0;л)(ф]TфлT[ф)(Д
kkexp
Д000ПД
0,л)(ф]TфлT[ф)(Д
exp2
(3.5.16)
17)
(3.5.
41
() [ ( 2 )
Д TT
ПИД
1] ( ) ( 2 ) 0;
ехр kk k
() [ ( 4 )
Д T
ПИД
2( )] ( ) 2 0;
(3)
() [ ( 6 )
Д TT
ПИД
2
36]()0.
222
Т ехр kk
00
3233
T ехр
0
2
00
ПД
0
0
Д
0
(3.5.18)
T
0
0
(3.5.19)
(3.5.20)
Из выражений (3.5.13), (3.5.15), (3.5.17), (3.5.20) в результате
замены
на – J и приравнивая к нулю выражений, заключенных
в квадратные скобки, получаем соотношения для максимальной
степени устойчивости, приведенные в таблице:
Соотношения для критерия
максимальной степени устойчивости
Вид
зако
на
регу
ли-
рова
ния
Выражение для критерия
максимальной степени
устойчивости
Выражения
для параметров
настройки регулятора
И
11 1
J
и
J
ПИ
Т
2
0
21 2 1
Т
2
0
1
22
Т
4
0
22
Т
4
0
1
k Т JJехр J
ииии
k Т J Т J
пПИПИ
ехр J
k ТТJJ
иПИПИ
ехр J
(1 ) ( )
k
0
1
k
0
();
1
k
0
()
0
[( 2 ) 1]
00
ПИ
[( ) ]
00
ПИ
2
2
42
3.6. Построение переходного процесса в АСР
В автоматических системах регулирования с запаздыванием
по каналу регулирования переходный процесс определяется выражением:
где Re(
2sin
() Re( ) ,
ht d
) – вещественная частотная характеристика (ВЧХ) замк-
0
t
(3.6.1)
нутой автоматической системы;
h(t) – переходная функция.
Как правило, интег
рирование в правой части (3.6.1) встречает
непреодолимые математические трудности. Поэтому практически
всегда в указанном случае ординаты переходной функции находятся
путем интегрирования выражения (3.6.1) численными методами.
Вещественная частотная характеристика системы Re(
) –
убывающая функция аргумента .
График вещественной частотной характеристики автоматиче-
ской системы регулирования представлен на рис. 10.
Рис. 10. График вещественной частотной характеристики
Численное интегрирование в бесконечном интервале, как это
предписывает выражение (3.6.1), невозможно. Поэтому верхний
предел интегрирования ограничивают частотой среза, в качестве
которой принимается частота, начиная с которой модуль вещест-
43
венной частотной характеристики становится и остается меньше
наперед выбранного значения малой величины. В качестве последней может быть принято 5 % максимальной ординаты ВЧХ.
Таким образом, вначале необходимо найти по графику максимальное значение ординаты ВЧХ, т. е. max Re(), а затем определить
значение Re(
Далее строим график переходного процесса системы по формуле:
где
– частота среза, определенная по графику вещественной час-
ср
тотной характеристики автоматической системы регулирования.
График переходного процесса представлен на рис. 11.
) = =0,05 max Re():
ср
ср
2sin
() Re( ) ,
ht d
0
t
Рис. 11. График переходного процесса
При практическом использовании АСР к ним предъявляются
не только требования устойчивости. Наряду с этим важны другие
динамические свойства, которые в общей совокупности характеризуют качество процесса регулирования. К таким динамическим
свойствам относятся:
а) поведение системы в начальный момент сразу после приложения возмущения;
44
б) характер поведения регулируемой величины в переходном
режиме;
в) поведение системы при приближении к новому установившемуся состоянию;
г) длительность перехода системы из одного установившегося
состояния в другое.
Если при рассмотрении устойчивости АСР величина возмущающего воздействия и состояние системы, предшествующее ее
переходному режиму (покой, равномерное движение и т. п.),
не яв
ляются определяющими (так как изучалось предельное состояние системы, на которое они не оказывают влияния), то при
исследовании качества переходных процессов эти факторы имеют
решающее значение.
Основные показатели качества процесса регулирования ли-
нейных систем следующие:
1) время переходного процесса tп определяется как интервал
времени от начала переходного процесса до момента, когда отклонение выходной величины от ее нового установившегося значения
становится меньше определенной достаточно малой величины.
Обычно в качестве последней берут 2-5% максимального отклонения в переходный период;
2) статическая ошибка регулирования – отклонение регули-
руемой величины от заданного значения по окончании переходного процесса;
3) максимальное отклонение max x(t) – отклонение, вызван-
ное возмущением, определяется величиной А1;
4) перерегулирование – максимальное отклонение, вычислен-
ное относительно нового установившегося значения Х
ционального или равного заданному воздействию Хзд:
max
уст
100%.
уст
В большинстве случаев требуется, чтобы перерегулирование
не превышало 10–30 %.
5) колебательность переходного процесса – оценивается от-
ношением соседних максимумов А
и выражается в %. Пере-
2/A1
, пропор-
уст
45
А
А
ходный процесс обычно должен иметь 1–2 колебания, но допускается 3–4 колебания;
6) степень затухания – отношение разности двух соседних
амплитуд переходного процесса одного и того же знака к первой
из них:
АА
13 3
где А1 и А3 – амплитудные значения ординат процесса регулирования.
3.7. Расчёт параметров настройки цифрового регулятора
Достоинства цифровых регуляторов по сравнению с аналого-
выми:
− большая надежность;
− устойчивость к шумам (помехозащищенность);
− небольшие габаритные размеры, которые имеют тенденцию
к снижению, так же как и стоимость;
− одним из существенных преимуществ цифровых контроллеров является их большая гибкость по сравнению с аналоговыми
регуляторами.
Программа цифрового регулятора может быть из
изменении характеристик объекта без изменения в аппаратном
обеспечении.
Проектирование цифровых САУ может быть выполнено
на основе двух подходов.
1. Первый подход основан на синтезе системы, рассматриваемой как непрерывная. Вначале осуществляется синтез аналогового
регулятора, а затем производится его дискретная аппроксимация и
определяется алгоритм работы цифровой части системы.
2. При втором подходе описание н
няется дискретной аппроксимацией, в результате чего вся система
оказывается описанной в области комплексной переменной «z»,
а алгоритм работы цифровой части определяется в результате синтеза дискретной системы.
Поскольку непрерывные П-, ПИ- и ПИД-регуляторы получили
широкое распространение в промышленности, то вполне обосно-
1,
11
А
епрерывного объекта заме-
менена при
46
x
вано предпринимались попытки преобразовать их уравнения с помощью дискретизации и использовать для расчета параметров
цифровых регуляторов известные методики настройки параметров
непрерывных регуляторов.
Общее у
где U(t) – управляющий сигнал;
ewy – ошибка регулирования (разность между заданным
и измеренным значениями);
K
– коэффициент передачи;
p
и TД – соответственно постоянные интегрирования и диф-
T
и
ференцирования.
Для малых тактов квантования у
можно преобразовать в разностное с помощью дискретизации, состоящей в замене производной разностью первого порядка. Интегральную часть можно аппроксимировать методом прямоугольников или трапеций.
В ме
проксимируется суммой площадей прямоугольников (рис. 12 а).
Каждый прямоугольник имеет основание, равное периоду дискретизации Т
интегрируемой функции
Метод трапеций (рис. 12 б) обеспечивает большую точность
интегрирования по сравнению с методом Эйлера, поскольку к аппроксимации прямоугольниками добавляется треугольные элементы.
равнение семейства ПИД-законов управления:
t
1
() () ( ) ,
Ut K et e d T
p Д
T
и
0
0,01
T T
o
de t
()
(3.7.1)
dt
равнение (3.7.1)
95
тоде прямоугольников (или метод Эйлера) интеграл ап-
, и высоту, равную предыдущему считанному значению
0
[( 1) ]
kT .
0
Рис. 12. Области суммирования при дискретном интегрировании:
а – метод прямоугольников; б – метод трапеций
47
При использовании метода прямоугольников получаем:
K
T
() () ( 1) [() ( 1)]
Uk K ek ei ek ek
P
0
TT
И
0
i
(через k обозначен дискретный аргумент kT
T
Д
0
).
0
Алгоритм управления (3.7.2) является нерекуррентным: в нем
для формирования суммы необходимо запоминать все предшествующие значения сигнала ошибки e(k). Для программирования на
УВМ более удобны рекуррентные алгоритмы, в которых для вычисления текущего значения управляющей переменной U(k) используется ее предыдущее значение U(k-1) и поправочный член.
Запишем выражение (3.7.2) для момента времени
t = (k-1)T
(1) (1) (1) [(1)(2)]
Uk K ek ei ek ek
:
0
P
1
K
T
0
TT
И
0
i
T
Д
0
После вычитания из выражения (3.7.2) выражения (3.7.3) получаем рекуррентное уравнение:
() ( 1) () ( 1) ( 2)Uk Uk qek qek qek
(3.7.4)
01 2
где
T
Д
qK
0
qK
1
1
P
12
P
qK
2
P
,
T
0
T
T
Д
TT
И
0
T
Д
.
T
0
0
, (3.7.5)
В том случае, когда для выполнения операции интегрирования в уравнении (3.7.2) используется метод трапеций, вместо разностного уравнения (3.7.3) получается следующее уравнение:
1
K
() () () [()(1)]
Uk K ek ei ek ek
P
(0) ( )
Te ek
0
TT
И
2
i
1
T
Д
0
Переходя к рекуррентной форме аналогичным образом, как
это было описано выше, получаем уравнение, описывающее динамику дискретного ПИД-регулятора:
() ( 1) () ( 1) ( 2)Uk Uk qek qek qek
01 2
(3.7.2)
(3.7.3)
(3.7.6)
, (3.7.7)
48
w
Y
где
T
T
qK
qK
1
1
0
P
2
T
12
P
qK
2
P
Полученное линейное разностное уравнение (3.7.7) по виду
совпадает с разностным уравнением (3.7.4), но значения его пара-
q
метров и вычисляются по форм
для определения q
q
0
1
и q1.
0
Проанализировав выражения (3.7.1–3.7.8), мо
дующие выводы:
1) для малых тактов квантования (
дискретного ПИД-регулятора q
, q1 и q2 можно вычислить, исполь-
0
зуя известные значения параметров К
ПИД-регулятора;
2) значения q
(i = 0, 1, 2) зависят от шага дискретизации T0 и
i
используемых численных методов интегрирования и дифференцирования;
3) размерность величин q
стью коэффициента передачи К
(i = 0, 1, 2) совпадает с размерно-
i
непрерывного регулятора.
Р
Параметры дискретного регулятора q
физический смысл. Для этого следует рассмотреть вид переходного процесса на выходе регулятора при подаче на его вход типового
воздействия.
Рассмотрим простой контур управления (рис. 13).
Д
0
TT
И
Д
TT
0
T
Д
T
0
,
0
T
0
, (3.7.8)
2
И
.
улам, отличным от формул
жно сделать сле-
0,01Т
Т
0
, ТИ и ТД непрерывного
p
, q1 и q2 имеют простой
0
) параметры
95
e
)(zW
p
U
)(zW
o
-
Рис. 13. Структурная схема импульсной системы
49
Дискретная передаточная функция объекта управления с экстраполятором нулевого порядка имеет вид:
() ( ) ...
Yz Bz b b z b z
()
Wz z
p
()
Uz
Обобщенная дискретная передаточная функция линейного регулятора записывается так:
() ( ) ...
Uz Qz q q z q z
()
z
p
()
Ez
Этот алгоритм реализован, если . Обычно в так
ляторах , а значени
0q
0
При выборе стру
гуляторов необходимо гарантировать, чтобы изменение задающей
переменной и возмущение не п
()wk
ошибке по сигналу . На основании теоремы z-преобразован
о конечном значении для выполнения этого условия необходимо,
чтобы передаточная функция регулятора имела полюс
довательно, простейшие алгоритмы управления
дут иметь следующую структуру:
()
Wz
p
При
1 и соответствующем выборе параметров получаем
регулятор типа ПИ, при
и т. д.
Разностное уравнение, описывающее регулятор с передаточной функцией (3.7.11), имеет вид:
() ( 1) () ( 1) ... ( )Uk Uk q ek q ek q ek
(3.7.12)
Рассмотрим вначале алгоритм управления второго порядка.
Задав
2 в уравнении (3.7.11), получим:
Wz
11
Az a z a z
()1 ...
( ) ...
Pz p p z p z
01
11
1
11
11
01
01
0p
0
m
m
m
d
m
(3.7.10)
(3.7.9)
их регу-
я p0 выбирается равным 1.
ктуры параметрически оптимизируемых ре-
риводили к статической
()ek
1z
. Сле-
-го порядка бу-
11
( ) ...
Qz q q z q z
Pz z
() 1
01
()
p
01
11
2
– типа ПИД, при 3
qqz qz
01 2
1
50
12
z
1
(3.7.13)
(3.7.11)
– типа ПИД
ия
2